Die Brachistochrone (gr. brachystos kürzeste, chronos Zeit) ist die Bahn zwischen einem Anfangs- und einem gleich hoch oder tiefer gelegenen Endpunkt, auf der ein sich reibungsfrei bewegender Massenpunkt unter dem Einfluss der Gravitationskraft am schnellsten zum Endpunkt gleitet. Der Tiefpunkt der Bahn kann tiefer liegen als der Endpunkt.
Der Körper gleitet auf einer solchen Bahn schneller zum Ziel als auf jeder anderen Bahn, beispielsweise auf einer geradlinigen, obwohl diese kürzer ist.
Gleichzeitig ist diese Kurve eine Tautochrone, d. h. von jedem Punkt der Kurve benötigt der Massepunkt die gleiche Zeit, um zum Tiefpunkt zu gelangen. Dieser Sachverhalt wird beim sogenannten Zykloidenpendel ausgenutzt, bei dem die Pendelmasse auf einer Tautochrone schwingt.
Die Brachistochrone ist Teil einer Zykloide.
Johann I Bernoulli hat sich mit dem Problem des schnellsten Falles beschäftigt. Im Jahre 1696 fand er schließlich die Lösung in der Brachistochrone.[1] Heute sieht man dies oft als die Geburtsstunde der Variationsrechnung.
Christiaan Huygens veröffentlichte 1673 in seiner Abhandlung Horologium Oscillatorium eine ganggenaue Pendeluhr mit einem Zykloidenpendel, bei dem er sich die Tatsache zunutze machte, dass die Evolute der Zykloide selbst wieder eine Zykloide ist. Der Vorteil der Ganggenauigkeit wird jedoch durch die erhöhte Reibung wett- bzw. zunichtegemacht.
Die Brachistochrone lässt sich in einer Parameterdarstellung beschreiben, das heißt, man kann ihre Punkte als Ortsvektor darstellen, der sich mit einem Parameter ändert. Als Funktion des Winkels
Hilfreich für das Verstehen dieser Kurve ist: Der Radius mal dem Winkel „Berührungspunkt des Kreises-Kreismittelpunkt-Brachistochronenpunkt“ ist die bereits abgerollte Strecke.
Betrachten wir in der
Er hat die kinetische Energie
und die potentielle Energie
Dabei ist
Gleitet der anfänglich ruhende Massepunkt vom Ursprung los, so ist längs seiner Bahn die Gesamtenergie erhalten und hat den anfänglichen Wert Null,
Dies kann nach
Integrieren wir über den
Um an die bei physikalischen Variationsproblemen üblichen Bezeichnungen anzuschließen, nennen wir die Integrationsvariable
mit Lagrangefunktion
Da die Lagrangefunktion nicht vom Integrationsparameter, der Zeit
auf der Bahn
wie ein Teilchen, das im Keplerpotential
Statt diese Gleichung mit getrennten Veränderlichen nach
eine parametrische Lösung dieser Gleichung ist, wobei man
ausnutzt.
Also ist die gesuchte Bahn
Dabei wird an der letzten Zerlegung deutlich, dass die Bahn