Stokessche Stromfunktion
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- Strömungsmechanik
Die Stokes’sche Stromfunktion (Formelzeichen $ \psi $, Dimension L³ T−1) von George Gabriel Stokes ist in der Strömungsmechanik ein analytisches Hilfsmittel zur Lösung der Euler-Gleichungen in drei dimensionalen, axialsymmetrischen, stationären Strömungen inkompressibler, reibungsfreier Fluide. Die Stokes’sche Stromfunktion ist also die Anwendung des Konzepts der Stromfunktion auf axialsymmetrische Strömungen, die dann auch analoge Eigenschaften besitzen. Aus Ableitungen der Stokes’schen Stromfunktion ergibt sich das Geschwindigkeitsfeld, das automatisch divergenzfrei und die Strömung mithin volumenerhaltend und dichtebeständig ist. Die Höhenlinien der Stokes’schen Stromfunktion stellen wie im ebenen Fall Stromlinien dar, die hier wegen der Axialsymmetrie Stromröhren beranden. Wie im ebenen Fall ist der Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien – im von ihnen berandeten Stromröhrenring – überall gleich.
Definition
Betrachtet wird eine dichtebeständige und stationäre Strömung mit einem ortsabhängigen aber nicht zeitabhängigen weil stationärem Geschwindigkeitsfeld $ {\vec {v}}({\vec {x}})\,. $ Der Ortsvektor $ {\vec {x}} $ kann bei axialsymmetrischer Strömung vorteilhaft mit Zylinder- oder Kugelkoordinaten parametrisiert werden.
Stokes’sche Stromfunktion in Zylinderkoordinaten
Das Zylinderkoordinatensystem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (R,\psi,z) wie im Bild wird so ausgerichtet, dass die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Richtung die Richtung ist, um die die Strömung axialsymmetrisch ist. Den Abstand eines Punktes von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Achse gibt die Koordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R an, die hier mit einem großen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R bezeichnet wird, um eine Verwechselung mit der Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho zu vermeiden. Der Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi zählt in Umfangsrichtung senkrecht zur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Achse. Die Geschwindigkeit darf nicht von $ \psi $ abhängen und auch keine Komponente in tangentialer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi -Richtung besitzen. Die Geschwindigkeiten in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R - und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Richtung ergeben sich dann durch folgende Ableitungen der Stromfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(R,z) :
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}= v_R \hat{e}_R +v_z\hat{e}_z =:\operatorname{rot}\left(\frac{\psi}{R}\hat{e}_\varphi\right) =\frac{1}{R}\operatorname{grad}(\psi)\times\hat{e}_\varphi = \frac{1}{R}\frac{{\partial \psi}}{{\partial R}}\hat{e}_z -\frac{1}{R}\frac{{\partial \psi}}{{\partial z}}\hat{e}_R
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow\quad v_R =-\frac{1}{R}\frac{\partial\psi}{\partial z} \quad\text{und}\quad v_z =\frac{1}{R}\frac{\partial\psi}{\partial R} \,.
Der Operator rot bildet die Rotation, grad den Gradient und $ \times $ das Kreuzprodukt.
Stokes’sche Stromfunktion in Kugelkoordinaten
In Kugelkoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (r, \psi, \theta) ist die Achse mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta=0 die Richtung, um die die Strömung axialsymmetrisch ist. Den Abstand eines Punktes vom Ursprung gibt der Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r an und der Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi zählt – wie in Zylinderkoordinaten – in Umfangsrichtung senkrecht zur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta=0 -Achse. Wiederum darf die Geschwindigkeit nicht von $ \psi $ abhängen und auch keine Komponente in tangentialer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi -Richtung besitzen. Die Geschwindigkeiten in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r - und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta -Richtung berechnen sich dann durch folgende Ableitungen der Stromfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(r,\theta) :
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}= v_r\hat{e}_r+v_\theta\hat{e}_\theta =\operatorname{rot}\left(\frac{\psi}{r\sin(\theta)}\hat{e}_\varphi\right) =\frac{1}{r \sin(\theta)}\operatorname{grad}(\psi)\times\hat{e}_\varphi =\frac{1}{r^2\sin(\theta)}\frac{{\partial \psi}}{{\partial \theta}}\hat{e}_r -\frac{1}{r\sin(\theta)}\frac{{\partial \psi}}{{\partial r}}\hat{e}_\theta
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow\quad v_r=\frac{1}{r^2 \sin(\theta)}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} \quad\text{und}\quad v_\theta = -\frac{1}{r\sin(\theta)}\frac{\partial\psi}{\partial r}
Der Zusammenhang mit den Zylinderkoordinaten ist durch $ R=r\sin(\theta ) $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z = r \cos(\theta) bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tan(\theta) = R/z und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r^2 = R^2 + z^2 gegeben.
Eigenschaften von mit Stokes’schen Stromfunktionen beschriebenen Strömungen
Stromlinien
Der Gradient der Stromfunktion in Zylinderkoordinaten ist wegen
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{grad}(\psi)\cdot\vec{v} =\operatorname{grad}(\psi)\cdot \frac{1}{R}[\operatorname{grad}(\psi)\times\hat{e}_\varphi] =0
senkrecht zur Geschwindigkeit und in Kugelkoordinaten gilt dasselbe:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{grad}(\psi)\cdot\vec{v} =\operatorname{grad}(\psi)\cdot \frac{1}{r \sin(\theta)}[\operatorname{grad}(\psi)\times\hat{e}_\varphi] =0
Die Geschwindigkeit ist per definitionem überall tangential zur Stromlinie, auf der der Wert der Stromfunktion also konstant ist. In der hier vorausgesetzten Axialsymmetrie repräsentiert die Stromlinie eine Stromröhre.
Dichtebeständigkeit
Wenn das Geschwindigkeitsfeld einer axialsymmetrischen Strömung durch eine Stoke’sche Stromfunktion gegeben ist, dann gilt in Zylinderkoordinaten
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\vec{v} =\operatorname{div\,rot}\left(\frac{\psi}{R}\hat{e}_\varphi\right) =0
wie in Kugelkoordinaten
- $ \operatorname {div} {\vec {v}}=\operatorname {div\,rot} \left({\frac {\psi }{r\sin(\theta )}}{\hat {e}}_{\varphi }\right)=0\,, $
weil die Divergenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div} von Rotationsfeldern immer null ist. In einer divergenzfreien Strömung verschwindet auf Grund der Massenbilanz überall die substantielle Zeitableitung der Dichte, die daher zeitlich konstant ist.
Eine divergenzfreie Strömung enthält weder Quellen noch Senken, so dass unter den gegebenen Voraussetzungen Stromlinien im Inneren der Flüssigkeit weder beginnen noch enden können. Die Stromlinien sind also entweder torusförmig geschlossen, sind buchstäblich unendlich oder enden auf dem Rand des Strömungsgebiets.
Rotation der Strömung
Die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes ist die Wirbelstärke, die in Zylinderkoordinaten wegen
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot}\vec{v} = \omega\hat{e}_\varphi = \left(\frac{\partial v_R}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial R}\right)\hat{e}_\varphi = -\left[\frac{1}{R}\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} +\frac{\partial}{\partial R}\left(\frac{1}{R}\frac{\partial\psi}{\partial R} \right) \right]\hat{e}_\varphi\,,
nur eine Komponente ω in tangentialer Umfangsrichtung hat, weswegen die Wirbelstärke als Skalarfeld behandelt werden kann. In Kugelkoordinaten ist das auch so:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot}\vec{v} = \omega\hat{e}_\varphi = -\frac{1}{r\sin(\theta)}\left[ \frac{\partial^2\psi}{\partial r^2} +\frac{\sin(\theta)}{r^2}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\sin(\theta)}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\right) \right]\hat{e}_\varphi\,.
Anders als in ebenen Strömungen steht hier auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens nicht der Laplace-Operator.
Volumenstrom zwischen Stromlinien
Der Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien ist überall gleich. Dies wird anhand zweier Stromlinien gezeigt, auf denen die Stromfunktion die Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_0 bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_1 annimmt, siehe Bild. Um den Volumenstrom zu berechnen, der zwischen diesen beiden Stromlinien hindurchtritt, wird eine Linie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}(s) mit der Bogenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s\in[0,l]\,,\;\psi(\vec{x}(0))=\psi_0 und $ \psi ({\vec {x}}(l))=\psi _{1} $ definiert, die also auf der einen Stromlinie beginnt und auf der anderen Stromlinie endet. Die Parametrisierung mit der Bogenlänge bewirkt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l die Länge der Linie ist und der Tangenteneinheitsvektor gleich der Ableitung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}'(s) des Ortsvektors ist. Auf Grund der Axialsymmetrie definiert diese Linie eine Fläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A , auf der der übertretende Volumenstrom zu bestimmen ist. Der Volumenstrom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{v}_{01} , der über diese Fläche tritt, berechnet sich mit einem Kurvenintegral und der Normale an die Kurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{n}=\vec{x}'\times\hat{e}_\varphi zu
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \dot{v}_{01}&=& \int_A \vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec A = \int_0^l \vec{v}\cdot\,2\pi R \hat{n}\mathrm{d}s = 2\pi \int_0^l \left(\frac{1}{R}\operatorname{grad}(\psi)\times\hat{e}_\varphi\right) \cdot\,R\hat{n}\mathrm{d}s \\ &=& 2\pi \int_0^l \operatorname{grad}(\psi)\cdot( \underbrace{\hat{e}_\varphi\times\hat{n}}_{=\vec{x}'(s)}) \,\mathrm{d}s = 2\pi \int_0^l \operatorname{grad}(\psi)\cdot\underbrace{\vec{x}'\mathrm{d}s}_{=\mathrm{d}\vec{x}} \\&=& 2\pi \int_{\vec{x}(0)}^{\vec{x}(l)} \operatorname{grad}(\psi)\cdot\mathrm{d}\vec{x} = 2\pi \int_{\psi_0}^{\psi_1} \mathrm{d}\psi = 2\pi (\psi_1-\psi_0)\,. \end{array}
Indem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R=r\sin(\theta) ersetzt wird, ergibt sich dasselbe Ergebnis in Kugelkoordinaten. Daher gilt hier dasselbe wie bei der Stromfunktion in der Ebene: Unabhängig vom speziellen Kurvenverlauf ist der Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien überall gleich. Wenn die Linie auf derselben Stromlinie startet und endet, dann verschwindet der über sie hinweglaufende Volumenstrom. Wenn die gewählte Linie ein Stück einer Stromlinie ist, dann zeigt sich, dass an keiner Stelle einer Stromlinie Fluid über sie hinwegströmt. Eine Stromlinie wirkt auch hier wie eine undurchdringliche Wand.
Bestimmungsgleichungen für die Stromfunktion
Nicht jede Stromfunktion repräsentiert eine physikalisch realistische Strömung. Damit die Stromfunktion im Einklang mit den physikalischen Gesetzen ist, muss sie den eulerschen Gleichungen gehorchen, aus denen sich – wie sich zeigt – die Stromfunktion unabhängig vom Druck berechnen lässt. In einem konservativen Schwerefeld gestaltet sich die Suche nach der Stromfunktion besonders einfach. Anders als im ebenen Fall ergeben sich Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten, was die Lösung erschwert.
Eulersche Gleichungen
Die Euler-Gleichungen liefern nach Bildung der Rotation
- $ \operatorname {rot} \left(\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)\right)=\operatorname {rot} (\operatorname {rot} ({\vec {v}})\times {\vec {v}})=\operatorname {rot} ({\vec {k}}) $
Bestimmungsgleichungen für die Stromfunktion aus der Tabelle:
| Koordinatensystem | Bestimmungsgleichung |
|---|---|
| Zylinderkoordinaten | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{R}\frac{\partial\psi}{\partial R} \frac{\partial\omega}{\partial z} -\frac{\partial\psi}{\partial z}\frac{\partial}{\partial R}\left(\frac{\omega}{R}\right) =\frac{\partial k_R}{\partial z}-\frac{\partial k_z}{\partial R} |
| Kugelkoordinaten | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial\psi}{\partial \theta}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\omega}{r\sin(\theta)}\right) -\frac{\partial\psi}{\partial r}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{\omega}{r\sin(\theta)}\right) =\frac{\partial}{\partial r}(r k_\theta) -\frac{\partial k_r}{\partial\theta} |
Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi -Komponente der Wirbelstärke, siehe oben. Diese Gleichungen muss die Stromfunktion erfüllen, damit sie eine physikalisch realistische Strömung beschreibt.
| Beweis |
| Ausnutzung der Grassmann-Entwicklung $ \operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}={\frac {1}{2}}\operatorname {grad} ({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} ({\vec {v}}) $ zeigt bei der Bildung der Rotation in den Euler-Gleichungen: $ \operatorname {rot} {\vec {k}}=\operatorname {rot} \left(\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)\right)=\operatorname {rot} \left({\frac {1}{2}}\operatorname {grad} ({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} ({\vec {v}})\right)=\operatorname {rot(rot} ({\vec {v}})\times {\vec {v}})\,, $ denn Gradientenfelder sind immer rotationsfrei. Mit der Wirbelstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega : Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega\hat{e}_\varphi:=\operatorname{rot}\vec v und der Stromfunktion ergibt sich in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{llclcl} \text{Zylinderkoordinaten:} & \operatorname{rot}\left(\omega\hat{e}_\varphi\times \frac{1}{R}[\operatorname{grad}(\psi)\times\hat{e}_\varphi]\right) &=&\operatorname{rot}\left(\frac{\omega}{R}\operatorname{grad}(\psi)\right) &=&\operatorname{rot}\vec k \\ \text{Kugelkoordinaten:} & \operatorname{rot}\left(\omega\hat{e}_\varphi\times \frac{1}{r\sin\theta}[\operatorname{grad}(\psi)\times\hat{e}_\varphi]\right) &=&\operatorname{rot}\left(\frac{\omega}{r\sin\theta}\operatorname{grad}(\psi)\right) &=&\operatorname{rot}\vec k\,, \end{array}
|
Konservatives Beschleunigungsfeld
In einem konservativen Beschleunigungsfeld – wie es die Schwerkraft eines ist – verschwinden die rechten Seiten der Bestimmungsgleichungen wegen der Rotationsfreiheit solcher Felder. Dann kann – wie im ebenen Fall – argumentiert werden: die im obigen Beweis als Zwischenergebnis angefallene Bestimmungsgleichung
- $ \operatorname {grad} \left({\frac {\omega }{R}}\right)\times \operatorname {grad} (\psi )=\operatorname {rot} {\vec {k}}={\vec {0}} $
wird mit
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\omega}{R}=f(\psi)
und einer beliebigen Funktion f immer erfüllt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{grad}\left(\frac{\omega}{R}\right)\times\operatorname{grad}(\psi) =\operatorname{grad}(f(\psi))\times\operatorname{grad}(\psi) =\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\psi}\operatorname{grad}(\psi)\times\operatorname{grad}(\psi) =\vec 0\,.
In Kugelkoordinaten gilt Analoges mit dem Endergebnis:
| Zylinderkoordinaten | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(\psi) =-\frac{1}{R^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} -\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial R}\left(\frac{1}{R}\frac{\partial\psi}{\partial R}\right) =-\frac{1}{R^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} +\frac{1}{R^3}\frac{\partial\psi}{\partial R} -\frac{1}{R^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial R^2} |
|---|---|
| Kugelkoordinaten | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} f(\psi) =& -\frac{1}{r^2\sin^2(\theta)}\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2} -\frac{1}{r^4\sin(\theta)}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\frac{1}{\sin(\theta)}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\right) \\=& -\frac{1}{r^2\sin^2(\theta)}\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2} +\frac{\cos(\theta)}{r^4\sin^3(\theta)}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} -\frac{1}{r^4\sin^2(\theta)}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2} \end{align} |
Insbesondere ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f=0 erlaubt.
Randbedingungen
Ein Strömungsfeld kann nur bei festen Wänden stationär sein. Die Randbedingungen werden entlang von Meridiankurven vorgegeben, die mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}(s) und der Bogenlänge s definiert werden. Dann lautet der Tangenteneinheitsvektor $ {\hat {e}}_{t}={\vec {x}}'(s) $ und die Normale der Kurve in radialer Richtung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{n}=\hat{e}_\varphi\times\hat{e}_t . Fließt nirgends Fluid über die Linie, dann ist sie ein Teil einer Stromlinie und die Linie stellt gleichzeitig eine Wand dar.
Die Dirichlet-Randbedingungen geben den Wert der Stromfunktion entlang einer solchen Linie vor und in Zylinderkoordinaten folgt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{grad}(\psi)\cdot\hat{e}_t =\operatorname{grad}(\psi)\cdot(\hat{n}\times\hat{e}_\varphi) =-\hat{n}\cdot(\operatorname{grad}(\psi)\times\hat{e}_\varphi) = -R\hat{n}\cdot\vec{v} =-R v_\text{norm}\,,
weswegen mit Dirichlet-Randbedingungen die radiale Geschwindigkeit senkrecht zu Linien festgelegt wird. Ist der Wert der Stromfunktion auf der Linie konstant, dann ist die Linie ein Teil einer Stromlinie und die Normalkomponente der Geschwindigkeit verschwindet entlang der Linie.
Die Neumann-Randbedingungen geben die Ableitungen der Stromfunktion senkrecht zu Linien vor:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{grad}(\psi)\cdot\hat{n} =\operatorname{grad}(\psi)\cdot(\hat{e}_\varphi\times\hat{e}_t) =\hat{e}_t\cdot(\operatorname{grad}(\psi)\times\hat{e}_\varphi) =R \hat{e}_t\cdot\vec{v} =R v_\text{tang}\,.
Durch die Neumann-Randbedingungen wird also die Geschwindigkeitskomponente tangential zur Linie vorgegeben. In Kugelkoordinaten ergibt sich Gleiches mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R=r\sin(\theta)\,.
Beispiel
In Zylinderkoordinaten gilt in einer ebenen Strömung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 0=v_z=\frac{\partial\psi}{\partial R} und die Geschwindigkeit hat nur eine radiale Komponente. Mit der obigen Bestimmungsgleichung ergibt sich mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f=0 dann:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\frac{1}{R^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}=0\,.
Also verschwindet die zweite Ableitung der Stokes’schen Stromfunktion nach der z-Koordinate und die erste Ableitung ist mithin eine Konstante $ -Q $. Dann lautet die Radialgeschwindigkeit
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_R =-\frac{1}{R}\frac{\partial\psi}{\partial z}=\frac{Q}{R}\,,
was die Geschwindigkeitsverteilung der ebenen Quelle/Senke ist.
Eine in Kugelkoordinaten nur vom Radius abhängige Strömung ist die drei-dimensionale Quelle/Senke. Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 0=v_\theta=\frac{{\partial \psi}}{{\partial r}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f=0 ergibt sich aus der obigen Bestimmungsgleichung
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} -\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}=0 \quad\rightarrow\quad \frac{\partial\psi}{\partial\theta}=Q\sin(\theta)
woraus das Geschwindigkeitsfeld einer drei dimensionalen Quelle/Senke folgt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_r =\frac{1}{r^2\sin(\theta)}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} =\frac{Q\sin(\theta)}{r^2\sin(\theta)} =\frac{Q}{r^2}\,.
Hier nimmt die Geschwindigkeit also mit dem Quadrat des Abstands zur Quelle ab.
Literatur
- G. K. Batchelor: An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, 1967, ISBN 0-521-66396-2.
- P. K. Kundu: Fluid Mechanics. Academic Press, 2015, ISBN 978-0-12-405935-1.