Brillouin-Funktion

Brillouin-Funktion
für verschiedene Werte von J

Die Brillouin-Funktion $$ B(x) $$ (nach dem französisch-amerikanischen Physiker Léon Brillouin (1889–1969)) ist eine spezielle Funktion, die aus der quantenmechanischen Beschreibung eines Paramagneten hervorgeht:

{\begin{alignedat}{2}B_{J}(x)&={\frac {2J+1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {2J+1}{2J}}\,x\right)&&-{\frac {1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {1}{2J}}\,x\right)\\&=\left(1+{\frac {1}{2J}}\right)\cdot \coth \left[\left(1+{\frac {1}{2J}}\right)x\right]&&-{\frac {1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {1}{2J}}\,x\right)\end{alignedat}}

Die Formelzeichen stehen für folgende Größen:

$$ J $$ in der physikalischen Anwendung für die Gesamtdrehimpulsquantenzahl
$\coth$ für den Kotangens hyperbolicus.

Verwendung

Mit der Brillouin-Funktion kann die Magnetisierung $$ M $$ eines Paramagneten der Stoffmenge $$ N $$ in einem äußeren Magnetfeld formuliert werden:

{\begin{aligned}M&=NmB_{J}(\xi )\\\Leftrightarrow B_{J}(\xi )&={\frac {M}{Nm}}.\end{aligned}}

mit

dem magnetischen Moment $$ m $$ eines Teilchens
dem Parameter $ \xi ={\frac {mB}{k_{\mathrm {B} }\,T}}={\frac {g\mu _{\mathrm {B} }\,JB}{k_{\mathrm {B} }\,T}} $
- dem Betrag $$ B $$ der magnetischen Flussdichte des angelegten äußeren Magnetfeldes
- der Boltzmann-Konstante $k_{\mathrm {B} }$
- der absoluten Temperatur $$ T $$
- dem Landé-Faktor $$ g $$
- dem Bohrschen Magneton $\mu _{\mathrm {B} }$ .

Eine weitere, halb-klassische Beschreibung eines Paramagneten geschieht mit Hilfe der Langevin-Funktion $$ L $$ , die sich im Limes $J\to \infty$ und zugleich $g\mu _{\mathrm {B} }\to 0$ aus der Brillouin-Funktion ergibt (wobei das magnetische Gesamtmoment konstant bleibt):

{\begin{aligned}M&=NmL(\xi )\\\Leftrightarrow L(\xi )&={\frac {M}{Nm}}.\end{aligned}}

Literatur

Torsten Fließbach: Statistische Physik – Lehrbuch zur Theoretischen Physik IV. Elsevier-Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2006.

Weblinks