Bogoliubov-Ungleichung

Als Bogoliubov-Ungleichung werden zwei Ungleichungen bezeichnet, die beide sehr allgemeine Aussagen in der statistischen Physik machen. Die erste so bezeichnete Ungleichung ist eher abstrakt und setzt einen mit zwei Operatoren, A bzw. C, gebildeten Ausdruck (einen Erwartungswerten von quantenmechanischen Operatoren im thermischen Gleichgewicht) in Beziehung zu einem Produkt aus zwei mit den separaten Operatoren gebildeten Korrelationsfunktionen. Veröffentlicht wurde die Ungleichung 1962^[1] von dem russischen Physiker und Mathematiker Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow. Variante 2 ist konkreter: sie betrifft die Freie Energie eines thermodynamischen Systems und ihre verschiedenen Näherungen und ist allgemeiner bekannt (siehe viele Standard-Lehrbücher der Statistischen Physik).

Inhalt der Variante 1

Betrachtet wird ein physikalisches System, beschrieben mittels eines Hamiltonoperators $ H $. Dann gilt für zwei Operatoren $ A $ und $ C $ (für die die angegebenen Mittelwerte existieren, die aber ansonsten beliebig sind):

$ |\langle [A,C]\rangle |^{2}\leq {\frac {\beta }{2}}\langle \{A,A^{\dagger }\}\rangle \cdot \langle [C^{\dagger },[H,C]]\rangle \qquad {\text{mit}}\qquad \beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}} $

wobei $ [A,C] $ als Kommutator bzw. $ \{A,A^{\dagger }\} $ als Anti-Kommutator zu verstehen sind, sowie der Erwartungswert eines Operators $ X $ als

$ \langle X\rangle ={\text{Sp}}(e^{-\beta H}X)/{\text{Sp}}(e^{-\beta H}) $

gegeben ist. $ k_{\mathrm {B} } $ ist die Boltzmann-Konstante. Der (ursprüngliche) Beweis des Mermin-Wagner-Theorems, eines Fundamentaltheorems über die Unmöglichkeit geordneter zweidimensionaler Ferromagnete (bzw. Supraleiter bzw. Kristalle) bei isotroper Wechselwirkung, beruht hauptsächlich auf dieser Ungleichung.^[2]

Beweisidee

Der Beweis der Bogoliubov-Ungleichung basiert darauf, dass über

$ (A,B):=\sum _{nm}^{E_{n}\neq E_{m}}\langle n|A^{\dagger }|m\rangle \langle m|B|n\rangle {\frac {e^{-\beta E_{m}}-e^{-\beta E_{n}}}{E_{n}-E_{m}}} $

ein positiv semi-definites Skalarprodukt definiert werden kann. Als Skalarprodukt erfüllt es die Schwarzsche Ungleichung:

$ |(A,B)|^{2}\leq (A,A)\cdot (B,B) $

Betrachtet man nun Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B=[C^\dagger,H] so erhält man die Ungleichung.

Variante 2

Eine andere Beziehung ist ebenfalls als Bogoliubov'sche Ungleichung bekannt,^[3] aber allgemeiner anwendbar, z. B. bei der Approximation der sog. Freien Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F eines beliebigen thermodynamischen Systems durch Näherungsverfahren, z. B. durch eine Molekularfeld-Näherung. Diese ebenfalls als "Bogoliubov'sche Ungleichung" bezeichnete Beziehung beruht darauf, dass in solchen Fällen der Hamiltonoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H des Systems durch eine Näherung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H_0 ersetzt wird. Es gilt dann die Beziehung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F\le F_0+\langle\mathcal H-\mathcal H_0\rangle_0\,,

wobei auf der rechten Seite dieser Ungleichung alle Erwartungswerte konsequent mit dem Näherungsoperator zu berechnen sind, z. B. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle X\rangle_0=\frac{{\rm{Spur}\,\,} (e^{-\beta\mathcal H_0}X)}{{\rm{Spur}}\,\, e^{-\beta\mathcal H_0}}\,. Die freie Energie ist im Weiteren der Logarithmus der Zustandssumme, $ F=-\beta ^{-1}\ln {\rm {{Spur}\,\,e^{-\beta {\mathcal {H}}}}}\,. $ Das Multiplikationszeichen, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cdot \,, ist jetzt durch das Summenzeichen, +, ersetzt, was wegen des logarithmischen Charakters der Freien Energie sachgemäß ist (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ln a\cdot b =\ln a + \ln b ).

Ein Beweis der Variante 2 findet sich in dem angegebenen Artikel. Beide Varianten beruhen auf ähnlichen Ideen.

Literatur

• Nolting: Quantentheorie des Magnetismus, Teubner, Bd. 2

Quellen