Liouville-Gleichung

Die Liouville-Gleichung, nach Joseph Liouville, ist eine Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines physikalischen Systems in der statistischen Mechanik, im Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik, dort auch Von-Neumann-Gleichung genannt.

Die Liouville-Gleichung besagt anschaulich, dass das Volumen einer beliebigen Teilmenge des Phasenraums unter einer zeitlichen Entwicklung erhalten bleibt, d.h. der Fluss durch den Phasenraum ist volumen- und sogar orientierungserhaltend.

Aus der Liouville-Gleichung folgt unmittelbar der Satz von Liouville (auch „Liouville-Theorem“ genannt).

Klassische Gleichung

In der statistischen Physik kann ein Ensemble von Realisierungen eines physikalischen Systems durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho$ im Phasenraum charakterisiert werden ("Phasenraumdichte"). Unabhängig vom gewählten Ensemble gilt für die zeitliche Entwicklung, dass die totale Ableitung dieser Dichte nach der Zeit verschwindet:

{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right]=0

wobei

$q_{i}$ die kanonischen Ortskoordinaten
$p_{i}$ die kanonischen Impulskoordinaten

bezeichnen, jeweils des $$ i $$ -ten Teilchens im Phasenraum.

Das bedeutet, dass sich die Phasenraumdichte entlang einer Phasenraumtrajektorie nicht verändert.

Ersetzt man ${\dot {q}}_{i}$ und ${\dot {p}}_{i}$ gemäß der hamiltonschen Bewegungsgleichungen, so lässt sich dieser Sachverhalt mit Hilfe der Poisson-Klammer kürzer ausdrücken:

{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\rho (\tau ,t)&=-\{\rho (\tau ,t),H\}\\&=+\{H,\rho (\tau ,t)\}\end{aligned}}

wobei

H die Hamilton-Funktion
$\tau$ die Gesamtheit der Phasenraumkoordinaten bezeichnet.

Bei Einführung des Liouvilleoperators

L=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]=\{\cdot ,H\}

kann die Liouvillegleichung auch wie folgt geschrieben werden:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{L}\rho

Quantenmechanische Gleichung

Die quantenmechanische Form der Liouville-Gleichung wird auch Von-Neumann-Gleichung genannt:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {i}{\hbar }}[\rho ,H]

Hier bezeichnet

$$ i $$ die imaginäre Einheit
$\hbar$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum
$\rho$ die Dichtematrix
$$ H $$ den Hamilton-Operator
die eckigen Klammern den Kommutator.

Wie im Fall der klassischen Mechanik kann man formal einen Liouville-Operator $$ L $$ einführen, definiert durch seine Wirkung auf einen Operator $$ A $$ :

LA={\frac {i}{\hbar }}[A,H]

Damit schreibt sich die Von-Neumann-Gleichung:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=L\rho

Mit Hilfe des Wigner-Bildes kann im semiklassischen Grenzfall eine direkte Beziehung zwischen dem Hamilton-Operator und der klassischen Poisson-Klammer hergeleitet werden:

\lim \limits _{\hbar \rightarrow 0}~{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]=\{{A}_{w},{B}_{w}\}

Literatur

Franz Schwabl, Statistische Mechanik, Springer 2004