Quantenstatistik des Zwei-Zustands-Systems

Dieser Artikel leitet für ein Zwei-Niveau-System wichtige quantenstatistische Ergebnisse her. Da es keine realen Zwei-Niveau-Systeme gibt, ist das Modell rein theoretisch, ein sogenanntes Toy-Modell. Die Ergebnisse gelten aber näherungsweise für zwei gut isolierte Energieniveaus.

Modellbeschreibung

Darstellung des Toy-Modells

Das Modell geht von n Teilchen mit je zwei möglichen Energieniveaus aus. Um die Beschreibung zu vereinfachen, legen wir unseren Energienullpunkt auf das untere Energieniveau. Dann ist das obere Energieniveau auf einer Energie $ E_{0} $. Das heißt nun, jedes unserer Teilchen kann entweder die Energie 0 oder $ E_{0} $ haben.

Energie des Systems

Der Hamiltonoperator eines solchen Systems ist leicht aufzustellen.

$ {\hat {H}}=\sum _{k=1}^{n}{E_{0}*{\hat {n}}_{k}} $

wobei $ {\hat {n}}_{k} $ ein Operator ist, welcher angibt, ob das k-te Teilchen im angeregten Zustand ist oder nicht.

Berechnung der Zustandssummen

Die Zustandssumme erhält man durch Einsetzen des Hamiltonoperators in die kanonische Zustandssumme :

$ Z_{k}(N,V,T)=\operatorname {Sp} (\mathrm {e} ^{-{\frac {\hat {H}}{k_{\mathrm {B} }T}}}). $

$ Z_{k}(N,V,T)=\operatorname {Sp} (\mathrm {e} ^{-{\frac {\sum _{k=1}^{n}{E_{0}*{\hat {n}}_{k}}}{k_{\mathrm {B} }T}}}). $

Die Summe kann aus der Exponentialfunktion gezogen werden und wird zum Produkt.

$ Z_{k}(N,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {Sp} (\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}*{\hat {n}}_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}). $

Nun ersetzen wir die Spur durch eine Summe über n_k und den Operator $ {\hat {n}}_{k} $ durch seinen Eigenwert n_k.

$ Z_{k}(N,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\sum _{n_{k}}(\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}*n_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}). $

Analog erhält man für die großkanonische Zustandssumme :

$ Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\sum _{n_{k}}(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )n_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}). $

Benötigt wird dazu der Teilchenzahloperator $ {\hat {n}}=\sum _{k=0}^{n}{\hat {n}}_{k} $, dieser wird für n in die allgemeine Formel für die großkanonische Zustandssumme $ Z_{k}(N,V,T)=\operatorname {(} Sp)(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {H}}-\mu {\hat {n}}}{k_{\mathrm {B} }T}}}) $ eingesetzt.

Bosonen

Die so erhaltene großkanonische Zustandssumme formen wir noch um. Das beschriebene System enthält n Teilchen auf zwei Energieniveaus, also sind meist mehrere Teilchen in einem Niveau, somit handelt es sich um ein bosonisches System. Die Summe über $ n_{k} $ kann also von Null bis Unendlich laufen. Für jeden Summanden sieht man aber, dass immer gleiche Energieterme multipliziert werden. Daher kann man die Exponentialfunktion auch umschreiben:

$ Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\sum _{n_{k}}(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )}{k_{\mathrm {B} }T}}})^{n_{k}}. $

Diese Form erkennen wir als geometrische Reihe. Daraus folgt :

$ Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})}}. $ (Bosonische Zustandssumme)

Fermionen

Um die fermionische Zustandssumme zu bekommen, benötigen wir einen Trick. Das System wird nur fermionisch, wenn sich in jedem Zustand maximal ein Teilchen befindet. Dazu betrachten wir unser System für $ n=1 $, also für ein einziges Teilchen. Dadurch fällt unser Produkt erstmal weg, und die Summe über $ n_{k} $ enthält nur noch zwei Möglichkeiten: Das Teilchen ist angeregt oder nicht. Daher kann $ n_{k} $ nur noch 0 oder 1 sein.

Die Zustandssumme wird dann zu :

$ Z_{g}(\mu ,V,T)=\sum _{n_{k}=0}^{1}(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )n_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}). $

Einsetzen von n_k liefert :

$ Z_{g}(\mu ,V,T)=1+(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )}{k_{\mathrm {B} }T}}}). $

Dabei wurde benutzt das $ \mathrm {e} ^{0}=1 $ ist.

Dies gibt uns die Zustandssumme für ein Teilchen. Wir verlassen an dieser Stelle unser Modell und sagen, wir wollten ursprünglich ein n-Teilchen-System beschreiben. Indem wir ein System aus n Modellen mit je einem Teilchen betrachten, erhalten wir ein fermionisches System. Die Zustandssumme des Gesamtsystems besteht also aus n Faktoren, die jeweils unser bisheriges Ergebnis darstellen:

$ Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}(1+(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )}{k_{\mathrm {B} }T}}})). $ (Fermionische Zustandssumme)

Thermodynamisches Potential

Wir berechnen das Thermodynamische Potential über:

$ \Omega (T,V,\mu )=-k_{\mathrm {B} }T\log({Z_{g}}). $

Bosonen

Einsetzen der vorher berechneten großkanonischen Zustandssumme liefert:

$ \Omega (T,V,\mu )=-k_{\mathrm {B} }T\log({\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})}}}). $

Das Produkt lässt sich als Summe aus dem Logarithmus ziehen, innen dreht ein Vorzeichenwechsel den Bruch um. Es folgt:

$ \Omega (T,V,\mu )=k_{\mathrm {B} }T\sum _{k=1}^{n}\log(1-(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})). $

Fermionen

Durch Einsetzen und Vorziehen der Summe ergibt sich:

$ \Omega (T,V,\mu )=-k_{\mathrm {B} }T\sum _{k=1}^{n}\log(1+(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})). $

Wir sehen, dass das Potential bis auf die Vorzeichen gleich ist.

$ \Omega (T,V,\mu )=_{-}^{+}k_{\mathrm {B} }T\sum _{k=1}^{n}\log(1_{+}^{-}(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}}))_{Fermionen}^{Bosonen}. $

Verteilungsfunktionen

Man erhält den Erwartungswert für die Teilchenzahl, indem man das thermodynamische Potential nach dem negativen chemischen Potential ableitet.

$ <{\hat {N}}>=-({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }})_{\beta ,V} $ mit $ \beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}. $

Bosonen

Die Ableitung des Logarithmus liefert:

$ {\frac {1}{1-(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})}}. $

Die innere Ableitung gibt:

$ -{\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}}. $

Zusammengefasst erhalten wir dann:

$ <{\hat {N}}>={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})}}\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}}. $

Nach Kürzen von k_BT und Zusammenfassen des Bruchs erhalten wir die Bose-Verteilung:

$ <{\hat {N}}>=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(\mathrm {e} ^{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}})-1}}. $ (Bose-Verteilung)

Fermionen

Analog erhält man durch Einsetzen des Potentials für Fermionen nach dem Ableiten:

$ <{\hat {N}}>={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})}}\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}}. $

Zusammenfassen liefert nun die Fermi-Verteilung:

$ <{\hat {N}}>=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(\mathrm {e} ^{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}})+1}}. $ (Fermi-Verteilung)

Auch hier sehen wir, dass sich die Verteilungen nur um ein Vorzeichen unterscheiden:

$ <{\hat {N}}>=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(\mathrm {e} ^{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}})_{-}^{+}1}}. $

Aus dem Modell ergeben sich also die allgemein gültigen Fermi- und Bose-Verteilungen. Diese sind für das Modell aber nur begrenzt sinnvoll, da für hohe Temperaturen fast alle Teilchen im angeregten Zustand sind, und das Modell damit seinen Sinn verliert.