Energie-Zeit-Unschärferelation

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Zufallsbild: Gerd Altmann / Pixabay

Energie-Zeit-Unschärferelation

Die Energie-Zeit-Unschärferelation beschreibt eine Grenzbedingung für die erreichbare Messgenauigkeit von Energie und Zeit in der Quantenmechanik.

Einordnung

In vorläufiger Form wurde sie 1927 von Werner Heisenberg gefunden und mit der gleichzeitig gefundenen Unschärferelation für Ort und Impuls zunächst auf eine Stufe gestellt.[1] Wie die Ort-Impuls-Unschärferelation ist die Energie-Zeit-Unschärferelation prinzipieller Natur und nicht eine Folge unzulänglicher Messungen. Die beiden Relationen zeigen aber grundsätzliche Unterschiede, die auch jeweils eine eigene Interpretation erforderlich machen: Während Ort und Impuls eines Teilchens zu jedem Zeitpunkt beobachtbare Größen sind, wie sie in der Quantenmechanik durch Orts- und Impuls-Operatoren dargestellt werden, ist die Zeit keine im selben Sinne beobachtbare Größe und kann nicht widerspruchsfrei durch einen Zeitoperator dargestellt werden.[2]

Auch hier handelt es sich, wie bei allen Unschärferelationen, um eine direkte Anwendung des Satzes von Plancherel (1910).

Mathematische Beschreibung

Heisenberg leitete für das Produkt aus der Ungenauigkeit $ \Delta E $ einer Energiemessung und der Dauer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta t , die diese Messung mindestens beansprucht, die Abschätzung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E \; \Delta t \sim \hbar

her, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hbar das reduzierte plancksche Wirkungsquantum ist. Diese Form wird auch heute noch häufig benutzt. Dies kann zu einer echten Ungleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E \; \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} ,

verschärft werden, in der $ \Delta E $ die Standardabweichung der im System vertretenen Energiewerte ist und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta t die kleinstmögliche Zeitspanne, in der sich der Erwartungswert einer Observablen um eine Standardabweichung verändert.[3]

Auch ohne Bezug auf den Begriff Messgenauigkeit gilt in der Quantenmechanik grundsätzlich, dass ein System, dessen Zustand nicht zeitlich konstant bleibt, keine scharf bestimmte Energie haben kann. Denn nur die Eigenzustände zum Energieoperator sind stationäre Zustände. Je nach betrachtetem Fall können sich unterschiedliche Abschätzungen für das kleinstmögliche Produkt aus der Spannweite der beteiligten Energiewerte und einer für die Änderung des Systems charakteristischen Zeitspanne ergeben.

In populärwissenschaftlichen Darstellungen heißt es gelegentlich, die Energie-Zeit-Unschärferelation erlaube, für eine kurze Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta t die Energieerhaltung um den Betrag Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E zu verletzen; dies erkläre die „virtuellen Zustände“ und Vakuumfluktuationen in der Störungstheorie in Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie. Dies ist nicht korrekt. Die Energieerhaltung ist immer strikt gewährleistet, und die genannten Begriffe aus der Störungstheorie bezeichnen mathematische Konstrukte, die als solche unbeobachtbar sind.

Wegen des quantenmechanischen Zusammenhangs Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E = \hbar \omega zwischen Energie und Kreisfrequenz $ \omega $ lässt sich die Energie-Zeit-Unschärferelation auch als Frequenz-Zeit-Unschärferelation schreiben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Leftrightarrow \Delta \omega \; \Delta t \ge \frac{1}{2} .

Diese Relation wird z. B. in der Hochfrequenztechnik verwendet, um die Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta t zu errechnen, die man praktisch benötigt, um eine Kreisfrequenz mit der Ungenauigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \omega zu bestimmen, wie dies von Küpfmüller 1924 auch genau so getan wurde.

Herleitungen

Eine allgemeine formale Herleitung

Die formale Herleitung legt die verallgemeinerte Form der Unschärferelation für den Hamilton-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H und einen beliebigen anderen Operator $ {\hat {A}} $ zugrunde:[4]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta H \; \Delta A \geq \frac{1}{2} \left|\left\langle \left[ \hat H,\hat A\ \right] \right \rangle \right|

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta H = \Delta E die Standardabweichung der Energie und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta A die Standardabweichung der Observablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A im betrachteten Zustand. Da aber für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat A nicht die Zeit gewählt werden darf, weil diese im Gegensatz zu Ort, Impuls, Drehimpuls, Energie etc. nicht durch einen Operator dargestellt werden kann, wird der Umweg über die zeitliche Änderung des Erwartungswerts von $ {\hat {A}} $ genommen. Die Änderungsgeschwindigkeit ist nach dem Ehrenfest-Theorem (hierbei werden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat A und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H als stationär, d. h. als nicht explizit zeitabhängig vorausgesetzt):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| \frac{d}{dt}\left\langle \hat A\right\rangle \right| = \frac{1}{\hbar} \left| \left\langle \left[\hat H,\hat A\right] \right\rangle \right| ,

Schreiben wir Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E statt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta H , so gilt also

$ \Delta E\;\Delta A\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {A}}\right\rangle \right| $.

Die Zeitspanne Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta t_A wird eingeführt, indem

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta A = \left| \frac{d}{dt}\left\langle \hat A\right\rangle \right| \Delta t_A .

gesetzt wird. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta t_A ist also kein Maß für eine Streuung, sondern die Zeit, die verstreichen muss, damit der Erwartungswert der Observablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{A} sich wesentlich, d. h. um eine Standardabweichung $ \Delta A $ ändert. Wenn die letzte Ungleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta t_A multipliziert wird, lässt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta A herauskürzen. Übrig bleibt die gesuchte Unschärferelation:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E \; \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} .

Da die rechte Seite der Ungleichung nicht von der Wahl von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat A abhängt, gilt sie allgemein und kann bei keiner Observablen unterschritten werden. Daher kann der Index bei $ \Delta t_{A} $ weggelassen werden. Gleichwohl sollte man sich des Kontextes bei der Interpretation der Ungleichung und des Zeitintervalls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta t stets bewusst sein.

Energieunschärfe und Lebensdauer

Mit einer anderen physikalischen Interpretation gilt eine ähnliche Energie-Zeit-Unschärferelation beim Zerfall eines Systems in einem metastabilen Zustand in zwei Teilchen, also auch bei jeder Art von Emission. Hier ist die Relation durch eine Gleichung gegeben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E \; \tau = \hbar .

Darin steht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E nicht für die Standardabweichung, sondern für die Halbwertsbreite der kinetischen Energie der Zerfallsprodukte, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau nicht für eine Zeitunschärfe, sondern für die wohlbestimmte mittlere Lebensdauer des metastabilen Zustands. Allerdings kann man $ \tau $ auch als eine Zeitunschärfe ansehen, weil bei einem Ensemble gleicher Systeme die einzelnen Zerfallszeiten eine exponentielle Verteilung zeigen, für die der Mittelwert auch die Standardabweichung angibt. Die Herleitung erfolgt im Rahmen der Resonanztheorie für die Streuung an einem Potentialtopf.[5] Sie gilt für jedes zerfallende System, denn dieses lässt sich als Resonanz in der Umkehrreaktion auffassen, wenn also die Zerfallsprodukte aneinander gestreut werden.

Weitere Einzelbeispiele

Es gibt eine Reihe weiterer Einzelbeispiele, an denen sich eine ähnliche Energie-Zeit-Unschärferelation finden lässt. Unter anderem:

  • Bezieht sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta t auf die Unsicherheit in der Bestimmung des Zeitpunkts, an dem ein Teilchen einen Ort passiert, dann wird die Wellenfunktion des Teilchens als Wellenpaket mit einer gewissen Ausdehnung und damit auch Energieunschärfe modelliert. Bei gegebener (mittlerer) Geschwindigkeit ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta t proportional zur Länge des Wellenpakets, die ihrerseits umgekehrt proportional zur Energieunschärfe ist.[6] Es ergibt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E \; \Delta t \sim \hbar .
  • Daraus abgeleitet ergibt sich, dass eine Energiemessung mit der Genauigkeit $ \Delta E $ mindestens die Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta t = \hbar/\Delta E erfordert.
  • Befindet sich das System in einem Überlagerungszustand aus zwei Energieniveaus mit Energieabstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E , dann schwingt die Wellenfunktion mit der Periode Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau = h/ \Delta E zwischen der symmetrischen und der antisymmetrischen Form hin und her.[7]

Literatur

  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1; Quantenmechanik – Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-68868-4. Seite 220ff
  • Oliver Passon, Johannes Grebe-Ellis: Was besagt die Heisenberg'sche Unschärferelation? (PDF) Abgerufen am 11. Mai 2019.

Einzelnachweise

  1. ↑ W. Heisenberg: Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. In: Zeitschrift für Physik. Band 43, Nr. 3, 1927, S. 172–198, doi:10.1007/BF01397280 (Originalarbeit [PDF; 2,7 MB]).
  2. ↑ Siegfried Großmann: Heisenbergsche Unschärferelation
  3. ↑ Eckhard Rebhan: Theoretische Physik II. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, München 2005, S. 96 ff.
  4. ↑ Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1; Quantenmechanik - Grundlagen. 7. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-68868-6, Seite 220ff
  5. ↑ John M. Blatt, Viktor Weisskopf: Theoretische Kernphysik. 1. Auflage. B.G.Teubner, Leipzig 1959, S. 354 ff.
  6. ↑ Franz Schwabl: Quantenmechanik - Eine Einführung. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2007, S. 101 ff.
  7. ↑ Albert Messiah: Quantum Mechanics I. North Holland Publishing, Amsterdam 1970, ISBN 0-7204-0044-9, S. 136 ff.
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