Der Duffing-Oszillator, benannt nach Georg Duffing, ist ein nichtlinearer Oszillator. Er kann als Erweiterung des harmonischen Oszillators, dessen Potential das lineare hookesche Gesetz zu Grunde liegt, um eine kubische Rückstellkraft betrachtet werden. Sein Verhalten wird durch folgende Differentialgleichung mit den zeitlichen Ableitungen von x beschrieben:
$ \delta $ ist die Dämpfung, $ \gamma ,\omega _{0} $ sind die Amplitude und Frequenz der Anregung, $ \alpha ,\beta $ sind systemspezifische Parameter, welche die nichtlineare, rücktreibende Kraft charakterisieren.
Die Zustandsraumdarstellung des homogenen Duffing-Oszillators $ {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=0 $ ist
Für den stationären Fall gilt
und damit
Die Gleichung liefert für $ x_{1}\; $ drei stationäre Lösungen
Diese sind nur dann reell, wenn $ {\frac {\alpha }{\beta }}<0 $ ist. Zur Beurteilung, welche dieser stationären Lösungen stabil sind, wird das Differentialgleichungssystem um diese Punkte linearisiert. Die Jacobi-Matrix des Systems
hat für $ x_{1_{0}}\; $ die Eigenwerte
und für $ x_{1_{1,2}}\; $ die Eigenwerte
Die Bedingung $ {\frac {\alpha }{\beta }}<0 $ liefert zwei Fälle.
Fall 1: $ \alpha >0\; $ und $ \beta <0\; $
Fall 2: $ \alpha <0\; $ und $ \beta >0\; $
Die Differenzialgleichung
mit $ \delta >0,a>0,b>0\; $ beschreibt den stabilen Duffing-Oszillator.