Hydrostatischer Druck

Der hydrostatische Druck ({{Modul:Vorlage:lang}} Modul:ISO15924:97: attempt to index field 'wikibase' (a nil value)) ist der Druck innerhalb eines ruhenden Fluids, wobei es sich um eine Flüssigkeit, ein Gas oder ein Plasma handeln kann. Der hydrostatische Druck kann beispielsweise von den das Fluid umschließenden Wänden erzeugt werden (siehe Zylinder mit Kolben), oder Resultat der Schwerebeschleunigung (Gravitationsdruck oder Schweredruck) oder Trägheit sein (z B. in einer Zentrifuge). Häufig wird der hydrostatische Druck von außen vom Umgebungsdruck oder dem Betriebsdruck aufgebracht,^[1] unter dem das Fluid ruht. Nach dem Pascal’schen Prinzip (von Blaise Pascal) breitet sich der hydrostatische Druck im Fluid allseitig aus und wirkt nach Euler^[2] im Volumen in alle Richtungen aber immer senkrecht auf Wände.

Ohne äußeres Kraftfeld ist der hydrostatische Druck im Fluid überall gleich, insbesondere die Form eines Behälters, in dem das Fluid ruht, hat keinerlei Einfluss, solange Kapillarität vernachlässigbar ist (wie z. B. in ausreichend großen kommunizierenden Röhren). Der im Fluid herrschende hydrostatische Druck wirkt auf alle Flächen, die das Fluid begrenzen, mit einer senkrecht auf das jeweilige Flächenstück gerichteten flächenverteilten Kraft.

Der statische Druck ist das Gegenstück zum hydrostatischen Druck in bewegten Fluiden. Nach dem Bernoulli-Effekt ist der Druck in strömenden Teilen eines Strömungsfelds geringer als in Regionen mit ruhendem Fluid (auf gleicher Höhe des äußeren Kraftfelds, falls vorhanden.)^[3]:64; die Druckdifferenz führt den Namen Staudruck oder dynamischer Druck und wird demnach durch Fluidströmungen verursacht.

Der (hydro)statische Druck ist der Druck, den ein Fluidelement im Fluidkörper spürt. Im Gleichgewichtszustand entspricht er dem thermodynamischen Druck, der über eine Zustandsgleichung mit der Dichte, Temperatur und anderen physikalischen Größen zusammenhängt.

Inkompressible Flüssigkeiten im homogenen Schwerefeld

Pascalsches Gesetz

Hydrostatischer Druck in Luft und Wasser auf der Erde in Abhängigkeit von der Höhe. Höhe 0 ist der Meeresspiegel, darüber zeigt die Kurve den Luftdruck (barometrische Höhenformel). Unter der Wasseroberfläche steigt der Druck praktisch linear an, wobei der Druckmaßstab in diesem Bereich um einen Faktor 1000 gestaucht ist.

Der hydrostatische Druck am Boden ist trotz unterschiedlicher Füllmengen in allen drei Gefäßen gleich groß.

Der hydrostatische Druck für ein Fluid mit konstanter Dichte im homogenen Schwerefeld berechnet sich nach dem Pascalschen Gesetz (benannt nach Blaise Pascal):

$ p(h)=\rho gh+p_{0} $

Formelzeichen:

$ \rho $ = Dichte [für Wasser: $ \rho $ ≈ 1.000 kg/m³]

$ g $ = Schwerebeschleunigung [für Deutschland: $ g $ ≈ 9,81 m/s²]

$ h $ = Höhe des Flüssigkeitsspiegels über dem betrachteten Punkt

$ p_{0} $ = Druck an der Flüssigkeitsoberfläche (z. B. Luftdruck)

$ p(h) $ = hydrostatischer Druck in Abhängigkeit von der Höhe des Flüssigkeitsspiegels.^[4]

Bei der Ermittlung des Drucks auf die Behälterwand ist der Druck abzuziehen, der von außen aufgrund des dort herrschenden Umgebungsdrucks einwirkt (auch Betriebsdruck genannt^[1]). So bestimmt sich z. B. der Druck auf den Boden eines wassergefüllten Gefäßes nur durch den Druck $ \rho gh $ der Wassersäule, da der Luftdruck $ p_{0} $ gleichermaßen von oben (über die Wasseroberfläche) und von unten einwirkt. Dabei hängt der Bodendruck nicht von der Form oder Größe des Gefäßes ab, sondern nur von der Füllhöhe $ h $, während die auf den Boden wirkende Kraft proportional zur Bodenfläche zunimmt. Dies ist das Prinzip der Kraftverstärkung in der hydraulischen Presse, das erstmals Blaise Pascal 1653 formulierte.^[5]

Einheiten

Die Physikalischen Einheiten für den hydrostatischen Druck sind:

• international die SI-Einheit

  Pascal (Pa): 1 Pa = 1 N/m²;

• zudem in Deutschland und Österreich die „gesetzliche Einheit“

  Bar (bar): 1 bar = 100.000 Pa bzw. N/m² (= 100 kPa)

Zuweilen wird auch noch die veraltete nicht-SI-konforme Maßeinheit Meter Wassersäule (mWS) verwendet.

Beispiele

• Für Taucher ist es wichtig zu wissen, welchem Druck ihre Körpergase (Stickstoff) ausgesetzt sind, um die Taucherkrankheit zu vermeiden.
• Ein Bathyscaph muss einem besonders hohen hydrostatischen Druck standhalten.
• Wassertürme nutzen den hydrostatischen Druck, um den für die Versorgung der Endverbraucher notwendigen Leitungsdruck zu erzeugen.
• In der Hydrogeologie kann sich nach dem Darcy-Gesetz eine Strömung zwischen zwei Punkten nur dann einstellen, wenn die Druckdifferenz verschieden von der Differenz der hydrostatischen Drücke an den beiden Punkten ist.
• Ein Heber ist ein Gerät oder eine Einrichtung, mit der man eine Flüssigkeit aus einem Behälter über den Behälterrand in einen tiefer gelegenen Behälter umfüllen oder ins Freie entleeren kann, ohne den Behälter umzukippen und ohne dass er ein Loch oder einen Auslass unter dem Flüssigkeitsspiegel hat.

Kontinuumsmechanik

Die hydrostatische Achse im Hauptachsen­system des Spannungstensors ist proportional zur mittleren Normalspannung: $ \xi ={\sqrt {3}}\sigma _{m}=-{\sqrt {3}}p $; ξ ist eine Haigh–Westergaard-Koordinate

In jedem Punkt eines Kontinuums (egal ob in einem Fluid, einem Festkörper oder im Vakuum) ist der Spannungstensor

$ {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{pmatrix}}\,, $

definiert, der den Spannungszustand zu einem mathematischen Objekt zusammenfasst. Dem hydrostatischen Spannungszustand entspricht der Drucktensor

$ {\boldsymbol {\sigma }}_{\mathrm {hydro} }=-p\,{\boldsymbol {I}}={\begin{pmatrix}-p&0&0\\0&-p&0\\0&0&-p\end{pmatrix}}\,, $

mit dem hydrostatischen Druck $ p=-{\tfrac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}} $. Die mittlere Normalspannung $ {\tfrac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}=-p $ wird auch mit σ_m oder σ^H bezeichnet, wobei das umgekehrte Vorzeichen zu beachten ist; dem entspricht die Konvention, dass Zugspannungen positiv sind und Druckspannungen negativ. Der deviatorische Anteil $ {\boldsymbol {\sigma }}_{\mathrm {dev} }={\boldsymbol {\sigma }}-{\boldsymbol {\sigma }}_{\mathrm {hydro} } $ ist der Spannungsdeviator, der in der Plastizitätstheorie eine zentrale Rolle spielt, denn der Erfahrung nach führt der hydrostatische Druck im technisch relevanten Bereich zu keinen plastischen Verformungen.

Gravitationsdruck in Planeten, Monden, Asteroiden und Meteoriten

Tiefenabhängigkeit von g

Mit zunehmender Tiefe kann die Schwerebeschleunigung $ g $ nicht mehr als konstant betrachtet werden. Wenn die Form des Himmelskörpers durch eine Kugel mit Radius $ R $ beschrieben und die Dichte als konstant betrachtet wird, lässt sich der Druck wie folgt berechnen:

$ p(h)=\int _{0}^{h}\rho \,g(R-r)\,\mathrm {d} r $ .

Der Ortsfaktor $ g(r) $ folgt aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz:

$ g(r)=G{\frac {M(r)}{r^{2}}}=G{\frac {Mr}{R^{3}}}=\rho r{\frac {4\pi G}{3}} $,

wobei $ M(r) $ die Masse innerhalb einer konzentrischen Kugel innerhalb des Himmelskörpers und $ M=M(R) $ dessen Gesamtmasse angibt. Mit der Formel für das Kugelvolumen $ V={\tfrac {4}{3}}\pi R^{3} $ ergibt sich für den Druck im Zentrum:

$ p_{\text{Z}}=p(R)={\frac {3G}{8\pi }}{\frac {M^{2}}{R^{4}}}=\rho ^{2}R^{2}{\frac {2\pi G}{3}} $.

Gravitationsdruck in Sternen

Sterne im Gleichgewicht

Einen Spezialfall des hydrostatischen Drucks stellt der Gravitationsdruck in Sternen dar. Dieser resultiert aus der den Stern kontrahierenden Schwerkraft. Demgegenüber wirkt z. B. der Strahlungsdruck als den Stern expandierende Kraft. Bei einem stabilen Stern stellt sich dabei ein Gleichgewicht aller Kräfte ein und der Stern hat eine stabile Form. Dies ist näherungsweise der Zustand von Sternen auf der Hauptreihe des Hertzsprung-Russell-Diagramms.

Beispiele für Sterne im Ungleichgewicht

Bei entstehenden Sternen, die sich zusammenziehen, überwiegt der Gravitationsdruck gegenüber der Summe aller Kräfte, die Gegendruck aufbauen. Beispiele für Gegendruck sind der kinetische Gasdruck des Gases selbst und bei anlaufender Fusionsreaktion der Strahlungsdruck durch alle auftretenden Strahlungsarten. Dadurch verändert sich der hydrostatische Druck innerhalb des entstehenden Sterns.

Bei einigen Klassen veränderlicher Sterne treten periodische oder transiente Änderungen der Sterndichte auf, wodurch sich die Materiemenge des Sterns, die innerhalb oder außerhalb einer Sphäre mit einem festen Radius liegt, verändert, und mit ihr auch der hydrostatische Druck bei einem bestimmten Radius vom Sternmittelpunkt aus.

Aufgrund des Sternwindes verlieren Sterne stetig Masse an die Umgebung. Auch dadurch ändert sich der hydrostatische Druck. Bei Hauptreihensternen ist diese Änderung allerdings sehr langsam.

In den Spätstadien des Sternenlebens kommt es ebenfalls zu Veränderungen im Sternaufbau, die sich auf den hydrostatischen Druck im Stern auswirken.

Einzelnachweise

en:Pascal's law fr:Principe de Pascal