Die Brachistochrone (gr. brachystos kürzeste, chronos Zeit) ist die Bahn zwischen einem Anfangs- und einem gleich hoch oder tiefer gelegenen Endpunkt, auf der ein sich reibungsfrei bewegender Massenpunkt unter dem Einfluss der Gravitationskraft am schnellsten zum Endpunkt gleitet. Der Tiefpunkt der Bahn kann tiefer liegen als der Endpunkt.
Der Körper gleitet auf einer solchen Bahn schneller zum Ziel als auf jeder anderen Bahn, beispielsweise auf einer geradlinigen, obwohl diese kürzer ist.
Gleichzeitig ist diese Kurve eine Tautochrone, d. h. von jedem Punkt der Kurve benötigt der Massepunkt die gleiche Zeit, um zum Tiefpunkt zu gelangen. Dieser Sachverhalt wird beim sogenannten Zykloidenpendel ausgenutzt, bei dem die Pendelmasse auf einer Tautochrone schwingt.
Die Brachistochrone ist Teil einer Zykloide.
Johann I Bernoulli hat sich mit dem Problem des schnellsten Falles beschäftigt. Im Jahre 1696 fand er schließlich die Lösung in der Brachistochrone.[1] Heute sieht man dies oft als die Geburtsstunde der Variationsrechnung.
Christiaan Huygens veröffentlichte 1673 in seiner Abhandlung Horologium Oscillatorium eine ganggenaue Pendeluhr mit einem Zykloidenpendel, bei dem er sich die Tatsache zunutze machte, dass die Evolute der Zykloide selbst wieder eine Zykloide ist. Der Vorteil der Ganggenauigkeit wird jedoch durch die erhöhte Reibung wett- bzw. zunichtegemacht.
Die Brachistochrone lässt sich in einer Parameterdarstellung beschreiben, das heißt, man kann ihre Punkte als Ortsvektor darstellen, der sich mit einem Parameter ändert. Als Funktion des Winkels $ \varphi $ (im Bogenmaß), um den sich das Rad mit Radius $ R $ beim Abrollen gedreht hat, sind die $ x $- und $ y $-Koordinaten:
Hilfreich für das Verstehen dieser Kurve ist: Der Radius mal dem Winkel „Berührungspunkt des Kreises-Kreismittelpunkt-Brachistochronenpunkt“ ist die bereits abgerollte Strecke.
Betrachten wir in der $ x $-$ y $-Ebene eine Kurve $ y(x) $, längs welcher der Massepunkt vom Start $ (x,y)=(0,0) $ mit fortlaufender Zeit $ t $ zum Ziel $ ({\overline {x}},{\overline {y}}) $ gleite.
Er hat die kinetische Energie
und die potentielle Energie
Dabei ist $ y $ die Höhe im Gravitationsfeld und $ g $ die Schwerebeschleunigung.
Gleitet der anfänglich ruhende Massepunkt vom Ursprung los, so ist längs seiner Bahn die Gesamtenergie erhalten und hat den anfänglichen Wert Null,
Dies kann nach $ {\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}} $ aufgelöst werden. Die Ableitung der Umkehrfunktion, $ t(x) $, die angibt, zu welchem Zeitpunkt das Teilchen den Ort $ (x,y(x)) $ durchläuft, ist hierzu invers
Integrieren wir über den $ x $-Bereich von 0 bis $ {\overline {x}} $, so ergibt sich die zu minimierende Laufzeit $ T $ als Funktional der Bahnkurve $ y(x) $
Um an die bei physikalischen Variationsproblemen üblichen Bezeichnungen anzuschließen, nennen wir die Integrationsvariable $ t $, bezeichnen $ -y $ mit $ r $ und minimieren einfachheitshalber das mit $ {\sqrt {2\,g}} $ multiplizierte Funktional. Wir minimieren also die Wirkung
mit Lagrangefunktion
Da die Lagrangefunktion nicht vom Integrationsparameter, der Zeit $ t $ abhängt, ist die nach dem Noether-Theorem zugehörige Energie / Hamilton-Funktion
auf der Bahn $ r(t) $ erhalten, für die $ W[r] $ minimal wird. Die Funktion $ r(t) $ erfüllt also mit einer positiven Konstanten $ R $ die Gleichung
wie ein Teilchen, das im Keplerpotential $ \propto -1/r $ senkrecht aus der Gipfelhöhe $ 2\,R $ fällt.
Statt diese Gleichung mit getrennten Veränderlichen nach $ {\tfrac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}} $ aufzulösen und zu integrieren, bestätigt man einfach, dass
eine parametrische Lösung dieser Gleichung ist, wobei man
ausnutzt. Also ist die gesuchte Bahn $ (x,y(x)) $ parametrisch gegeben durch
Dabei wird an der letzten Zerlegung deutlich, dass die Bahn $ y(x) $ sich aus den Ortsvektoren $ R\,(\varphi ,-1) $ der Nabe eines Rades mit Radius $ R $ zusammensetzt, das unter der $ x $-Achse rollt plus dem Speichenvektor, der anfänglich nach oben zeigt und mit dem Winkel $ \varphi $ gedreht wird. Die Kurve ist die Bahn eines Randpunktes eines rollenden Rades.