Der Boltzmann-Faktor $ \exp \left(-{\frac {E}{k_{\mathrm {B} }\cdot T}}\right) $
mit
spielt eine zentrale Rolle in der theoretischen Thermodynamik (statistische Physik). Er tritt auf im Kontext eines Systems in Kontakt mit einem Wärmebad (kanonisches Ensemble).
So besagt die Boltzmann-Statistik, dass die Wahrscheinlichkeit $ W $, einen Zustand der Energie $ E $ mit einem Teilchen besetzt zu finden, proportional ist zum Boltzmann-Faktor:
Innerhalb eines gegebenen Energieintervalls befinden sich evtl. mehrere Zustände, sodass die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen bei dieser Energie zu beobachten, durch das Produkt des Boltzmannfaktors, der Energiezustandsdichte $ D(E) $ und der Breite des Energieintervalls gegeben ist:
Der Boltzmann-Faktor wird aus rein statistischen Betrachtungen hergeleitet und ist unabhängig von den Wechselwirkungen innerhalb des thermodynamischen Systems.
Die Exponentialfunktion des Boltzmann-Faktors hat ihren Ursprung in einer Eigenschaft des Wärmebads. Die mikrokanonische Zustandssumme eines Wärmebads konstanter Temperatur $ T $ erfüllt die Gleichung
Ein Beispiel dafür ist die Zustandssumme des idealen Gases. Die Energie $ \Delta E $ kann nur aus dem an das Wärmebad gekoppelten System stammen, und dies führt auf den Boltzmann-Faktor.
Die Exponentialfunktion in der Wärmebad-Zustandssumme ist generisch und hat eine anschauliche Begründung. Ein Wärmebad ist per Definition beliebig groß und ändert sich bei Hinzufügen einer endlichen Energiemenge $ \Delta E $ daher nicht. Insbesondere hat es konstante Temperatur. Entsprechend ändert sich seine Zustandssumme bei jedem weiteren Hinzufügen einer Energiemenge $ \Delta E $ um denselben Faktor $ e^{\beta \Delta E} $, was nur bei einer Exponentialfunktion gegeben ist. Formal folgt die Wärmebad-Zustandssumme auch aus der Definition
der Temperatur des mikrokanonischen Ensembles. Wenn das Wärmebad hinreichend groß ist, ist $ \beta =1/k_{B}T $ konstant und das Integral liefert eine Exponentialfunktion.
Die potentielle Energie eines Gasmoleküls der Luft mit Masse $ m $ in der Höhe $ h $ ist $ mgh $. Die Wahrscheinlichkeit, es in dieser Höhe anzutreffen, ist proportional zu
Zum Start einer chemischen Reaktion ist die molare Aktivierungsenergie $ E_{\mathrm {A} } $ erforderlich. Die Geschwindigkeitskonstante einer chemischen Reaktion ist proportional zu
Der Übergang von der Flüssigkeit in die Gasphase erfordert die molare Verdampfungswärme $ Q_{d} $ (präziser wäre Enthalpie). Der Sättigungsdampfdruck ist proportional zu