Oszillatormodell

Das Oszillatormodell ist ein Modell zur Beschreibung der Streuung von Licht an Atomen.

Dazu geht man von einem externen harmonischen elektrischen Feld aus:

\vec{E} (t) = {\vec{E}}_{0} \cdot e^{- i ω t}

Auf ein Elektron im Atom wirkt dann die Kraft

\begin{aligned} \vec{F} & = q \cdot \vec{E} (t) \\ = - e \cdot \vec{E} (t) \end{aligned}

mit der Elementarladung $e$ .

Als Bewegungsgleichung setzt man die eines gedämpften harmonischen Oszillators an:

m_{e} \cdot \ddot{\vec{r}} + m_{e} \cdot Γ \cdot \dot{\vec{r}} + m_{e} \cdot ω_{0}^{2} \cdot \vec{r} = - e \cdot \vec{E} (t)

mit

der Masse $m_{e}$ des Elektrons
der Dämpfung $Γ$ (Atomstöße, Strahlungsverluste etc.)
der Eigenfrequenz $ω_{0}$ .

Nach einiger Zeit sind die Einschwingprozesse abgeklungen und die Elektronen schwingen mit der Kreisfrequenz $ω$ des erregenden externen Feldes. Für diese inhomogene Lösung machen wir den Ansatz:

{\vec{r}}_{inhom} (t) = \vec{a} \cdot e^{- i ω t}

mit der (konstanten) komplexen Amplitude $\vec{a}$ .

Setzt man dies in die Bewegungsgleichung ein, so erhält man für das atomare Dipolmoment:

\begin{aligned} \vec{p} (t) & = α_{e} (ω) \cdot \vec{E} (t) \\ = \frac{e^{2} / m_{e}}{ω_{0}^{2} - ω^{2} - i Γ ω} \cdot \vec{E} (t) \end{aligned}

mit der elektrischen Polarisierbarkeit $α_{e}$ .

Wirkungsquerschnitte

Aus diesen Überlegungen erhält man den differentiellen Wirkungsquerschnitt für die Streuung von Licht:

\frac{d σ}{d Ω} = {(\frac{e^{2}}{m_{e} c^{2}})}^{2} \cdot \frac{ω^{4}}{(ω_{0}^{2} - ω^{2})^{2} + Γ^{2} ω^{2}} \cdot \sin^{2} θ

Hierbei ist $θ$ der Winkel zwischen Dipolmoment und Beobachtungspunkt. Dies hat die Form einer Resonanzkurve.

Daraus ergibt sich der totale Wirkungsquerschnitt zu:

σ (ω) = \frac{8 π}{3} \cdot {(\frac{e^{2}}{m_{e} c^{2}})}^{2} \cdot \frac{ω^{4}}{(ω_{0}^{2} - ω^{2})^{2} + Γ^{2} ω^{2}}

Daraus ergeben sich folgende Grenzfälle:

$ω ≫ ω_{0}$ : Thomson-Streuung
$ω = ω_{0}$ : Resonanzfluoreszenz
$ω ≪ ω_{0}$ : Rayleigh-Streuung.

Siehe auch

Lorentz-Oszillator