Wick-Rotation

Die Wick-Rotation (nach Gian-Carlo Wick) ist eine Methode für die Herleitung einer Lösung eines Problems im Minkowski-Raum aus der Lösung eines verwandten Problems im Euklidischen Raum durch analytische Fortsetzung.

Die Wick-Rotation wird durch die Betrachtung motiviert, dass die Minkowski-Metrik

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm ds^2 = -(\mathrm dt^2) + \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2

und die vierdimensionale Euklidische Metrik

\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} t^{2}+\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}

äquivalent sind, wenn man erlaubt, dass die Koordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t komplexe Werte annimmt. Die Minkowski-Metrik wird euklidisch, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t auf imaginäre Zahlen beschränkt wird und umgekehrt. Für ein Problem im Minkowski-Raum mit den Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x,y,z,t wird die Substitution Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): w=\mathrm it durchgeführt, sodass das Problem in Euklidischen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x,y,z,w formuliert ist. Die Lösung für das ursprüngliche Problem erhält man durch die umgekehrte Substitution.

Quantenmechanik und Statistische Mechanik

Die Wick-Rotation verbindet Quantenmechanik und Statistische Mechanik in überraschender Weise dadurch, dass sie die inverse Temperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1/(k_\mathrm{B} T) durch die imaginäre Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm it/ \hbar ersetzt. Gegeben sei ein großes Ensemble von harmonischen Oszillatoren bei einer Temperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T . Die relative Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Oszillator bei der Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E anzutreffen, ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \exp\left(\frac{-E}{k_\mathrm{B} T}\right)

mit der Boltzmannkonstante $k_{\mathrm {B} }$ . Der Erwartungswert einer Observablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q ist bis auf eine Normierungskonstante

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sum_j Q(j) e^{\frac{-E_j}{(k_\mathrm{B} T)}}

Sei nun ein quantenmechanischer harmonischer Oszillator in einer Überlagerung von Basiszuständen und entwickle sich während der Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t mit dem Hamiltonoperator $$ H $$ . Die relative Phasenänderung eines Basiszustandes mit der Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \exp\left(\frac{-E \mathrm it}{\hbar}\right)

mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hbar . Die Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass eine gleichförmige Überlagerung der Zustände

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi\rangle = \sum_j |j\rangle

sich zu einem beliebigen Zustand

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |Q\rangle = \sum_j Q_j |j\rangle

entwickelt, ist bis auf eine Normierungskonstante

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \Big\langle Q\Big| e^{-\frac{\mathrm i}{\hbar} Ht}\Big|\psi\Big\rangle &= \sum_j Q_j \exp\left(\frac{-E_j \mathrm it}{\hbar}\right)\langle j|j\rangle\\ &= \sum_j Q_j \exp\left(\frac{-E_j \mathrm it}{\hbar}\right). \end{align}

Statik und Dynamik

Die Wick-Rotation verknüpft statische Probleme in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n Dimensionen mit dynamischen Problemen in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n-1 Dimensionen, indem sie eine Raum- durch eine Zeitdimension austauscht. Ein einfaches Beispiel mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n=2 ist eine hängende Sprungfeder in einem Gravitationsfeld. Die Form der Feder ist die Kurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y(x) . Die Feder ist im Gleichgewicht, wenn die mit dieser Kurve verbundene Energie sich an einem kritischen Punkt befindet, typischerweise einem Minimum, sodass dieses Prinzip gewöhnlich als das der kleinsten Energie bezeichnet wird. Um die Energie zu berechnen, integrieren wir über die Energiedichte an jedem Punkt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E = \int_x \left[ k \left(\frac{\mathrm dy(x)}{\mathrm dx}\right)^2 + V(x) \right] \mathrm dx,

mit der Federkonstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k und dem Gravitationspotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(x) .

Das korrespondierende dynamische Problem ist das eines nach oben geworfenen Steins; seine Trajektorie ist ein kritischer Punkt der Wirkung. Diese ist das Integral der Lagrangefunktion; auch dieser kritische Punkt ist typischerweise ein Minimum, was dem Prinzip die Bezeichnung Prinzip der kleinsten Wirkung verdankt:

S=\int _{t}\left[m\left({\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}-V(t)\right]\mathrm {d} t

Wir erhalten die Lösung des dynamischen Problems (bis auf einen Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\mathrm i ) durch Wick-Rotation aus dem statischen, indem wir Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t ersetzen, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm dx durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm i \mathrm dt , und die Federkonstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k durch die Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m des Steins:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} -\mathrm iS &= \int_t \left[ m \left(\frac{\mathrm dy(t)}{\mathrm i \mathrm dt}\right)^2 + V(t) \right] \mathrm i \mathrm dt\\ &= -\mathrm i \int_t \left[ m \left(\frac{\mathrm dy(t)}{\mathrm dt}\right)^2 - V(t) \right] \mathrm dt \end{align}

Kombination der Paare Thermodynamik/Quantenmechanik und Statik/Dynamik

Kombiniert zeigen die beiden oberen Beispiele, wie die Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik mit der statistischen Mechanik zusammenhängt: Die Form jeder Feder in einem Ensemble bei der Temperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T wird aufgrund thermischer Fluktuationen von der Form mit der geringsten Energie abweichen; die Wahrscheinlichkeit, eine Feder mit gegebener Form zu finden, fällt exponentiell mit der Energiedifferenz zu dieser Minimalenergie-Form. Auf ähnliche Weise lässt sich ein einzelnes Quantenteilchen, das sich in einem Potential bewegt, als Superposition von Pfaden jeweils mit der Phase Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \exp(-\mathrm iS) beschreiben: Die thermischen Schwankungen der Federform quer über das Ensemble sind hier durch eine Quantenunschärfe im Weg des Quantenteilchens ersetzt.

Sonstiges

In der Quantenfeldtheorie wird die Wickrotation verwendet, um die Singularitäten der Greenschen Funktionen auf dem Lichtkegel zu umgehen. Auch für die Definition des Pfadintegrals spielt die Wick-Rotation eine bedeutende Rolle. Quantenfeldtheorien im euklidischen Raum, die man durch Wick-Rotation in Quantenfeldtheorien in der Minkowski-Raumzeit umwandeln kann, spielen auch in der konstruktiven Quantenfeldtheorie eine bedeutende Rolle. Die euklidischen greenschen Funktionen müssen dabei insbesondere eine Eigenschaft erfüllen, die Reflexionspositivität heißt, damit sich sinnvolle Quantenfeldtheorien in der Minkowski-Raumzeit ergeben.

Die Schrödingergleichung und die Wärmeleitungsgleichung hängen durch die Wick-Rotation zusammen. Diese Beziehung setzt sich auch in der thermischen Quantenfeldtheorie fort, in der die Thermodynamik von Quantenfeldern derart beschrieben werden kann, dass der Kehrwert der Temperatur als imaginäre Zeit behandelt wird. Eine genaue Definition thermodynamischer Zustände mittels einer solchen imaginären Zeit ist in Form der KMS-Zustände gegeben. Die Wick-Rotation wird Rotation genannt, weil in der komplexen Zahlenebene die Multiplikation mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm i einer Drehung eines Vektors um einen Winkel von 90° oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pi/2 entspricht. Man beachte, dass die Wick-Rotation nicht als Rotation im komplexen Vektorraum (Norm und Metrik seien durch das Skalarprodukt gegeben) aufgefasst werden kann. In diesem Fall würde die Rotation aufgehoben werden und keine Wirkung haben.

Als Stephen Hawking in seinem Buch Eine kurze Geschichte der Zeit über „imaginäre Zeit“ schrieb, bezog er sich auf die Wick-Rotation.

Weblinks

Wick rotation – a blog introduction