Einsteinkoeffizienten

Dargestellt sind die beiden Energieniveaus $ E_{1} $ und $ E_{2} $, die spontane Emission (A) sowie die Absorption und induzierte Emission (B)

In Einsteins Ratenbild werden die Einsteinkoeffizienten B₁₂, B₂₁ und A₂₁ zur Berechnung der spontanen und stimulierten (induzierten) Emission und der Absorption verwendet. Sie finden neben der statistischen Physik u. a. in der Spektroskopie und in der Laserphysik Anwendung und wurden 1916 von Albert Einstein eingeführt.

Einstein unterscheidet im Strahlungsgleichgewicht drei Prozesse:

• durch Absorption eines Photons aus einem elektromagnetischen Feld entsteht ein angeregter Zustand z. B. eines Atoms.
• eine n-fach besetzte Mode eines elektromagnetischen Feldes stimuliert die Emission eines weiteren Photons in diese Mode, wobei das Atom vom angeregten in den Grundzustand übergeht. Gleiche Mode bedeutet gleiche Richtung, Frequenz und Phase.
• Das Atom emittiert spontan – also ohne äußere Einwirkung – ein Photon in eine unbesetzte Mode (im freien Raum heißt das insbesondere: in eine beliebige Richtung).

Im Folgenden bezeichnen wir den Grundzustand als Zustand 1 und den angeregten Zustand als Zustand 2. Die Wahrscheinlichkeit der drei Prozesse hängt offensichtlich von der Anzahl $ N_{i} $ der Atome im ausgehenden Zustand ab. Daneben hängen die stimulierten Prozesse von der Besetzung der Moden des elektromagnetischen Feldes ab (spektrale Strahldichte $ u $). Einstein führte die Koeffizienten B₁₂, B₂₁ und A₂₁ als zunächst unbestimmte Proportionalitätskonstanten ein, sodass

• die Wahrscheinlichkeit der stimulierten Absorption durch $ B_{12}\cdot N_{1}\cdot u $
• die Wahrscheinlichkeit der stimulierten Emission durch $ B_{21}\cdot N_{2}\cdot u $ und
• die Wahrscheinlichkeit der spontanen Emission durch $ A_{21}\cdot N_{2} $

gegeben ist.

Die Zunahme der Teilchenanzahl im Grundzustand und die Abnahme der Teilchenzahl im angeregten Zustand ist dann gegeben durch:

$ {\frac {dN_{1}}{dt}}=-{\frac {dN_{2}}{dt}}=-N_{1}\cdot B_{12}\cdot u+N_{2}\cdot B_{21}\cdot u+N_{2}\cdot A_{21} $

Im thermodynamischen Gleichgewicht ist diese Summe null:

$ {\frac {dN_{1}}{dt}}=0\Rightarrow {\frac {N_{2}}{N_{1}}}={\frac {B_{12}\cdot u}{A_{21}+B_{21}\cdot u}} $

Aus der Boltzmann-Verteilung weiß man, dass die Besetzung der Zustände mit ihren Energien wie folgt zusammenhängen:

$ {\frac {N_{2}}{N_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}\cdot {\frac {e^{-E_{2}/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}}{e^{-E_{1}/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}\cdot e^{-\Delta E/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}\,, $

wobei die $ g_{i} $ die Gewichte der Entartung darstellen. Gleichsetzen und Auflösen nach der spektralen Strahlungsdichte liefert:

$ u={\frac {A_{21}}{B_{21}}}\cdot {\frac {1}{{\frac {B_{12}}{B_{21}}}{\frac {g_{1}}{g_{2}}}\cdot e^{\Delta E/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}-1}} $

Durch Koeffizientenvergleich mit dem Planckschen Strahlungsgesetz oder dem Rayleigh-Jeans-Gesetz – bei letzterer unter Verwendung der Grenzbedingungen und einer Reihenentwicklung der Exponentialfunktion – erhält man folgende Beziehungen zwischen den drei Einsteinkoeffizienten:

$ g_{1}\cdot B_{12}=g_{2}\cdot B_{21}\qquad B_{21}=A_{21}\cdot {\frac {\lambda ^{3}}{8\pi h}} $

mit

• dem Planckschen Wirkungsquantum $ h $
• der Wellenlänge $ \lambda $.

Sind die Zustände nicht entartet, also $ g_{1}=g_{2}=1 $, so ist $ B_{12}=B_{21}=:B $.

Die Lebensdauer des angeregten Zustands, also die durchschnittliche Dauer, bis ein Atom ohne äußere Einwirkung durch spontanen Zerfall in den Grundzustand übergeht, beträgt

$ \tau ={\frac {1}{A_{21}}}. $

Der Einsteinkoeffizient A₂₁ ist eine Eigenschaft des Übergangs und stoffspezifisch.

Die Einsteinkoeffizienten sind von der Temperatur unabhängig. Die Temperaturabhängigkeit der Energieverteilung der Wärmestrahlung ist eine Folge der unterschiedlichen Besetzungswahrscheinlichkeiten N₁ und N₂ in Abhängigkeit von der Temperatur, die in der Regel durch die Boltzmann-Verteilung beschrieben wird.

Siehe auch

• Besetzungsinversion

Literatur

• A. Einstein: Zur Quantentheorie der Strahlung. Physikalische Zeitschrift 18 (1917) 121-128; Zuerst abgedruckt in den Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich 18 (1916)
• Ausführliche Herleitung: H. Haken/H.C. Wolf: Atom- und Quantenphysik, 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004, ISBN 3540026215, S.59, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
• Walter J. Moore, Dieter O. Hummel: Physikalische Chemie. 4. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin New York, 1986, ISBN 3-11-010979-4, S. 893–896