Feynman-Parameter

Als Feynman-Parameter werden Parameter bezeichnet, die vorübergehend in Integrale eingeführt werden, um diese zu lösen. Die Parameter werden insbesondere bei der Berechnung von Feynman-Diagrammen mit inneren Schleifen ("Loops") eingesetzt. Sowohl Richard Feynman als auch Julian Seymour Schwinger verwendeten analoge Methoden^[1].

Einfaches Beispiel

Will man das Integral $\int t{e}^{t}dt$ lösen, so stellt man fest, dass sich der Integrand auch als ${\partial }_u{e}^{ut}$ an der Stelle $u=1$ schreiben lässt. Dabei taucht plötzlich der Parameter $u$ auf, der keine "physikalische Bedeutung" hat, sondern nur zum Lösen des Integrals benötigt wird. Durch Vertauschen von Integral und Ableitung verbleibt ein einfaches Integral über die Exponentialfunktion, das einfach zu lösen ist. Die Ableitung nach $u$ ist durchführbar. Nach Ersetzen von $u=1$ verschwindet der Parameter $u$ wieder, und das Integral ist gelöst.

$\int t{e}^{t}dt=\int ({\partial }_u{e}^{ut}{|}_{u=1})dt=({\partial }_u(\int e^{ut}dt)){|}_{u=1}=({\partial }_u(e^{ut}/u)){|}_{u=1}=(e^{ut}(ut-1)/u^2){|}_{u=1}=e^t(t-1)$

Der Elektron-Vertex

Bei der Lösung des 1-Loop-Beitrags zur Vertex-Funktion des Elektrons stößt man auf Integrale der Form

$\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^4}\frac{N(k)}{A(k)B(k)C(k)}.$

Obwohl $A(k)$, $B(k)$ und $C(k)$ einfache quadratische Terme des Viererimpulses $k$ sind, lassen sich diese Integrale nicht einfach lösen. Nach Verwendung der entsprechenden Gleichung unten und linearer Substitution $l=k+...$, erhält man anstelle des obigen Integrals

$\int \frac{d^{4}l}{(2\pi {)}^4}(\frac{l^2}{|l^2-\mathrm{\Delta }{|}^3}-\frac{l^2}{|l^2-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Lambda }}{|}^3})=\frac{i}{(4\pi {)}^2}\log \left(\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Lambda }}}{\mathrm{\Delta }}\right)$

und kann die Integrale über die Feynman-Parameter dann auch lösen.

Beispiel mit nur zwei Faktoren im Nenner

Der Trick bei den Faktoren im Nenner besteht darin, zwei Feynman-Parameter $u$ und $v$ einzuführen, über die anders als im obigen Beispiel auch integriert wird. Zunächst verwendet man

$\frac{1}{AB}={\int }_0^1\frac{du}{{[uA+(1-u)B]}^2}.$

Die obige Gleichung lässt sich durch Substitution $y=uA+(1-u)B$ im Integral leicht zeigen. Mit Hilfe der Delta-Funktion formt man dies in eine symmetrische Form um:

$\frac{1}{AB}={\int }_0^{1}du{\int }_0^{1}dv\frac{\delta (1-u-v)}{{[uA+vB]}^2}.$

Hier tauchen $A$ und $B$ jetzt additiv nebeneinander auf, was die Integration deutlich vereinfacht.

Verallgemeinerungen

Für mehr als zwei Faktoren gilt

$\frac{1}{A_1\cdots A_n}=(n-1)!{\int }_0^{1}d{u}_1\cdots {\int }_0^{1}d{u}_n\frac{\delta (u_1+\cdots +u_n-1)}{{[u_1{A}_1+\cdots +u_n{A}_n]}^n}.$

Für Berechnungen im Rahmen der dimensionalen Renormierung ist eine weitere Verallgemeinerung nötig:

$\frac{1}{A_1^{{\alpha }_1}\cdots A_n^{{\alpha }_n}}=\frac{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n)}{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1)\cdots \mathrm{\Gamma }({\alpha }_n)}{\int }_0^{1}d{u}_1{\int }_0^{1-u_1}d{u}_2\cdots {\int }_0^{1-u_1-\dots -u_{n-2}}d{u}_{n-1}\frac{u_1^{{\alpha }_1-1}\cdots u_{n-1}^{{\alpha }_{n-1}-1}(1-u_1-\dots -u_{n-1}{)}^{{\alpha }_n-1}}{{[u_1{A}_1+\cdots +u_{n-1}{A}_{n-1}+(1-u_1-\dots -u_{n-1})A_n]}^{{\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n}},$

wobei die Exponenten ${\alpha }_i$ komplexe Zahlen (mit positivem Realteil) sein können. Mit Hilfe der Delta-Funktion kann man dies schreiben als

$\frac{1}{A_1^{{\alpha }_1}\cdots A_n^{{\alpha }_n}}=\frac{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n)}{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1)\cdots \mathrm{\Gamma }({\alpha }_n)}{\int }_0^{1}d{u}_1\cdots {\int }_0^{1}d{u}_n\frac{\delta (1-u_1-\cdots -u_n)u_1^{{\alpha }_1-1}\cdots u_n^{{\alpha }_n-1}}{{[u_1{A}_1+\cdots +u_n{A}_n]}^{{\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n}}.$

Anwendung

Ein Integral mit einem Produkt im Nenner des Integranden kann wie folgt umgeformt werden:

$\int \frac{dp}{A(p)B(p)}=\int dp{\int }_0^1\frac{du}{{[uA(p)+(1-u)B(p)]}^2}={\int }_0^{1}du\int \frac{dp}{{[uA(p)+(1-u)B(p)]}^2}.$

Typischerweise hängt der Integrand dann nach weiteren Umformungen nur noch quadratisch von der Integrationsvariable ab, was einen Übergang zu (n-dimensionalen) Polarkoordinaten möglich macht.

Literatur

Weblinks

• Kristjan Kannike: Notes on Feynman Parametrization and the Dirac Delta Function (PDF; 142 kB) Archiviert vom Original am 29. Juli 2007. Abgerufen am 3. Juni 2009.