Unruh-Effekt

Der Unruh-Effekt ist eine Vorhersage der Quantenfeldtheorie: Ein im Vakuum gleichmäßig beschleunigter Beobachter oder Detektor sieht anstelle des Vakuums ein Gas von Teilchen (Photonen, Elektronen, Positronen, …) mit einer Temperatur $ T $, die proportional zur Beschleunigung ist,

$ T={\frac {\hbar a}{2\pi k_{\mathrm {B} }c}}. $

Dabei bedeutet

• $ \hbar $ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a die Beschleunigung
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pi die Kreiszahl
• $ k_{\mathrm {B} } $ die Boltzmann-Konstante
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c die Lichtgeschwindigkeit.

Der Effekt wurde 1976 von William Unruh vorhergesagt. Es besteht ein enger Zusammenhang mit der Hawking-Strahlung Schwarzer Löcher, auf den Unruh bereits in seiner Originalarbeit hingewiesen hat (mit ein paar Kniffen kann man die Hawking-Strahlung aus dem Unruh-Effekt herleiten^[1]).

Die Unruh-Temperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T ist im Allgemeinen außerordentlich klein: Für eine Beschleunigung, die auf einer Strecke von einem Mikrometer relativistische Geschwindigkeit erreicht, liegt die Temperatur knapp unter dem Niveau des kosmischen Mikrowellenhintergrunds.

Der Unruh-Effekt beschreibt physikalische Vorgänge aus der Sicht eines beschleunigten Beobachters oder Objekts. Z. B. kann ein beschleunigter Detektor ein Teilchen (z. B. ein Photon) aus dem Unruh-Strahlungshintergrund absorbieren und demzufolge ein Signal liefern.

Dieselben Vorgänge (oder deren Äquivalente) kann man aber mit derselben Quantenfeldtheorie auch im ruhenden Bezugssystem beschreiben. Aus der Sicht eines ruhenden Beobachters enthält das Vakuum keine Teilchen, aber der beschleunigte Detektor sendet (aufgrund der Beschleunigung) selber Teilchen aus, die dann die Ursache des Detektor-Klicks werden.

Ein anderes Beispiel dieser Art betrifft die Stabilität eines beschleunigten Protons. Wird ein Proton beschleunigt, und das genügend rasch, so sieht es ein von Elektronen und Neutrinos bevölkertes Vakuum, die es unter Umwandlung in ein Neutron absorbieren kann. Das Ergebnis, dass beschleunigte Protonen nicht stabil sind, ergibt sich wiederum auch aus der entsprechenden Rechnung im Ruhsystem.

Möglichkeit einer experimentellen Verifikation

Eine experimentelle Verifikation mit direkter Messung der Temperatur ist wegen der erforderlichen großen Beschleunigung aussichtslos.

Der Unruh-Effekt ist aber verwendbar, um Rechnungen für Phänomene im ruhenden oder beschleunigten Koordinatensystem auszuführen. Ein Beispiel ist die Depolarisierung von Elektronen in Speicherringen. Bei diesem Analogon zum Unruh-Effekt stimmen Theorie und Experiment überein.

Hawking-Strahlung, ein anderes Analogon des Unruh-Effeks, wäre beobachtbar, wenn es schwarze Löcher gäbe, mit einer Masse kleiner etwa als die des Zwergplaneten Ceres.

Schematische Herleitung

Der Unruh-Effekt wird oft durch Entwickeln von Quantenfeldern in Eigenmoden in verschiedenen Koordinatensystemen hergeleitet. Gleichsetzen der Felder und Vergleich der Fourier-Moden führt dann über eine Bogoliubov-Transformation zum Ziel. Herleitungen dieser Art kaschieren eher die geometrische Natur des Effekts. Ausgangspunkt einer allgemeineren Herleitung sind die Matrixelemente des Vakuum-Dichteoperators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho_{\Omega} einer Quantenfeldtheorie mit Feldern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi ,

$ \left\langle \phi _{1}\right|\rho _{\Omega }\left|\phi _{0}\right\rangle =\left\langle \phi _{1}\left|\Omega \right.\right\rangle \left\langle \Omega \left|\phi _{0}\right.\right\rangle ={\mathcal {N\lim _{\beta \rightarrow \infty }}}\left\langle \chi \right|e^{-\beta H}\left|\phi _{0}\right\rangle \left\langle \phi _{1}\right|e^{-\beta H}\left|\chi \right\rangle . $

Hierbei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\Omega\right\rangle der quantenmechanische Grundzustand mit Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 0 , die Symbole Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\phi_{0}\right\rangle , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\phi_{1}\right\rangle bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\chi\right\rangle bezeichnen quantenmechanische Zustände mit vorgegebener Konfiguration der Felder. In $ \phi $-Darstellung ist (schematisch) z. B. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\langle \phi\left|\phi_{0}\right.\right\rangle =\psi_{0}\left(\phi\right)=\Pi_{\mathbf{x}}\delta\left(\phi\left(\mathbf{x}\right)-\phi_{0}\left(\mathbf{x}\right)\right) . Der Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\chi\right\rangle ist beliebig, die einzige Forderung ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\langle \Omega\left|\chi\right.\right\rangle \neq0. Das Symbol Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H steht für den Hamiltonoperator des Systems, so dass $ e^{-\beta H} $ bei großem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta auf den Grundzustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\Omega\right\rangle projiziert. Das Symbol Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{N} ist ein Normierungsfaktor.

Auf der rechten Seite der Gleichung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho_{\Omega} erkennt man die Entwicklung eines generischen Zustands Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\chi\right\rangle in imaginärer Zeit $ \tau $ von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau=-\infty zu einem Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\phi_{1}\right\rangle bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau=0 . Bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau=0 ändert sich die Wellenfunktion unstetig zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\phi_{0}\right\rangle , und entwickelt sich dann weiter zu $ \left|\chi \right\rangle $ bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau=\infty .

Randbedingungen für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi -Felder in der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_1 -Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau -Ebene für eine Berechnung der Vakuum-Dichtematrix. Die Wirkung der Transfer-Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H_\theta ist mit gestrichelten Linien angedeutet.

Es werde jetzt zwischen den Feldern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi=\phi^{R} bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{1}>0 und den Feldern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi=\phi^{L} bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{1}<0 unterschieden (es reicht, sich auf ein System mit nur einer Raumdimension zu beschränken). Der Vakuum-Dichteoperator ist dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\langle \phi_{1}^{R}\phi_{1}^{L}\right|\rho_{\Omega}\left|\phi_{0}^{R}\phi_{0}^{L}\right\rangle =\mathcal{N}\lim_{\beta\rightarrow\infty}\left\langle \chi\right|e^{-\beta H}\left|\phi_{0}^{R}\phi_{0}^{L}\right\rangle \left\langle \phi_{1}^{R}\phi_{1}^{L}\right|e^{-\beta H}\left|\chi\right\rangle.

Es werde angenommen, dass nur die Felder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi^{R} bei $ x_{1}>0 $ von Interesse sind. Technisch läuft dies auf die Spur des Dichteoperators hinaus. D.h. bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{1}<0 ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi_{0}^{L}=\phi_{1}^{L} zu setzen und über die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi_{0}^{L} ist zu integrieren. Das Ergebnis ist die reduzierte Dichtematrix für den Bereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{1}>0 ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\langle \phi_{1}^{R}\right|\rho_{\Omega}^{R}\left|\phi_{0}^{R}\right\rangle =\mathcal{N}\lim_{\beta\rightarrow\infty}\left\langle \chi\right|e^{-\beta H}\left|\phi_{0}^{R}\right\rangle \left\langle \phi_{1}^{R}\right|e^{-\beta H}\left|\chi\right\rangle.

Der Rest der Herleitung ist reine Geometrie und Interpretation. Der Ausdruck rechts ist interpretierbar als die Entwicklung eines generischen Zustands $ \left|\chi \right\rangle $ in imaginärer Zeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau=-\infty bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau=0. Bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau=0^{-} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{1}>0 ist die Feldkonfiguration $ \left|\phi _{1}^{R}\right\rangle $ vorgegeben, bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau=0^{+} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{1}>0 ist die Feldkonfiguration Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\phi_{0}^{R}\right\rangle vorgegeben. Bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau=0 und $ x_{1}<0 $ gibt es keine Unstetigkeit mehr. Ab Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau>0 entwickelt sich die Wellenfunktion zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\chi\right\rangle . Man kann jetzt folgendermaßen argumentieren.

• Quantenfeldtheorien mit imaginärer Zeitvariable sind Feldtheorien der klassischen statistischen Physik. Die imaginäre Zeitvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau ist dabei nur eine weitere Raumdimension (die Äquivalenz ist in der Pfadintegraldarstellung der Quantenfeldtheorie explizit realisiert).
• Der Hamilton-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H der Quantenfeldtheorie entspricht der Transfer-Matrix der klassischen Feldtheorie (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H ist ein Generator, die Transfer-Matrix ist eine kleine Transformation $ e^{-\epsilon H} $).
• Der Erwartungswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\langle \phi_{1}^{R}\right|\rho_{\Omega}^{R}\left|\phi_{0}^{R}\right\rangle mit einer Unstetigkeit bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau=0, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{1}>0 lässt sich anstatt von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau=-\infty bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau=\infty auch in Polarkoordinaten $ x_{1}=\rho \cos \theta $, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau=\rho\sin\theta auswerten. Die Unstetigkeit tritt dann bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta=2\pi auf.
• Die klassische Feldtheorie zu einer relativistisch invarianten Quantenfeldtheorie ist räumlich isotrop, es gibt daher überall eine Transfer-Matrix in beliebige Richtung, insbesondere auch in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta -Richtung. Die Vakuum-Dichtematrix des Halbraums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{1}>0 lässt sich daher schreiben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\langle \phi_{1}^{R}\right|\rho_{\Omega}^{R}\left|\phi_{0}^{R}\right\rangle =\mathcal{N}\left\langle \phi_{1}^{R}\right|e^{-2\pi H_{\theta}}\left|\phi_{0}^{R}\right\rangle .

Ausgedrückt durch eine lokale Transfer-Matrix schreibt sich die Exponentialfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e^{-2\pi\rho h_{\theta}} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h_{\theta} um eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho -unabhängige Länge transferiert. Dies entspricht lokal einer thermischen Zustandsdichte mit reziproker Temperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2\pi\rho=\beta=1/k_\mathrm {B}T und Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h_{\theta} .

Das zu dieser thermischen Zustandsdichte gehörende physikalische Bezugssystem ergibt sich, wenn man die (formal) imaginäre Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta reell macht, d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta=i\eta . Die Polarkoordinaten werden dann zu Rindler-Koordinaten für den Keil $ x_{1}>0 $, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\tau\right|<\left|x_{1}\right| . Ein Beobachter bei konstanter Rindler-Koordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho ist einer konstanten Beschleunigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=1/\rho ausgesetzt, und die Vakuum-Dichtematrix wird zu einer thermischen Dichtematrix mit der Unruh-Temperatur.

Die Elimination der Freiheitsgrade bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{1}<0 ist ein essentieller Schritt der Herleitung, und man kann zeigen, dass dabei die Verschränkung der Feldfreiheitsgrade bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{1}<0 und $ x_{1}>0 $ eine Rolle spielt.

Literatur

• Viatcheslav F. Mukhanov, et al.: Introduction to quantum effects in gravity. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2009, ISBN 0-521-86834-3; Kap.8, Unruh effect, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
• Luis C. B Crispino, et al.: The Unruh effect and its applications. Reviews of Modern Physics, 80, 2008, S. 787–838, doi:10.1103/RevModPhys.80.787 (arxiv:0710.5373).
• John Earman: The Unruh effect for philosophers. Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 42, 2011, S. 81–97, doi:10.1016/j.shpsb.2011.04.001.
• Stephen A. Fulling und George E.A. Matsas: Unruh effect. Scholarpedia, doi:10.4249/scholarpedia.31789.
• Daniel Harlow: Jerusalem Lectures on Black Holes and Quantum Information. arxiv:1409.1231v4.

Weblinks

• Der Unruh-Effekt wird messbar, auf: orf.at vom 10. Dezember 2020: Vorschlag einer Quantensimulation mit Hilfe eines Bose-Einstein-Kondensats (BEC).
• Unruh-Effekt • Hawkingstrahlung • Bremsstrahlung • Rindler-Raumzeit Vortrag von Josef M. Gaßner in der Reihe "Von Aristoteles zur Stringtheorie" Folge 63

Anmerkungen