Reynolds-Zahl

Die Reynolds-Zahl oder Reynoldssche Zahl (Formelzeichen: $ {\mathit {Re}} $) ist eine nach dem Physiker Osborne Reynolds benannte dimensionslose Kennzahl. Sie wird in der Strömungslehre verwendet und kann als das Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften verstanden werden (bzw. das Verhältnis von spezifischer Impulskonvektion zu Impulsdiffusion im System). Es zeigt sich, dass das Turbulenzverhalten geometrisch ähnlicher Körper bei gleicher Reynolds-Zahl identisch ist. Diese Eigenschaft erlaubt zum Beispiel realitätsnahe Modellversuche im Windkanal oder Wasserkanal.

Definition

Die Reynolds-Zahl ist definiert als

$ {\mathit {Re}}={\frac {\rho \,v\,d}{\eta }}={\frac {v\,d}{\nu }} $

Dabei ist $ \rho $ die Dichte des Fluids, $ v $ die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids gegenüber dem Körper und $ d $ die charakteristische Länge des Körpers. Die charakteristische Länge, auch Bezugslänge genannt, ist für die jeweilige Problemstellung definiert bzw. zu definieren. Bei Strömungskörpern wird üblicherweise die Länge des Körpers in Strömungsrichtung gewählt. Bei Widerstandskörpern wird meist die Breite oder Höhe quer zur Strömungsrichtung, bei Rohrströmungen der Radius oder Durchmesser des Rohres und bei Gerinnen die Tiefe oder die Breite an der Gerinne-Oberfläche als charakteristische Länge genommen. Die kinematische Viskosität $ \nu $ des Fluids unterscheidet sich von der dynamischen Viskosität $ \eta =\nu \,\rho $ durch den Faktor $ \rho $.

Überschreitet die Reynolds-Zahl einen (problemabhängigen) kritischen Wert ($ {\mathit {Re}}_{\mathrm {krit} } $), wird eine bis dahin laminare Strömung anfällig gegen kleinste Störungen. Entsprechend ist für $ {\mathit {Re}}>{\mathit {Re}}_{\mathrm {krit} } $ mit einem Umschlag von laminarer in turbulente Strömung zu rechnen. In idealen Flüssigkeiten gibt es keine Viskosität und es treten keine Turbulenzen auf, weshalb die Reynolds-Zahl unendlich ist.

In der Magnetohydrodynamik wird die magnetische Reynolds-Zahl definiert.

Anwendungen

Geschwindigkeiten und Reynolds-Zahlen einiger Flugobjekte

Das Diagramm rechts vergleicht Geschwindigkeiten und zugehörige Reynolds-Zahlen der Strömungen um einige Flugobjekte. Beispielsweise sind die Reynolds-Zahlen von Luftschiffen höher als die von Flugzeugen. Sie bewegen sich zwar mit geringerer Geschwindigkeit, sind aber deutlich größer.

Die Reynolds-Zahl ist eine wichtige Größe innerhalb der Ähnlichkeitstheorie. Will man zum Beispiel ein verkleinertes Modell eines Flugzeuges in einem Windkanal untersuchen, so muss der Wert der Reynolds-Zahl von Original und Modell gleich sein, um ein ähnliches Strömungsfeld zu erhalten. Entsprechend muss bei einem um einen Faktor $ f $ verkleinerten Modell das Verhältnis $ {\tfrac {v}{\nu }} $ um den Faktor $ f $ erhöht werden. Da die Maximalgeschwindigkeit begrenzt ist, senkt man in Kryo-Windkanälen zusätzlich die Viskosität der Luft durch Kühlung und erhöht dadurch gleichzeitig die Luftdichte. Auf diese Weise sind Reynolds-Zahlen bis zu 5 · 10⁷ in Probenkammern von zwei Metern Durchmesser erreichbar. Dieses Vorgehen ist allerdings sehr teuer, da hier meist mit flüssigem Stickstoff der Kanal mitsamt Modell abgekühlt werden muss. Beim Abkühlen muss darauf geachtet werden, dass sich keine Vereisungen bilden. Eine weitere Erhöhung der Reynolds-Zahl kann auch durch die Erhöhung des statischen Druckes erreicht werden.

Staubkörner sind sehr klein. Wenn sie durch die Luft fallen, haben sie eine ähnlich niedrige Reynolds-Zahl wie eine Stahlkugel, die in ein Glas Honig fällt. Sie bewegt sich laminar (d. h. ohne Wirbelbildung) durch das Fluid. Mikroorganismen schwimmen bei Reynolds-Zahlen 10⁻⁵ bis 10⁻², sodass Inertialkräfte vernachlässigbar sind. Ein Beispiel: Hörten die Geißeln des Bakteriums E. coli auf zu schlagen, käme dieser Schwimmer bereits nach weniger als einem Atomdurchmesser zum Stehen.^[1]

Bei der Auslegung von Windkraftanlagen spielt die Reynolds-Zahl ebenfalls eine Rolle. Durch sie lässt sich der Strömungsabriss an deren Flügeln bestimmen und somit die Anlage für gewünschte Windgeschwindigkeiten auslegen.

Beispiele

Rohrströmung

Bei Rohrströmungen werden als charakteristische Größen üblicherweise der Innendurchmesser $ L=d $, der Betrag der über den Querschnitt gemittelten Geschwindigkeit $ v=v_{\mathrm {m} } $ und die Viskosität des Fluids $ \nu $ verwendet.

$ {\mathit {Re}}={\frac {v_{\mathrm {m} }\cdot d}{\nu }} $.

Es gilt dann: $ {\mathit {Re}}_{\mathrm {krit} }\approx 2040\pm 10 $.^[2]

In der Literatur wird häufig ein Wert von $ {\mathit {Re}}=2300 $ oder $ 2320 $ zitiert. Er geht zurück auf Messungen von Julius Rotta (1956^[3]).

Die kritische Reynolds-Zahl $ {\mathit {Re}}_{\mathrm {krit} } $ charakterisiert nicht exakt den Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung. Vielmehr zerfallen Turbulenzen unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl, und zwar umso schneller, je kleiner die Reynolds-Zahl ist. Es ist in Experimenten gelungen, laminare Rohrströmungen mit Reynolds-Zahlen um 50.000 zu erzeugen, ohne dass die Strömung turbulent geworden ist.^[4] Wenn Störungen den Umschlag in eine turbulente Strömung erzeugen, bleibt die Strömung bei überkritischer Reynolds-Zahl turbulent.

Die kritische Reynolds-Zahl $ {\mathit {Re}}_{\mathrm {krit} } $, die den Übergang zwischen turbulenter und laminarer Strömung markiert, ist nicht nur abhängig von der Geometrie des Anwendungsfalles, sondern auch von der Wahl der charakteristischen Länge. Wird zum Beispiel der Rohrradius statt des Durchmessers der Strömung als charakteristisches Längenmaß einer Rohrströmung gewählt, halbiert sich der Zahlenwert $ {\mathit {Re}}_{\mathrm {krit} } $, der dasselbe aussagen soll. Da die kritische Reynolds-Zahl ein Wert ist, der keinen blitzartigen Umschlag, sondern einen breiten Übergangsbereich der Strömungsverhältnisse markiert, ist der üblicherweise verwendete Zahlenwert nicht $ {\frac {2300}{2}}=1150 $, sondern wird auf $ {\mathit {Re}}_{\mathrm {krit} }\approx 1200 $ gerundet.

Gerinneströmung

Bei Gerinneströmungen werden als charakteristische Größen der hydraulische Durchmesser $ d_{\mathrm {h} } $, der Betrag der mittleren Fließgeschwindigkeit über den durchflossenen Querschnitt $ v_{\mathrm {m} } $ und die Viskosität des Fluids $ \nu $ verwendet.^[5]

$ Re={\frac {v_{\mathrm {m} }\,d_{\mathrm {h} }}{\nu }} $

Rührerströmung

Bei einem Rührer wird die Reynolds-Zahl durch den Durchmesser $ D $ des Rührers, dessen Drehzahl $ N $ in 1/s, sowie die Dichte $ \rho $ und die dynamische Viskosität $ \eta $ der Flüssigkeit bestimmt:^[6]

$ {\mathit {Re}}_{\mathrm {R} }={\frac {\rho \,N\,D^{2}}{\eta }} $

Um Verwechslungen zu vermeiden, sollte diese Reynolds-Zahl gekennzeichnet werden, hier mit dem Index $ R $ für „Rührer“. Bei $ {\mathit {Re}}_{\mathrm {R} }>10\,000 $ gilt die Strömung am Rührer als turbulent.

Beurteilung einer turbulenten Strömung

Um den Turbulenzgrad zu charakterisieren, kann die Reynolds-Zahl auch mit turbulenzbezogenen Größen gebildet werden (turbulente Reynolds-Zahl $ {\mathit {Re}}_{\mathrm {t} } $). Als charakteristische Größen werden dann beispielsweise die Varianz der Geschwindigkeit $ v=v' $ und das integrale Längenmaß $ L=l $ der Strömung verwendet. Hinzu kommt die (molekulare) Viskosität des Fluids $ \nu $.

$ {\mathit {Re}}_{\mathrm {t} }={\frac {v'\,l}{\nu }} $

Es gilt dann $ {\mathit {Re}}_{\mathrm {t,krit} }\approx 1 $.

Weblinks

Commons: Reynolds number – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Die Reynolds-Zahl im physikalischen Zusammenhang
• Rechner zur näherungsweisen Berechnung der Reynolds-Zahl

Einzelnachweise