Bogoliubov-Ungleichung

Als Bogoliubov-Ungleichung werden zwei Ungleichungen bezeichnet, die beide sehr allgemeine Aussagen in der statistischen Physik machen. Die erste so bezeichnete Ungleichung ist eher abstrakt und setzt einen mit zwei Operatoren, A bzw. C, gebildeten Ausdruck (einen Erwartungswerten von quantenmechanischen Operatoren im thermischen Gleichgewicht) in Beziehung zu einem Produkt aus zwei mit den separaten Operatoren gebildeten Korrelationsfunktionen. Veröffentlicht wurde die Ungleichung 1962^[1] von dem russischen Physiker und Mathematiker Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow. Variante 2 ist konkreter: sie betrifft die Freie Energie eines thermodynamischen Systems und ihre verschiedenen Näherungen und ist allgemeiner bekannt (siehe viele Standard-Lehrbücher der Statistischen Physik).

Inhalt der Variante 1

Betrachtet wird ein physikalisches System, beschrieben mittels eines Hamiltonoperators $H$. Dann gilt für zwei Operatoren $A$ und $C$ (für die die angegebenen Mittelwerte existieren, die aber ansonsten beliebig sind):

$|⟨[A,C]⟩{|}^2\le \frac{\beta }{2}⟨\{A,A^{†}\}⟩\cdot ⟨[C^{†},[H,C]]⟩\text{mit}\beta =\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T}$

wobei $[A,C]$ als Kommutator bzw. $\{A,A^{†}\}$ als Anti-Kommutator zu verstehen sind, sowie der Erwartungswert eines Operators $X$ als

$⟨X⟩=\text{Sp}(e^{-\beta H}X)/\text{Sp}(e^{-\beta H})$

gegeben ist. $k_{\mathrm{B}}$ ist die Boltzmann-Konstante. Der (ursprüngliche) Beweis des Mermin-Wagner-Theorems, eines Fundamentaltheorems über die Unmöglichkeit geordneter zweidimensionaler Ferromagnete (bzw. Supraleiter bzw. Kristalle) bei isotroper Wechselwirkung, beruht hauptsächlich auf dieser Ungleichung.^[2]

Beweisidee

Der Beweis der Bogoliubov-Ungleichung basiert darauf, dass über

$(A,B):=\sum _{nm}^{E_n\ne E_m}⟨n|A^{†}|m⟩⟨m|B|n⟩\frac{e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n}}{E_n-E_m}$

ein positiv semi-definites Skalarprodukt definiert werden kann. Als Skalarprodukt erfüllt es die Schwarzsche Ungleichung:

$|(A,B){|}^2\le (A,A)\cdot (B,B)$

Betrachtet man nun $B=[C^{†},H]$ so erhält man die Ungleichung.

Variante 2

Eine andere Beziehung ist ebenfalls als Bogoliubov'sche Ungleichung bekannt,^[3] aber allgemeiner anwendbar, z. B. bei der Approximation der sog. Freien Energie $F$ eines beliebigen thermodynamischen Systems durch Näherungsverfahren, z. B. durch eine Molekularfeld-Näherung. Diese ebenfalls als "Bogoliubov'sche Ungleichung" bezeichnete Beziehung beruht darauf, dass in solchen Fällen der Hamiltonoperator $\mathcal{H}$ des Systems durch eine Näherung ${\mathcal{H}}_0$ ersetzt wird. Es gilt dann die Beziehung

$F\le F_0+⟨\mathcal{H}-{\mathcal{H}}_0{⟩}_0,$

wobei auf der rechten Seite dieser Ungleichung alle Erwartungswerte konsequent mit dem Näherungsoperator zu berechnen sind, z. B. $⟨X{⟩}_0=\frac{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(e^{-\beta {\mathcal{H}}_0}X)}{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}{e}^{-\beta {\mathcal{H}}_0}}.$ Die freie Energie ist im Weiteren der Logarithmus der Zustandssumme, $F=-{\beta }^{-1}\ln \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}{\mathrm{e}}^{-\beta \mathcal{H}}.$ Das Multiplikationszeichen, $\cdot ,$ ist jetzt durch das Summenzeichen, +, ersetzt, was wegen des logarithmischen Charakters der Freien Energie sachgemäß ist ($\ln a\cdot b=\ln a+\ln b$).

Ein Beweis der Variante 2 findet sich in dem angegebenen Artikel. Beide Varianten beruhen auf ähnlichen Ideen.

Literatur

• Nolting: Quantentheorie des Magnetismus, Teubner, Bd. 2

Quellen