Weyl-Gleichung

Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin -1/2. Sie wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet.

Herleitung

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:

$\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_L\\ {\mathrm{\Psi }}_R\end{array}\right)$

Die 2er-Spinoren ${\mathrm{\Psi }}_L$ und ${\mathrm{\Psi }}_R$ sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse $m$ gekoppelt:

$(\mathrm{i}{\gamma }^n{\partial }_n-m)\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{cc}-m& \mathrm{i}({\partial }_0+\overrightarrow{\sigma }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\\ \mathrm{i}({\partial }_0-\overrightarrow{\sigma }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }})& -m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_L\\ {\mathrm{\Psi }}_R\end{array}\right)=0$

Hierbei sind ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ die Pauli-Matrizen.

Verschwindet die Masse $(m=0),$ so zerfällt die Diracgleichung in je eine Weyl-Gleichung für den links- und den rechtshändigen Spinor:

$\mathrm{i}({\partial }_0-\overrightarrow{\sigma }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}){\mathrm{\Psi }}_L=0$

$\mathrm{i}({\partial }_0+\overrightarrow{\sigma }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}){\mathrm{\Psi }}_R=0$

Chirale Kopplung

Zur Beschreibung der schwachen Wechselwirkung ist wichtig, dass die links- und rechtshändigen Spinoren unterschiedlich, aber lorentzinvariant, an Vektorfelder koppeln können (chirale Kopplung). Die Kopplung entsteht, indem die Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt werden:

$D_n={\partial }_n-\mathrm{i}e{T}_a{A}_n^a$

Dabei bezeichnet

• $e$ ist die Kopplungskonstante
• $T_a$ Matrizen, die die Lie-Algebra der Eichgruppe darstellen
• $A_n^a$ die Komponenten der Vektorfelder.

Bei den rechtshändigen Spinoren verschwinden die Matrizen $(T_a=0),$ sie haben keine schwache Wechselwirkung.