Feynman-Parameter

Als Feynman-Parameter werden Parameter bezeichnet, die vorübergehend in Integrale eingeführt werden, um diese zu lösen. Die Parameter werden insbesondere bei der Berechnung von Feynman-Diagrammen mit inneren Schleifen ("Loops") eingesetzt. Sowohl Richard Feynman als auch Julian Seymour Schwinger verwendeten analoge Methoden^[1].

Einfaches Beispiel

Will man das Integral $ \int te^{t}dt $ lösen, so stellt man fest, dass sich der Integrand auch als $ \partial _{u}e^{ut}\ $ an der Stelle $ u=1\ $ schreiben lässt. Dabei taucht plötzlich der Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u\ auf, der keine "physikalische Bedeutung" hat, sondern nur zum Lösen des Integrals benötigt wird. Durch Vertauschen von Integral und Ableitung verbleibt ein einfaches Integral über die Exponentialfunktion, das einfach zu lösen ist. Die Ableitung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u\ ist durchführbar. Nach Ersetzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u=1\ verschwindet der Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u wieder, und das Integral ist gelöst.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int t e^t dt = \int (\partial_u e^{ut}|_{u=1}) dt = (\partial_u (\int e^{ut} dt))|_{u=1} = (\partial_u (e^{ut}/u))|_{u=1} = (e^{ut}(ut-1)/u^2)|_{u=1} = e^t (t-1)

Der Elektron-Vertex

Bei der Lösung des 1-Loop-Beitrags zur Vertex-Funktion des Elektrons stößt man auf Integrale der Form

$ \int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {N(k)}{A(k)\ B(k)\ C(k)}}\ . $

Obwohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A(k)\ , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B(k)\ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C(k)\ einfache quadratische Terme des Viererimpulses Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k\ sind, lassen sich diese Integrale nicht einfach lösen. Nach Verwendung der entsprechenden Gleichung unten und linearer Substitution $ l=k+...\ $, erhält man anstelle des obigen Integrals

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int \frac{d^4l}{(2\pi)^4}\left(\frac{l^2}{|l^2-\Delta|^3}-\frac{l^2}{|l^2-\Delta_\Lambda|^3}\right) = \frac{i}{(4\pi)^2}\log \left(\frac{\Delta_\Lambda}{\Delta}\right)

und kann die Integrale über die Feynman-Parameter dann auch lösen.

Beispiel mit nur zwei Faktoren im Nenner

Der Trick bei den Faktoren im Nenner besteht darin, zwei Feynman-Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v einzuführen, über die anders als im obigen Beispiel auch integriert wird. Zunächst verwendet man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{AB}=\int^1_0 \frac{du}{\left[uA +(1-u)B\right]^2}\;.

Die obige Gleichung lässt sich durch Substitution Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y = uA +(1-u)B im Integral leicht zeigen. Mit Hilfe der Delta-Funktion formt man dies in eine symmetrische Form um:

$ {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}du\int _{0}^{1}dv{\frac {\delta (1-u-v)}{\left[uA+vB\right]^{2}}}\ . $

Hier tauchen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B jetzt additiv nebeneinander auf, was die Integration deutlich vereinfacht.

Verallgemeinerungen

Für mehr als zwei Faktoren gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{A_1\cdots A_n}=(n-1)!\int^1_0 du_1 \cdots \int^1_0 du_n \frac{\delta(u_1+\dots+u_n-1)}{\left[u_1 A_1+\dots +u_n A_n\right]^n}.

Für Berechnungen im Rahmen der dimensionalen Renormierung ist eine weitere Verallgemeinerung nötig:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{A_1^{\alpha_1}\cdots A_n^{\alpha_n}}=\frac{\Gamma(\alpha_1+\dots +\alpha_n)}{\Gamma(\alpha_1)\cdots \Gamma(\alpha_n)}\int^1_0 du_1 \int_0^{1-u_1}du_2\cdots \int_0^{1-u_1- \ldots - u_{n-2}} du_{n-1} \frac{u_1^{\alpha_1-1}\cdots u_{n-1}^{\alpha_{n-1}-1} (1-u_1-\ldots-u_{n-1})^{\alpha_n-1}}{\left[u_1 A_1+\dots +u_{n-1} A_{n-1}+(1-u_1-\ldots-u_{n-1})A_n\right]^{\alpha_1+\dots+\alpha_n}},

wobei die Exponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_i komplexe Zahlen (mit positivem Realteil) sein können. Mit Hilfe der Delta-Funktion kann man dies schreiben als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{A_1^{\alpha_1}\cdots A_n^{\alpha_n}}=\frac{\Gamma(\alpha_1+\dots +\alpha_n)}{\Gamma(\alpha_1)\cdots \Gamma(\alpha_n)}\int^1_0 du_1 \cdots \int^1_0 du_n \frac{\delta(1 - u_1-\dots-u_n)u_1^{\alpha_1-1}\cdots u_n^{\alpha_n-1}}{\left[u_1 A_1+\dots +u_n A_n\right]^{\alpha_1+\dots+\alpha_n}}.

Anwendung

Ein Integral mit einem Produkt im Nenner des Integranden kann wie folgt umgeformt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int \frac{dp}{A(p)B(p)}=\int dp \int^1_0 \frac{du}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^2}=\int^1_0 du \int \frac{dp}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^2}.

Typischerweise hängt der Integrand dann nach weiteren Umformungen nur noch quadratisch von der Integrationsvariable ab, was einen Übergang zu (n-dimensionalen) Polarkoordinaten möglich macht.

Literatur

Weblinks

• Kristjan Kannike: Notes on Feynman Parametrization and the Dirac Delta Function (PDF; 142 kB) Archiviert vom Original am 29. Juli 2007. Abgerufen am 3. Juni 2009.