Die Cauchy-Relationen beschreiben Symmetrieeigenschaften des Elastizitätstensors eines Materials.
Die Cauchy-Relationen geben häufig näherungsweise vorhandene Symmetrieeigenschaften des Elastizitätstensor wieder:
mit $ i\neq j,k $. Dabei ist der Elastizitätstensor $ c_{ijkl} $ ist folgendermaßen über ein verallgemeinertes Hookesches Gesetz definiert, das Spannungen (Spannungstensor $ \sigma _{ij} $) mit Verformungen (Verzerrungstensor $ \varepsilon _{ij} $) verknüpft:
mit $ i,j,k,l=1,2,3 $. Allgemein ist der Elastizitätstensor ein Tensor 4. Stufe mit 81 Komponenten. Durch die Cauchy-Relationen kann die Anzahl zu bestimmenden Komponenten reduziert werden. Nach der (Kristall-)Gittertheorie haben die Cauchy-Relationen Gültigkeit, wenn folgende Voraussetzungen mehr oder weniger (siehe Einschränkungen) erfüllt sind:
Eine strenge Gültigkeit der Cauchy-Relationen ist nicht zu erwarten, da insbesondere Punkt 4. nicht exakt erfüllt werden kann. Sogar bei tiefen Temperaturen werden die Cauchy-Relationen von keiner Substanz erfüllt.
Die Abweichungen von den Cauchy-Relationen $ g_{mn} $ sind ein Tensor 2. Stufe mit neun Komponenten und lassen sich als
mit $ m\neq i,j $ sowie $ n\neq i,k $ und $ m,n,i,j,k=1,2,3 $ beschreiben. Die Transformation des Tensors liefert beim Wechsel des kartesischen Bezugssystems mit den Grundvektoren $ e_{p} $ direkt den Beweis dafür. So ist
mit $ g'_{mn} $ als Komponenten dieses Tensors in einem neuen Bezugssystem mit den Grundvektoren $ e'_{m} $, die sich aus den Grundvektoren $ e_{p} $ anhand von
ergeben. Daraus folgen physikalisch wichtige Invarianzeigenschaften aus den Abweichungen der Cauchy-Relationen. Die Komponenten $ g_{mm} $ mit $ m=1,2,3 $ verhalten sich z. B. invariant gegenüber einer Drehung des kartesischen Bezugssystems um die Achse $ e_{m} $. $ g_{mm} $ ist daher eine charakteristische Größe der Ebene, die senkrecht auf $ e_{m} $ steht. Folglich finden die Bindungsmerkmale der atomaren Bausteine einer homogenen und quasihomogenen Substanz Ausdruck in der skalaren Invariante $ G=g_{11}+g_{22}+g_{33} $.
Beispielsweise werden kristalline Materialien mit kubischer Symmetrie und isotrope Substanzen (wie Glas) nur durch eine unabhängige Komponente $ g $ beschrieben. Bei Substanzen mit vorherrschender Ionen-, Metall-, Van-der-Waals- und Wasserstoffbrückenbindungen ist der Querkontraktionskoeffizient $ c_{iijj} $ größer als der entsprechende Scherwiderstand $ c_{ijij} $ und somit $ g_{mm}>0 $. Oft besitzen diese Substanzen Strukturen mit maximaler Packungsdichte der atomaren Bausteine. Gerichtete Bindungsanteile sprich kovalente Bindungen oder eine beträchtliche richtungsabhängige Überlappung der Elektronenwolken in Substanzen zeigen $ g_{mm}<0 $. Beispiele hierfür sind Gerüstsilikate, Magnesiumoxid, Beryllium, Aluminiumoxid (Korund), Gläser reich an Siliciumdioxid (je größer der Siliciumdioxid-Gehalt, desto kleiner $ g $) und Lithiumfluorid. Kovalente Bindungen tragen zu höheren Scherwiderständen und zu niedrigen Querkontraktionskoeffizienten bei. Strukturell und chemisch verwandte Kristallarten und isotype Stoffreihen zeigen folgende Merkmale:
Festzuhalten ist noch die Tatsache, dass auch nur feine Unterschiede in der Struktur einiger Stoffe sich auf die $ g $-Werte niederschlagen. Diese Werte dienen somit als Indikator für Strukturdifferenzen.