In der theoretischen Physik ist die Rarita-Schwinger Gleichung (nach William Rarita und Julian Schwinger, die sie 1941 formulierten) eine relativistische Feldgleichung für Spin-3/2-Fermionen. Sie wird gewöhnlich dazu benutzt, zusammengesetzte Teilchen wie das Delta-Baryon zu beschreiben und zu untersuchen, manchmal wird sie auch für hypothetische Teilchenfelder wie das Gravitino verwendet. Bisher konnte allerdings noch kein stabiles Elementarteilchen mit Spin 3/2 experimentell nachgewiesen werden.
Die Rarita-Schwinger-Gleichung ist ähnlich aufgebaut wie die Dirac-Gleichung für Spin-1/2-Fermionen und kann aus dieser hergeleitet werden. In einer modernen Notation wird sie wie folgt angeschrieben:[1]
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left ( \epsilon^{\mu \kappa \rho \nu} \gamma_5 \gamma_\kappa \partial_\rho + m \sigma^{\mu \nu} \right)\psi_\nu = 0
mit
- $ \epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu } $ das Levi-Civita-Symbol
- $ \gamma _{5} $ und $ \gamma _{\nu } $ Dirac-Matrizen
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m
die Masse des Fermions
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma^{\mu \nu} \equiv i/2\left [ \gamma^\mu , \gamma^\nu \right ]
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_\nu
eine Wellenfunktion mit dem Lorentzindex Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu
. Die Wellenfunktion transformiert bezüglich dieses Index wie ein gewöhnlicher Vierervektor. Jede der vier einzelnen Komponenten der Wellenfunktion transformiert zusätzlich aber auch wie ein Dirac-Spinor. Die Darstellung entspricht damit der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)\otimes \left(\left(\tfrac{1}{2},0\right)\oplus \left(0,\tfrac{1}{2}\right)\right)
, bzw. $ \left(1,{\tfrac {1}{2}}\right)\oplus \left({\tfrac {1}{2}},1\right) $ Darstellung der Lorentz-Gruppe[2].
Die Rarita-Schwinger Gleichung kann aus folgender Lagrange-Dichte hergeleitet werden:[3]
- $ {\mathcal {L}}=-{\tfrac {i}{2}}\;{\bar {\psi }}_{\mu }\left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _{\kappa }\partial _{\rho }+m\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu } $
Dabei bezeichnet $ {\bar {\psi }}_{\mu }=\psi _{\mu }^{\dagger }\gamma ^{0} $ den adjungierten Spinor zu $ \psi _{\mu } $.
Die Rarita-Schwinger-Gleichung hat für Teilchen mit Masse 0 eine Eichsymmetrie bezüglich der Eichtransformation $ \psi _{\mu }\rightarrow \psi _{\mu }+\partial _{\mu }\epsilon $. Dabei ist $ {\mathcal {\epsilon }} $ ein frei wählbares, fermionisches Majorana-Feld,
das zu einer geeichten Supersymmetrietransformation gehört.
Von der Rarita-Schwinger-Gleichung existieren auch Weyl- und Majorana-Darstellungen, die sich bezüglich der physikalischen Ergebnisse nicht von der Originalgleichung unterscheiden.
Literatur
- W. Rarita and J. Schwinger, On a Theory of Particles with Half-Integral Spin. Phys. Rev. 60, 61 (1941).
- Collins P.D.B., Martin A.D., Squires E.J., Particle physics and cosmology (1989) Wiley, Section 1.6.
- G. Velo, D. Zwanziger, Propagation and Quantization of Rarita-Schwinger Waves in an External Electromagnetic Potential, Phys. Rev. 186, 1337 (1969).
- G. Velo, D. Zwanziger, Noncausality and Other Defects of Interaction Lagrangians for Particles with Spin One and Higher, Phys. Rev. 188, 2218 (1969).
- M. Kobayashi, A. Shamaly, Minimal Electromagnetic coupling for massive spin-two fields, Phys. Rev. D 17,8, 2179 (1978).
Bücher
- Walter Greiner: Theoretische Physik. Band 6: Relativistische Quantenmechanik. Wellengleichungen. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Deutsch, Thun u. a. 1987, ISBN 3-8171-1022-7.
Einzelnachweise
- ↑ S. Weinberg, "The quantum theory of fields", Band 3, Cambridge S. 335
- ↑ S. Weinberg, "The quantum theory of fields", Band 1, Cambridge S. 232
- ↑ S. Weinberg, "The quantum theory of fields", Band 3, Cambridge S. 335