Niveaumenge

Niveaumengen (schwarze Linien) um einen Sattelpunkt einer Funktion von zwei Variablen

In der Mathematik bezeichnet eine Niveaumenge oder Levelmenge die Menge aller Punkte des Definitionsbereichs einer Funktion, denen ein gleicher Funktionswert zugeordnet ist. Eng verwandte Begriffe für Funktionen mit Werten in einer geordneten Menge sind die der Subniveaumenge, die alle Punkte enthält, deren Funktionswerte einen vorgegebenen Wert nicht überschreiten, und der Superniveaumenge, die alle Punkte enthält, deren Funktionswerte einen vorgegebenen Wert nicht unterschreiten.

Definition

Es seien $$ U,V $$ Mengen, $f\colon U\to V$ eine Funktion und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c \in V ein Wert aus der Zielmenge, dann heißt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal N_f(c) := f^{-1}(c) = \{x\in U \mid f(x)=c\} \subseteq U

die Niveaumenge der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f zum Niveau bzw. Level Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c .

Trägt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V eine Ordnungsrelation $\leq$ (mit Umkehrrelation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \geq ), können wir folgende Begriffe definieren.

Als Subniveaumenge wird die Menge

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal L^\leq_f(c) := \{x \in U \mid f(x) \leq c\}

bezeichnet, im Falle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V=\R ist ${\mathcal {L}}_{f}^{\leq }(c)=f^{-1}(\left(-\infty ,c\right])$ .

Als Superniveaumenge wird die Menge

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal L^\geq_f(c) := \{x \in U \mid f(x) \geq c\}

bezeichnet, im Falle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V=\R ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal L^\geq_f(c) = f^{-1}(\left[c, \infty \right)) .

Anwendungen

Physik

Für zweidimensionale Skalarfelder ist eine Niveaumenge zumeist eine Linie und man spricht von einer Isolinie oder Niveaulinie. Für dreidimensionale Skalarfelder (zum Beispiel für skalare Potentialfelder) ist diese Menge zumeist eine gekrümmte Fläche und man nennt sie Isofläche oder Niveaufläche (z. B. Höhenlinien).
Der Begriff Niveaufläche wird aber auch für Kraftfelder wie das elektrische Feld oder Magnetfelder verwendet.

Wirtschaftswissenschaften

Für eine Produktionsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f\colon (0, \infty)^n \to (0, \infty) sowie ein Produktionsniveau $c\in (0,\infty )$ ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal N_f(c) = f^{- 1}(c) die Menge aller Bündel von Produktionsfaktoren, mit denen sich die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c generieren lässt. Die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal N_f(c) wird als Isoquante zum Produktionsniveau Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c bezeichnet.^[1]

Verallgemeinerung

Ist die Funktion reell-vektorwertig, hat also als Bildraum den $\mathbb {R} ^{n}$ und ist dieser mit einer verallgemeinerten Ungleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \preccurlyeq_K versehen, so lässt sich die Subniveaumenge verallgemeinern zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal L^\leq_f(c) := \{x \in U \mid f(x) \preccurlyeq_K c\}

und die Superniveaumenge zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal L^\geq_f(c) := \{x \in U \mid f(x) \succcurlyeq_K c\} .

Einzelnachweise

↑ Klaus D. Schmidt: Mathematik. Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2000, ISBN 978-3-540-66521-2, S. 369 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[1] Klaus D. Schmidt: Mathematik. Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2000, ISBN 978-3-540-66521-2, S. 369 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

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