Zustandsgleichung von Mie-Grüneisen

Die Mie-Grüneisen-Zustandsgleichung (engl. auch Mie-Gruneisen equation of state), benannt nach Gustav Mie und Eduard Grüneisen, ist eine Zustandsgleichung der Physik, die für hochverdichtete Materie einen speziellen funktionalen Zusammenhang zwischen der Dichte $ρ$ , dem Druck $p$ und der absoluten Temperatur $T$ darstellt. Sie wird u. a. zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit und von Stoßwellen bei hohen Umgebungsdrücken sowie zur Modellierung von seismologischen Untersuchungen des Erdinneren verwendet.

Die spezielle Annahme von Mie-Grüneisen bezieht sich auf die Temperaturabhängigkeit, die nur in der Form einer "skalierten Temperatur" $t$ auftreten darf:

t (T, ρ) = \frac{T}{T D (ρ)},

wobei der dichte- oder volumen-abhängige "Temperaturparameter" $T D (ρ)$ pauschal das Frequenzspektrum der Gitterschwingungen repräsentiert und üblicherweise mehrere Materialparameter enthält.

Spezielle Form der Gleichung

Eine spezielle Form der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung stellt die Messergebnisse von Hochdruckexperimenten auf der Basis von drei Materialparametern im temperaturunabhängigen Teil dar:

p = p_{0} \cdot (1 - Γ \cdot η) + \frac{ρ_{0} \cdot C_{0}^{2} \cdot η}{{(1 - s \cdot η)}^{2}} \cdot (1 - \frac{Γ \cdot η}{2}) + Γ \cdot ρ_{0} \cdot (e - e_{0})

mit

η = 1 - \frac{ρ_{0}}{ρ}

.

Hierbei bezeichnet

$ρ_{0}$ die Dichte im Normalzustand
$C_{0}$ die Schallgeschwindigkeit im Normalzustand
$Γ = Γ_{0}$ den dimensionslosen Grüneisenkoeffizienten im Normalzustand
$s$ den linearen Hugoniot-Steigungskoeffizient (engl. linear Hugoniot slope coefficient), eine dimensionslose Materialkonstante
$e - e_{0}$ die spezifische innere Energie, die im Mie-Grüneisen-Fall nur von der skalierten Temperatur $t$ (s. o.) abhängen darf.

Beispiele für Parameter der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung

Wasser: $ρ_{0} = 1000$ kg/m³ ; $C_{0} = 1489$ m/s ; $s = 1, 79$ ; $Γ = 1, 65$

Stahl: $ρ_{0} = 7850$ kg/m³ ; $C_{0} = 4500$ m/s ; $s = 1, 49$ ; $Γ = 2, 17$

Kupfer: $ρ_{0} = 8930$ kg/m³ ; $C_{0} = 3940$ m/s ; $s = 1, 48$ ; $Γ = 1, 96$

Zusammenhang der Parameter mit anderen thermodynamischen Zustandsgrößen

Die Schallgeschwindigkeit, mit der sich kleine Druck- und Dichteschwankungen in einem Medium fortpflanzen, ist bei reversibler adiabatischer Zustandsänderung (d. h. bei konstanter Entropie $S$ ) gegeben durch:

c_{S} = \sqrt{{\frac{\partial p}{\partial ρ} |}_{S}} = \sqrt{\frac{p}{ρ} \cdot γ}

Die Schallgeschwindigkeit ist eine Zustandsgröße.

Der Adiabatenexponent $γ$ ergibt sich aus:

γ = - \frac{V}{p} \cdot {\frac{\partial p}{\partial V} |}_{S}

Der Grüneisenkoeffizient ist definiert durch:

Γ = - \frac{V}{T} \cdot {\frac{\partial T}{\partial V} |}_{S} = \frac{β}{κ \cdot ρ \cdot c_{V}}

wobei die Maxwell-Relation ${\frac{\partial S}{\partial V} |}_{T} = {\frac{\partial p}{\partial T} |}_{V}$ und folgende Bezeichnungen verwendet wurden:

Thermische Ausdehnung:

β = \frac{1}{V} \cdot {\frac{\partial V}{\partial T} |}_{p} = - \frac{1}{ρ} \cdot {\frac{\partial ρ}{\partial T} |}_{p}

Isotherme Kompressibilität:

κ = - \frac{1}{V} \cdot {\frac{\partial V}{\partial p} |}_{T}

Isochore spezifische Wärmekapazität:

c_{V} = \frac{T}{ρ \cdot V} \cdot {\frac{\partial S}{\partial T} |}_{V}

Literatur

Debye, P.: Zur Theorie der spezifischen Wärmen. In: Annalen der Physik 39, 789–839 (1912)
Grüneisen, E.: Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente. In: Annalen der Physik 39, 257–306 (1912)
Mie, G.: Grundlagen einer Theorie der Materie. In: Annalen der Physik 2, 1–40 (1912)
G.McQueen, S.P.Marsh, J.W.Taylor, J.N.Fritz, W.J.Carter: "High Velocity Impact Phenomena", (1970), S. 230
M.A.Zocher et al.: An evaluation of several hardening models using Taylor cylinder impact data. Proc. European Congress on computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS, Barcelona, Spain
W.B.Holzapfel: Equations of state for solids under strong compression. In: Zeitschrift für Kristallographie. 216 (2000) S. 473–488