Energie-Zeit-Unschärferelation

Die Energie-Zeit-Unschärferelation beschreibt eine Grenzbedingung für die erreichbare Messgenauigkeit von Energie und Zeit in der Quantenmechanik.

Sie wurde zuerst von Werner Heisenberg zusammen mit der Unschärferelation für Ort und Impuls publiziert, beschreibt jedoch einen grundsätzlich anderen Zusammenhang. Versuche, die Energie-Zeit-Unschärfe durch Einführung eines Zeitoperators $ {\hat {t}} $ direkt auf die Ort-Impuls-Unschärferelation zurückzuführen, ergeben Widersprüche.^[1] Wie die Ort-Impuls-Unschärferelation ist die Energie-Zeit-Unschärferelation prinzipieller Natur und nicht eine Folge von Unzulänglichkeiten im Messprozess.

Formal wurde die Energie-Zeit-Unschärferelation von Heisenberg wie folgt formuliert:^[2][3]

$ \Delta E\cdot \Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}, $

wobei $ \hbar $ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum ist.

Anders als die Unschärferelation für Ort und Impuls lässt sich die Energie-Zeit-Unschärferelation nicht stringent aus dem Standardformalismus der Quantenmechanik herleiten.

Wegen des quantenmechanischen Zusammenhangs $ E=\hbar \cdot \omega $ zwischen Energie und Kreisfrequenz $ \omega $ lässt sich die Energie-Zeit-Unschärferelation auch als Frequenz-Zeit-Unschärferelation schreiben:

$ \Leftrightarrow \Delta \omega \cdot \Delta t\geq {\frac {1}{2}} $.

Herleitungen

Die Herleitung der Energie-Zeit-Unschärferelation ist nicht identisch zur Herleitung der Heisenbergschen Unschärferelation, kann jedoch auf diese zurückgeführt werden. Der wesentliche Grund dafür ist, dass die Zeit im Gegensatz zu Ort, Impuls, Drehimpuls, Energie etc. keine quantenmechanische Observable darstellt.

In einer formaleren Herleitung definiert man – für den Fall eines nicht explizit zeitabhängigen Hamilton-Operators $ H $ und einer ebenfalls nicht explizit zeitabhängigen Observablen $ A $ – für $ A $ eine Zeit, in der sich $ A $ um eine Standardabweichung $ \Delta A $ ändert:

$ \Delta t_{A}={\frac {\Delta A}{\left|{\frac {d}{dt}}\left\langle A\right\rangle \right|}}. $

Aus dem Ehrenfest-Theorem folgt

$ {\frac {d}{dt}}\left\langle A\right\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle \left[H,A\right]\right\rangle $

Nun lässt sich die verallgemeinerte Form der Unschärferelation anwenden, so dass folgt:

$ \Delta E\Delta A\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[H,A\right]\right\rangle \right|={\frac {\hbar }{2}}\left|{\frac {d}{dt}}\left\langle A\right\rangle \right|\qquad \Rightarrow \qquad \Delta E\Delta t_{A}\geq {\frac {\hbar }{2}}. $

Als letzter Argumentationsschritt wird der Index $ A $ von $ t_{A} $ weggelassen, da eine solche Eigenzeit für jede Observable definiert werden kann.^[4]

Referenzen

Literatur

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1; Quantenmechanik - Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-68868-4. Seite 220ff

Siehe auch

• Lebensdauer (Physik)