Breit-Rabi-Formel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 6. März 2021, 16:38 Uhr

Die Breit-Rabi-Formel (nach Gregory Breit und Isidor Isaac Rabi (1931)^[1]) beschreibt in der Atomphysik die Hyperfeinstruktur-Aufspaltung des Wasserstoffatoms und wasserstoffähnlicher Atome (mit Valenzelektron in der s-Schale)^[2] in Abhängigkeit eines externen Magnetfeldes. Ihr Nutzen besteht vor allem darin, dass sie auch im Übergangsbereich zwischen schwachen (Zeeman-Effekt) und starken Feldstärken (Paschen-Back-Effekt) quantitativ gültig ist. Dies ist beim Wasserstoffatom von besonderer Bedeutung, weil dessen Kern- und Hüllendrehimpuls schon bei geringen Flussdichten im Bereich $B \approx 0, 05 T$ entkoppeln.

Die Breit-Rabi-Formel ist ein Ausdruck für die Energieverschiebung eines Niveaus mit allgemeinem Kernspin $I$ und magnetischer Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses $m_{F}$ , jedoch einem vorgegebenen Hüllendrehimpuls $J = \frac{1}{2}$ . Sie lautet:^[3]

W_{I \pm \frac{1}{2}, m_{F}} = - \frac{A}{2 (2 I + 1)} + g_{I} m_{F} μ_{K} B \pm \frac{A}{2} \sqrt{1 + \frac{4 m_{F} (g_{J} μ_{B} - g_{I} μ_{K}) B}{(2 I + 1) A} + {(\frac{(g_{J} μ_{B} - g_{I} μ_{K}) B}{A})}^{2}}

Dabei ist $A$ die atomspezifische Hyperfeinstruktur-Kopplungskonstante, $μ_{B}$ das Bohrsche und $μ_{K}$ das Kernmagneton. $g_{J}$ und $g_{I}$ sind die Landé-Faktoren des Hüllendrehimpulses $J$ bzw. Kernspins $I$ .

Herleitung für den Grundzustand des Wasserstoffatoms

Die Drehimpulse werden hier mit den Drehimpulsquantenzahlen beschrieben, die dem Betrag eines Drehimpulses in Einheiten des reduzierten Plancksches Wirkungsquantum $ℏ$ entsprechen. Das Wasserstoffatoms hat einen Kernspin $I = \frac{| \vec{I} |}{ℏ} = \frac{1}{2}$ . Das einzige Elektron hat im Grundzustand ( $l = 0$ ) nur einen Spin-Drehimpuls, der gleichzeitig auch der gesamte Hüllendrehimpuls $J = \frac{| \vec{J} |}{ℏ} = \frac{1}{2}$ ist. Kernspin und Hüllendrehimpuls koppeln gemäß der Drehimpulsalgebra zum Gesamtdrehimpuls $\vec{F} = \vec{I} + \vec{J}$ . Die nun folgende Herleitung für diesen einfachsten Fall lässt sich für verschiedene Werte von $J$ und $I$ stark verallgemeinern. Das grundsätzliche Verfahren wird in der hier vorgestellten Form jedoch gut ersichtlich.

Der Hamiltonoperator der Hyperfeinstruktur mit einem B-Feld in z-Richtung ist:^[4]

{\hat{H}}_{HFS} = A \frac{\vec{I} \cdot \vec{J}}{ℏ^{2}} + (g_{J} μ_{B} \frac{J_{z}}{ℏ} - g_{I} μ_{K} \frac{I_{z}}{ℏ}) B

Dieser Hamilton-Operator wird nun in einer geeigneten Basis $| J I F m_{F} ⟩$ diagonalisiert, die sich aus "guten Quantenzahlen" zusammensetzt; mit der Projektion des Drehimpulses $\vec{F}$ auf die Richtung des Magnetfeldes $m_{F} = m_{J} + m_{I}$ (magnetische Quantenzahl). Der erste Summand des obigen Hamiltonian ist in dieser Basis diagonal und lässt sich ausdrücken als

A \frac{\vec{I} \cdot \vec{J}}{ℏ^{2}} = \frac{A}{2} (F (F + 1) - I (I + 1) - J (J + 1))

Die $z$ -Komponenten $I_{z}$ und $J_{z}$ lassen sich mit dem Wigner-Eckart-Theorem ebenfalls in Matrix-Form darstellen. Die Zeilen bzw. Spalten sind links bzw. oben mit Indizes versehen, die als $(F | m_{F})$ zu lesen sind. Abseits der Diagonalen sind fast alle Einträge null, außer denen mit $m_{F} = 0$ , die mischen.

\frac{⟨ J I F^{'} m_{F}^{'} | J_{z} | J I F m_{F} ⟩}{ℏ} = (\begin{array}{ccccc} (0 | 0) & (1 | - 1) & (1 | 0) & (1 | 1) \\ (0 | 0) & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ (1 | - 1) & 0 & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (1 | 0) & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ (1 | 1) & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{array})

Analog folgt für die $z$ -Komponente des Kernspins:

\frac{⟨ J I F^{'} m_{F}^{'} | I_{z} | J I F m_{F} ⟩}{ℏ} = (\begin{array}{ccccc} (0 | 0) & (1 | - 1) & (1 | 0) & (1 | 1) \\ (0 | 0) & 0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ (1 | - 1) & 0 & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (1 | 0) & - \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ (1 | 1) & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{array})

Addiert man alle drei einzeln in Matrix-Darstellung gebrachten Terme auf und setzt $I = J = \frac{1}{2}$ sowie $g_{J} \approx 2$ für das Wasserstoffatom ein, dann ergibt sich für den Hamiltonian:^[5]

{\hat{H}}_{HFS} = (\begin{array}{ccccc} (0 | 0) & (1 | - 1) & (1 | 0) & (1 | 1) \\ (0 | 0) & - \frac{3 A}{4} & 0 & (μ_{B} + \frac{g_{I}}{2} μ_{K}) B & 0 \\ (1 | - 1) & 0 & \frac{A}{4} - (μ_{B} - \frac{g_{I}}{2} μ_{K}) B & 0 & 0 \\ (1 | 0) & (μ_{B} + \frac{g_{I}}{2} μ_{K}) B & 0 & \frac{A}{4} & 0 \\ (1 | 1) & 0 & 0 & 0 & \frac{A}{4} + (μ_{B} - \frac{g_{I}}{2} μ_{K}) B \end{array})

Die Eigenwerte dieser Matrix ergeben unter Vernachlässigung quadratischer Terme in $μ_{K}$ für allgemeine Werte für $I, F$ und $m_{F}$ gerade die oben genannte Breit-Rabi-Formel.

Einzelnachweise

↑ Gregory Breit, Isidor Isaac Rabi: Measurement of Nuclear Spin. In: Physical Review Letters. Band 38, Nr. 11, November 1931, S. 2082--2083, doi:10.1103/PhysRev.38.2082.2.
↑ Florian Scheck: Quantum Physics. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 284.
↑ Blair, B.E. and Morgan, A.H.: Frequency and Time. U.S. Government Printing Office, 1972, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 13–14.
↑ Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 362.
↑ Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 367 ff.

en:Zeeman effect#Intermediate field for j = 1/2

[1] Gregory Breit, Isidor Isaac Rabi: Measurement of Nuclear Spin. In: Physical Review Letters. Band 38, Nr. 11, November 1931, S. 2082--2083, doi:10.1103/PhysRev.38.2082.2.

[2] Florian Scheck: Quantum Physics. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 284.

[3] Blair, B.E. and Morgan, A.H.: Frequency and Time. U.S. Government Printing Office, 1972, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 13–14.

[4] Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 362.

[5] Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 367 ff.

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-Die '''Breit-Rabi-Formel''' (nach [[Gregory Breit]] und [[Isidor Isaac Rabi]] (1931)<ref>{{cite journal
+Die '''Breit-Rabi-Formel''' (nach [[Gregory Breit]] und [[Isidor Isaac Rabi]] (1931)<ref>{{Literatur |Autor=Gregory Breit, Isidor Isaac Rabi |Titel=Measurement of Nuclear Spin |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=38 |Nummer=11 |Datum=1931-11 |Seiten=2082--2083 |DOI=10.1103/PhysRev.38.2082.2}}</ref>) beschreibt in der [[Atomphysik]] die [[Hyperfeinstruktur]]-Aufspaltung des [[Wasserstoffatom]]s und wasserstoffähnlicher Atome (mit [[Valenzelektron]] in der s-Schale)<ref>{{Literatur |Autor=Florian Scheck |Titel=Quantum Physics |Verlag=Springer |Datum=2013 |ISBN=9783642345630 |Seiten=284}}</ref> in Abhängigkeit eines externen [[Magnetfeld]]es. Ihr Nutzen besteht vor allem darin, dass sie auch im Übergangsbereich zwischen schwachen ([[Zeeman-Effekt]]) und starken Feldstärken ([[Paschen-Back-Effekt]]) quantitativ gültig ist. Dies ist beim Wasserstoffatom von besonderer Bedeutung, weil dessen [[Kernspin|Kern]]- und [[Spin-Bahn-Kopplung|Hüllendrehimpuls]] schon bei geringen Flussdichten im Bereich <math>B\approx 0{,}05\,\mathrm{T}</math> entkoppeln.
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-</ref>) beschreibt in der [[Atomphysik]] die [[Hyperfeinstruktur]]-Aufspaltung des [[Wasserstoffatom]]s und wasserstoffähnlichen Atomen (mit [[Valenzelektron]] in der s-Schale)<ref>{{cite book |last=Scheck |first=Florian |date=2013 |title=Quantum Physics|isbn=9783642345630|publisher=Springer|pages=284}}</ref> in Abhängigkeit eines externen [[Magnetfeld]]es. Ihr Nutzen besteht vor allem darin, dass sie auch im Übergangsbereich zwischen schwachen ([[Zeeman-Effekt]]) und starken Feldstärken ([[Paschen-Back-Effekt]]) quantitativ gültig ist. Dies ist beim Wasserstoffatom von besonderer Bedeutung, weil dessen [[Kernspin|Kern]]- und [[Spin-Bahn-Kopplung|Hüllendrehimpuls]] schon bei geringen Flussdichten im Bereich <math>B\approx 0{,}05\,\mathrm{T}</math> entkoppeln.
 Die Breit-Rabi-Formel ist ein Ausdruck für die Energieverschiebung eines Niveaus mit allgemeinem Kernspin <math>I</math> und magnetischer Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses <math>m_F</math>, jedoch einem vorgegebenen Hüllendrehimpuls <math>J=\frac{1}{2}</math>. Sie lautet:<ref>
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 == Herleitung für den Grundzustand des Wasserstoffatoms ==
+Die Drehimpulse werden hier mit den Drehimpuls[[quantenzahl]]en beschrieben, die dem Betrag eines Drehimpulses in Einheiten des reduzierten [[Plancksches Wirkungsquantum]] <math>\hbar</math> entsprechen. Das Wasserstoffatoms hat einen Kernspin <math>I=\frac{|\vec{I}|}{\hbar}=\frac{1}{2}</math>. Das einzige Elektron hat im [[Grundzustand]] (<math>l=0</math>) nur einen [[Spin]]-Drehimpuls, der gleichzeitig auch der gesamte Hüllendrehimpuls <math>J=\frac{|\vec{J}|}{\hbar}=\frac{1}{2}</math> ist. Kernspin und Hüllendrehimpuls koppeln gemäß der [[Drehimpulsoperator|Drehimpulsalgebra]] zum Gesamtdrehimpuls <math>\vec{F}=\vec{I}+\vec{J}</math>. Die nun folgende Herleitung für diesen einfachsten Fall lässt sich für verschiedene Werte von <math>J</math> und <math>I</math> stark verallgemeinern. Das grundsätzliche Verfahren wird in der hier vorgestellten Form jedoch gut ersichtlich.
-Die Drehimpulse werden hier mit den Drehimpuls[[quantenzahl]]en beschrieben, die dem Betrag eines Drehimpulses in Einheiten des reduzierten [[Plancksches Wirkungsquantum]] <math>\hbar</math> entsprechen. Das Wasserstoffatoms hat einen Kernspin <math>I=\frac{\left|\vec{I}\right|}{\hbar}=\frac{1}{2}</math>. Das einzige Elektron hat im [[Grundzustand]] (<math>l=0</math>) nur einen [[Spin]]-Drehimpuls, der gleichzeitig auch der gesamte Hüllendrehimpuls <math>J=\frac{\left|\vec{J}\right|}{\hbar}=\frac{1}{2}</math> ist. Kernspin und Hüllendrehimpuls koppeln gemäß der [[Drehimpulsoperator|Drehimpulsalgebra]] zum Gesamtdrehimpuls <math>\vec{F}=\vec{I}+\vec{J}</math>. Die nun folgende Herleitung für diesen einfachsten Fall lässt sich für verschiedene Werte von <math>J</math> und <math>I</math> stark verallgemeinern. Das grundsätzliche Verfahren wird in der hier vorgestellten Form jedoch gut ersichtlich.
+Der [[Hamiltonoperator]] der Hyperfeinstruktur mit einem B-Feld in z-Richtung ist:<ref>{{Literatur |Autor=Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz |Titel=Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie |Auflage=1 |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-30613-9 |Seiten=362}}</ref>
-Der [[Hamiltonoperator]] der Hyperfeinstruktur mit einem B-Feld in z-Richtung ist:<ref>{{Literatur | Autor=Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz | Titel=Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie | Auflage=1 | Verlag=Springer | Ort=Berlin, Heidelberg | Jahr=2008 | ISBN=978-3-540-30613-9 | Seiten=362}}</ref>
 :<math>\hat{H}_\mathrm{HFS}=A\frac{\vec{I}\cdot\vec{J}}{\hbar^2}+\left(g_J\mu_\mathrm{B}\frac{J_z}{\hbar}-g_I\mu_\mathrm{K}\frac{I_z}{\hbar}\right)B</math>
 Dieser Hamilton-Operator wird nun in einer geeigneten Basis <math>|JIFm_F\rangle</math> diagonalisiert, die sich aus "guten Quantenzahlen" zusammensetzt; mit der Projektion des Drehimpulses <math>\vec{F}</math> auf die Richtung des Magnetfeldes <math>m_F=m_J+m_I</math> (magnetische Quantenzahl). Der erste Summand des obigen Hamiltonian ist in dieser Basis diagonal und lässt sich ausdrücken als
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 :<math>\frac{\langle JIF'm_F'|J_z|JIFm_F\rangle}{\hbar}=
 \left(
+\begin{array}{c|cccc}
-  \begin{matrix}
+&  \left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right) \ \hline
-   \\hline
+  \left(0|0\right)  &  0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\
-   \left(0|0\right) \
+ \left(1|-1\right) &  0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \
-   \left(1|-1\right) \
+ \left(1|0\right)  & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \
-   \left(1|0\right)\
+   \left(1|1\right) &  0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}
-   \left(1|1\right) \
+\end{array}
-  \end{matrix}
-  \left|
- \begin{matrix}
-  \left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\hline
-& 0 & \frac{1}{2} & 0\
-& -\frac{1}{2} & 0 & 0 \
-  \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \
-& 0 & 0 & \frac{1}{2}
- \end{matrix}
   \right)
-\right.
 </math>
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 :<math>\frac{\langle JIF'm_F'|I_z|JIFm_F\rangle}{\hbar}=
 \left(
+\begin{array}{c|cccc}
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-  \left|
- \begin{matrix}
-  \left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\hline
-& 0 & -\frac{1}{2} & 0\
-& -\frac{1}{2} & 0 & 0 \
-  -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \
-& 0 & 0 & \frac{1}{2}
- \end{matrix}
   \right)
-\right.
 </math>
-Addiert man alle drei einzeln in Matrix-Darstellung gebrachten Terme auf und setzt <math>I=J=\frac{1}{2}</math> sowie <math>g_J\approx 2</math> für das Wasserstoffatom ein, dann ergibt sich für den Hamiltonian:<ref>{{Literatur | Autor=Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz | Titel=Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie | Auflage=1 | Verlag=Springer | Ort=Berlin, Heidelberg | Jahr=2008 | ISBN=978-3-540-30613-9 | Seiten=367ff}}</ref>
+Addiert man alle drei einzeln in Matrix-Darstellung gebrachten Terme auf und setzt <math>I=J=\frac{1}{2}</math> sowie <math>g_J\approx 2</math> für das Wasserstoffatom ein, dann ergibt sich für den Hamiltonian:<ref>{{Literatur |Autor=Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz |Titel=Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie |Auflage=1 |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-30613-9 |Seiten=367ff}}</ref>
 :<math>\hat{H}_\mathrm{HFS}=
 \left(
+   \begin{array}{c|cccc}
-   \begin{matrix}
-   \\hline
+&  \left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\hline
-   \left(0|0\right) \
+(0|0) &  -\frac{3A}{4} & 0 & \left(\mu_\mathrm{B}+\frac{g_I}{2}\mu_\mathrm{K}\right)B & 0\
-   \left(1|-1\right) \
+(1|-1)&  0 & \frac{A}{4}-\left(\mu_\mathrm{B}-\frac{g_I}{2}\mu_\mathrm{K}\right)B & 0 & 0 \
-   \left(1|0\right)\
+(1|0)&  \left(\mu_\mathrm{B}+\frac{g_I}{2}\mu_\mathrm{K}\right)B & 0 & \frac{A}{4} & 0 \
-   \left(1|1\right) \
+(1|1)&  0 & 0 & 0 & \frac{A}{4}+\left(\mu_\mathrm{B}-\frac{g_I}{2}\mu_\mathrm{K}\right)B
-  \end{matrix}
+  \end{array}
- \left|
-  \begin{matrix}
-  \left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\hline
-  -\frac{3A}{4} & 0 & \left(\mu_\mathrm{B}+\frac{g_I}{2}\mu_\mathrm{K}\right)B & 0\
-& \frac{A}{4}-\left(\mu_\mathrm{B}-\frac{g_I}{2}\mu_\mathrm{K}\right)B & 0 & 0 \
-  \left(\mu_\mathrm{B}+\frac{g_I}{2}\mu_\mathrm{K}\right)B & 0 & \frac{A}{4} & 0 \
-& 0 & 0 & \frac{A}{4}+\left(\mu_\mathrm{B}-\frac{g_I}{2}\mu_\mathrm{K}\right)B
-  \end{matrix}
   \right)
-\right.
 </math>
 Die Eigenwerte dieser Matrix ergeben unter Vernachlässigung quadratischer Terme in <math>\mu_\mathrm{K}</math> für allgemeine Werte für <math>I,F</math> und <math>m_F</math> gerade die oben genannte Breit-Rabi-Formel.
 == Einzelnachweise ==
-<references/>
+<references />
 [[Kategorie:Atomphysik]]
 [[en:Zeeman effect#Intermediate field for j = 1/2]]