Rapidität (Physik)

Die Rapidität ist ein alternatives Maß für Geschwindigkeit, das in der speziellen Relativitätstheorie verwendet wird. Als Formelzeichen wird meist $\theta$ (kleines Theta) verwendet. Erstmals formuliert wurde der Begriff im Jahr 1911 von Alfred Robb.

Die Rapidität ist definiert als

$\theta =\mathrm{artanh}(v/c),$

wobei

• $v$ die Geschwindigkeit und
• $c$ die Lichtgeschwindigkeit
• $\mathrm{artanh}$ die Areatangens-hyperbolicus-Funktion ist.

Die Rapidität misst die Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit, die ein beschleunigter Körper ohne relativistische Effekte hätte. Die Rapidität ist daher unbeschränkt (Wertebereich $\theta =(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$), was eine natürlichere Betrachtungsweise darstellt als die Beschränkung der tatsächlichen Geschwindigkeit, die niemals die Lichtgeschwindigkeit überschreiten kann (Wertebereich $v=(-c,+c)$).

Außerdem hat die Rapidität den Vorteil, dass zwei Rapiditäten einfach addiert werden können, während man bei Geschwindigkeiten das relativistische Additionstheorem verwenden muss.^[1]

Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten nähert sich die Rapidität dem Wert von $\frac{v}{c}$ an:

$v\ll c\iff v/c\ll 1\Rightarrow \theta \approx v/c.$

In der Teilchenphysik

Anstelle der exakten Formel

$\theta =\frac{1}{2}\cdot \ln \left(\frac{1+\beta }{1-\beta }\right)=\frac{1}{2}\cdot \ln \left(\frac{E+cp}{E-cp}\right)$

mit

• $\beta =v/c$
• Energie $E$
• Impuls $p=|\overrightarrow{p}|$

wird in der experimentellen Teilchenphysik oft eine relativ zur Strahlachse definierte Rapidität gemäß

${\theta }_{\text{Beamline}}=\frac{1}{2}\cdot \ln \left(\frac{E+c{p}_L}{E-c{p}_L}\right)$

verwendet, worin der Longitudinalimpuls $p_L$ die Impulskomponente entlang der Strahlachse ist.

Die verwandte Größe der Pseudorapidität ist definiert als^[2]

$\eta =\frac{1}{2}\cdot \ln \left(\frac{p+p_L}{p-p_L}\right).$

Einzelnachweise