Zustandsgleichung von Mie-Grüneisen

Die Mie-Grüneisen-Zustandsgleichung (engl. auch Mie-Gruneisen equation of state), benannt nach Gustav Mie und Eduard Grüneisen, ist eine Zustandsgleichung der Physik, die für hochverdichtete Materie einen speziellen funktionalen Zusammenhang zwischen der Dichte $ \rho $, dem Druck $ p $ und der absoluten Temperatur $ T $ darstellt. Sie wird u. a. zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit und von Stoßwellen bei hohen Umgebungsdrücken sowie zur Modellierung von seismologischen Untersuchungen des Erdinneren verwendet.

Die spezielle Annahme von Mie-Grüneisen bezieht sich auf die Temperaturabhängigkeit, die nur in der Form einer "skalierten Temperatur" $ t $ auftreten darf:

$ t(T,\rho )={\frac {T}{TD(\rho )}}, $

wobei der dichte- oder volumen-abhängige "Temperaturparameter" TD($ \rho $) pauschal das Frequenzspektrum der Gitterschwingungen repräsentiert und üblicherweise mehrere Materialparameter enthält.

Spezielle Form der Gleichung

Eine spezielle Form der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung stellt die Messergebnisse von Hochdruckexperimenten auf der Basis von drei Materialparametern im temperatur-unabhängigen Teil dar:

$ p=p_{0}\cdot \left(1-\Gamma \cdot \eta \right)+{\frac {\rho _{0}\cdot C_{0}^{2}\cdot \eta }{\left(1-s\cdot \eta \right)^{2}}}\cdot \left(1-{\frac {\Gamma \cdot \eta }{2}}\right)+\Gamma \cdot \rho _{0}\cdot \left(e-e_{0}\right) $

mit

$ \eta =1-{\frac {\rho _{0}}{\rho }} $.

Hierbei bezeichnet

• $ \rho _{0} $ die Dichte im Normalzustand
• $ C_{0} $ die Schallgeschwindigkeit im Normalzustand
• $ \Gamma =\Gamma _{0} $ den dimensionslosen Grüneisenkoeffizienten im Normalzustand
• $ s $ den linearen Hugoniot-Steigungskoeffizient (engl. linear Hugoniot slope coefficient), eine dimensionslose Materialkonstante
• $ e-e_{0} $ die spezifische innere Energie, die im Mie-Grüneisen-Fall nur von der skalierten Temperatur $ t $ (s. o.) abhängen darf.

Beispiele für Parameter der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung

Wasser: $ \rho _{0}=1000 $ kg/m³ ; $ C_{0}=1489 $ m/s ; $ s=1{,}79 $ ; $ \Gamma =1{,}65 $

Stahl: $ \rho _{0}=7850 $ kg/m³ ; $ C_{0}=4500 $ m/s ; $ s=1{,}49 $ ; $ \Gamma =2{,}17 $

Kupfer: $ \rho _{0}=8930 $ kg/m³ ; $ C_{0}=3940 $ m/s ; $ s=1{,}48 $ ; $ \Gamma =1{,}96 $

Zusammenhang der Parameter mit anderen thermodynamischen Zustandsgrößen

Die Schallgeschwindigkeit, mit der sich kleine Druck- und Dichteschwankungen in einem Medium fortpflanzen, ist bei reversibler adiabatischer Zustandsänderung (d.h. bei konstanter Entropie $ S $) gegeben durch:

$ c_{S}={\sqrt {\left.{\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right|_{S}}}={\sqrt {{\frac {p}{\rho }}\cdot \gamma }} $

Die Schallgeschwindigkeit ist eine Zustandsgröße.

Der Adiabatenexponent $ \gamma $ ergibt sich aus:

$ \gamma =-{\frac {V}{p}}\cdot \left.{\frac {\partial p}{\partial V}}\right|_{S} $

Der Grüneisenkoeffizient ist definiert durch:

$ \Gamma =-{\frac {V}{T}}\cdot \left.{\frac {\partial T}{\partial V}}\right|_{S}={\frac {\beta }{\kappa \cdot \rho \cdot c_{V}}} $

wobei die Maxwell-Relation $ \left.{\frac {\partial S}{\partial V}}\right|_{T}=\left.{\frac {\partial p}{\partial T}}\right|_{V} $ und folgende Bezeichnungen verwendet wurden:

Thermische Ausdehnung:

$ \beta ={\frac {1}{V}}\cdot \left.{\frac {\partial V}{\partial T}}\right|_{p}=-{\frac {1}{\rho }}\cdot \left.{\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right|_{p} $

Isotherme Kompressibilität:

$ \kappa =-{\frac {1}{V}}\cdot \left.{\frac {\partial V}{\partial p}}\right|_{T} $

Isochore spezifische Wärmekapazität:

$ c_{V}={\frac {T}{\rho \cdot V}}\cdot \left.{\frac {\partial S}{\partial T}}\right|_{V} $

Literatur

• Debye, P.: Zur Theorie der spezifischen Wärmen. In: Annalen der Physik 39, 789–839 (1912)
• Grüneisen, E.: Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente. In: Annalen der Physik 39, 257–306 (1912)
• Mie, G.: Grundlagen einer Theorie der Materie. In: Annalen der Physik 2, 1–40 (1912)
• G.McQueen, S.P.Marsh, J.W.Taylor, J.N.Fritz, W.J.Carter: "High Velocity Impact Phenomena", (1970), S. 230
• M.A.Zocher et al.: An evaluation of several hardening models using Taylor cylinder impact data. Proc. European Congress on computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS, Barcelona, Spain
• W.B.Holzapfel: Equations of state for solids under strong compression. In: Zeitschrift für Kristallographie. 216 (2000) S. 473–488