Elektromagnetischer Feldstärketensor: Unterschied zwischen den Versionen

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Elektromagnetischer Feldstärketensor: Unterschied zwischen den Versionen

imported>Frank C. Müller
(stil.)
 
imported>Wassermaus
K (Es srand 2x da, dass das Gauss-System verwendet wird)
 
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== Definition ==
== Definition ==
Der elektromagnetische Feldstärketensor ist gewöhnlich definiert durch das [[Vektorpotential]]:
Der elektromagnetische Feldstärketensor ist gewöhnlich definiert durch das [[Vektorpotential]]:
:<math>
: <math>
\,F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}
\,F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}
</math>
</math>
z.&nbsp;B. mit dem klassischen Vektorpotential
z.&nbsp;B. mit dem klassischen Vektorpotential
:<math>
:<math>
A^{\mu} = \left(\phi/c, \vec A\right)
A^{\mu} = \left(\frac\phi c, \vec A\right)
</math>
</math>
Diese Definition ist auch für die [[Quantenelektrodynamik]] gültig. Dort ist einfach nur das Vektorpotential operatorwertig. Es ist ein Spezialfall der [[Feldstärketensor]]-Definition einer allgemeinen [[Eichtheorie]].
Diese Definition ist auch für die [[Quantenelektrodynamik]] gültig. Dort ist einfach nur das Vektorpotential operatorwertig. Es ist ein Spezialfall der [[Feldstärketensor]]-Definition einer allgemeinen [[Eichtheorie]].
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== Eigenschaften und Formeln ==
== Eigenschaften und Formeln ==
Der Feldstärketensor besitzt folgende Eigenschaften:
Der Feldstärketensor besitzt folgende Eigenschaften:
:* <math>F^{\mu\nu}</math> ist antisymmetrisch: <math>F^{\mu\nu} = -F^{\nu\mu}</math>
* <math>F^{\mu\nu}</math> ist antisymmetrisch: <math>F^{\mu\nu} = -F^{\nu\mu}</math>
:* Verschwindende [[Spur (Mathematik)|Spur]]: <math>F^{\mu\mu} = 0</math>
* Verschwindende [[Spur (Mathematik)|Spur]]: <math>F^{\mu\mu} = 0</math>
:* 6 freie Komponenten
* Aufgrund der Antisymmetrie sind nur 6 der 16 Komponenten unabhängig


Hier einige häufig auftretenden Kontraktionen:
Hier einige häufig auftretenden Kontraktionen:


In der [[Lagrangedichte]] tritt dieser Lorentz-invariante Term auf:
In der [[Lagrangedichte]] tritt dieser Lorentz-invariante Term auf:
:<math>F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right)</math>
: <math>F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right)</math>


Von Interesse ist auch die mit dem [[Levi-Civita-Symbol]] gebildete, pseudoskalare Invariante:
Von Interesse ist auch die mit dem [[Levi-Civita-Symbol]] gebildete, pseudoskalare Invariante:
:<math>\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}F^{\alpha\beta} F^{\gamma\delta} = \frac{8}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right)</math>
: <math>\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}F^{\alpha\beta} F^{\gamma\delta} = - \frac{8}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right)</math>
Mit der Konvention <math>\ \epsilon_{0123} \,</math> = +1.
Mit der Konvention <math>\ \epsilon_{0123} = -1</math>.


In einigen Rechnungen kommt auch diese Größe vor:
In einigen Rechnungen kommt auch diese Größe vor:
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Der [[Energie-Impuls-Tensor]] <math>T^{\,\mu\nu}</math> der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] für das elektromagnetische Feld wird aus <math>F^{\,\alpha\beta}</math> gebildet:
Der [[Energie-Impuls-Tensor]] <math>T^{\,\mu\nu}</math> der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] für das elektromagnetische Feld wird aus <math>F^{\,\alpha\beta}</math> gebildet:
:<math>T^{\alpha\beta}= F^{\alpha\gamma} F_{\gamma}^{\;\;\beta}-\frac{1}{4}g^{\alpha\beta} F_{\mu\nu}F^{\nu\mu}</math>
: <math>T^{\alpha\beta}= F^{\alpha\gamma} F_{\gamma}^{\;\;\beta}-\frac{1}{4}g^{\alpha\beta} F_{\mu\nu}F^{\nu\mu}</math>


== Darstellung als Matrix ==
== Darstellung als Matrix ==
Die Matrixdarstellung des Feldstärketensors ist ''koordinatenabhängig''. In einer flachen Raumzeit (also mit [[Minkowski-Metrik]]) und [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen]] Koordinaten kann der kontravariante Feldstärketensor geschrieben werden als:
Die Matrixdarstellung des Feldstärketensors ist ''koordinatenabhängig''. In einer flachen Raumzeit (also mit [[Minkowski-Metrik]]) und [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen]] Koordinaten kann der kontravariante Feldstärketensor geschrieben werden als:


:<math>
: <math>
F^{\mu\nu} = \left(\begin{matrix}
F^{\mu\nu} = \left(\begin{matrix}
                   0  &  -E_x/c &  -E_y/c &  -E_z/c \
                   0  &  -E_x/c &  -E_y/c &  -E_z/c \
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=== Inhomogene Maxwellgleichungen in kompakter Formulierung ===
=== Inhomogene Maxwellgleichungen in kompakter Formulierung ===
Es ist gebräuchlich, auch den ''dualen elektromagnetischen Feldstärketensor'' zu definieren:
Es ist gebräuchlich, auch den ''dualen elektromagnetischen Feldstärketensor'' zu definieren:
:<math>
: <math>
       \tilde{F}^{\mu\nu} := \frac{1}{2}\, \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,F_{\alpha\beta}
       \tilde{F}^{\mu\nu} := \frac{1}{2}\, \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,F_{\alpha\beta}
       \quad \Rightarrow \quad
       \quad \Rightarrow \quad
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Damit lassen sich sowohl die homogenen, als auch die inhomogenen [[Maxwellgleichungen]] kompakt aufschreiben:
Damit lassen sich sowohl die homogenen, als auch die inhomogenen [[Maxwellgleichungen]] kompakt aufschreiben:
:<math>
: <math>
\partial_{\mu} F^{\mu\nu} = \mu_0 j^{\nu} \qquad
\partial_{\mu} F^{\mu\nu} = \mu_0 j^{\nu} \qquad
\partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu} = 0
\partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu} = 0
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wobei der folgende Viererstrom verwendet wurde:
wobei der folgende Viererstrom verwendet wurde:
:<math>
:<math>
j^{\mu} = \left(c \rho, \vec j \right)
j^{\mu} = \left(c \rho, \vec\jmath \right)
</math>
 
==Der elektromagnetische Feldstärketensor lässt sich auch mit Hilfe der Lorentzkraft begründen==
 
''Im Folgenden wird das [[Gaußsches Einheitensystem|Gaußsche CGS-System]] verwendet, um die fundamentalen Zusammenhänge klarer herauszuarbeiten. Zudem wird statt der magnetischen Flussdichte die magnetische Feldstärke verwendet, da diese die zur elektrischen Feldstärke äquivalente Größe ist.''
 
<math>
F = q\left(E + \frac{1}{c}v \times H\right)
</math>
</math>
Der [[Lorentzkraft]] ist die Relativitätstheorie bereits inne was im Folgenden klarer wird.
Mit
<math>
F = \frac{d}{dt}\left(mv\right)
</math>
folgt
<math>
\frac{d}{dt}\left(mv\right) = q\left(E + \frac{1}{c}v \times H\right)
</math>
Mit dem Differential der Zeit und der Lichtgeschwindigkeit multipliziert cdt ergibt sich die Gestalt.
<math>
d\left(mcv\right) = q\left(Ecdt + vdt \times H\right)
</math>
In Koordinatenschreibweise ergeben sich daraus drei Gleichungen.
<math>
\begin{matrix}
&d(mc v_x) & = q(E_x cdt + H_z v_y dt - H_y v_z dt) \
&d(mc v_y) & = q(E_y cdt + H_x v_z dt - H_z v_x dt) \
&d(mc v_z) & = q(E_z cdt + H_y v_x dt - H_x v_y dt)
\end{matrix}
</math>
Wechseln wir zur Koordinatenschreibweise der speziellen Relativitätstheorie mit den kontravarianten Komponenten
<math>(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)</math>
<math>
cdt=dx^0 \quad  v^idt=dx^i \quad  i=(1,2,3)
</math>
<math>
\begin{matrix}
&d(mc v_x) & = q(E_x dx^0 + H_z dx^2 - H_y dx^3) \
&d(mc v_y) & = q(E_y dx^0 + H_x dx^3 - H_z dx^1) \
&d(mc v_z) & = q(E_z dx^0 + H_y dx^1 - H_x dx^2)
\end{matrix}
</math>
Diese drei Gleichungen drücken den Impuls des Teilchens (multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit c) in Abhängigkeit vom elektromagnetischen Feld und der vier Raumzeit-Koordinaten
<math>(x^0,x^1,x^2,x^3)</math> aus. Die Impulse auf der linken Seite sind die zu den drei Ortskoordinaten <math>x^1,x^2,x^3</math> kanonisch konjugierten Variablen. Da die Koordinate <math>x^0</math>  die Zeit in der Relativitätstheorie repräsentiert und die zur Zeit konjugierte Variable die Energie ist, können wir das Gleichungssystem um eine weitere Gleichung ergänzen, dem Differential der Teilchenenergie. Dabei gilt zu beachten das nur das elektrische Feld Arbeit am Teilchen leistet.
<math>
dW=qEdx \quad  dx=(dx^1,dx^2,dx^3)
</math>
<math>
d(mc^2)=q(E_xdx^1+E_ydx^2+E_zdx^3)
</math>
<math>
\begin{matrix}
&d(mc^2) & = q(E_x dx^1 + E_y dx^2 + E_z dx^3) \
&d(mcv_x) & = q(E_x dx^0 + H_z dx^2 - H_y dx^3) \
&d(mcv_y) & = q(E_y dx^0 + H_x dx^3 - H_z dx^1) \
&d(mcv_z) & = q(E_z dx^0 + H_y dx^1 - H_x dx^2)
\end{matrix}
</math>
Auf der linken Seite steht der Viererimpuls.
<math>
\begin{matrix}
&dp^0 & = q(E_x dx^1 + E_y dx^2 + E_z dx^3) \
&dp^1 & = q(E_x dx^0 + H_z dx^2 - H_y dx^3) \
&dp^2 & = q(E_y dx^0 + H_x dx^3 - H_z dx^1) \
&dp^3 & = q(E_z dx^0 + H_y dx^1 - H_x dx^2)
\end{matrix}
</math>
Wir wechseln in die kovariante Darstellung des Viererimpulses und sortieren nach den Komponenten der Koordinaten.
<math>
dp_0 = -dp^0 \quad dp_i = dp^i \quad i = (1,2,3)
</math>
<math>
\begin{matrix}
&dp_0 & = q(0        - E_x dx^1 - E_y dx^2 - E_z dx^3) \
&dp_1 & = q(E_x dx^0 + 0        + H_z dx^2 - H_y dx^3) \
&dp_2 & = q(E_y dx^0 - H_z dx^1 + 0        + H_x dx^3) \
&dp_3 & = q(E_z dx^0 + H_y dx^1 - H_x dx^2 +0)
\end{matrix}
</math>
Nun erkennt man den Charakter der linearen Abbildung. Das Produkt der Feldkomponenten mit den Koordinatenkomponenten lässt sich elegant in der Matrixschreibweise darstellen.
<math>
\left(
\begin{matrix}
dp_0 \ dp_1 \ dp_2 \ dp_3
\end{matrix}
\right)
= q
\left(
\begin{matrix}
  0 &- E_x &- E_y &- E_z \
  E_x &  0 &+ H_z &- H_y \
  E_y &- H_z &  0 &+ H_x \
  E_z &+ H_y &- H_x &  0
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
dx^0 \ dx^1 \ dx^2 \ dx^3
\end{matrix}
\right)
</math>
Woraus der elektromagnetische Feldstärketensor folgt
<math>
F_{\mu\nu}
=
\left(
\begin{matrix}
  0 &- E_x &- E_y &- E_z \
  E_x &  0 &+ H_z &- H_y \
  E_y &- H_z &  0 &+ H_x \
  E_z &+ H_y &- H_x &  0
\end{matrix}
\right)
</math>
<math>
p_{\mu} = qF_{\mu\nu} x^{\nu}
</math>
Hier gilt zu beachten, dass aufgrund der Herleitung mit Hilfe der Lorentzkraft die Signatur <math>(-,+,+,+)</math> gilt. Für die Signatur <math> (+,-,-,-) </math> muss lediglich mit <math>-1</math> multipliziert werden.


== Darstellung in Differentialformschreibweise ==
== Darstellung in Differentialformschreibweise ==
''Im Folgenden wird das [[Gaußsches Einheitensystem|CGS-System]] verwendet, um die fundamentalen Zusammenhänge klarer herauszuarbeiten.''


Der Feldstärketensor <math>F</math> ist eine [[Differentialform]] zweiter Stufe auf der Raumzeit.
Der Feldstärketensor <math>F</math> ist eine [[Differentialform]] zweiter Stufe auf der Raumzeit.
Die [[Maxwellsche Gleichungen|maxwellschen Gleichungen]] lauten in Differentialformschreibweise
Die [[Maxwell-Gleichungen]] lauten in Differentialformschreibweise
<math>\ast \mathrm{d} F = j_\mathrm{mag}</math>
<math>\ast \mathrm{d} F = j_\mathrm{mag}</math>
und
und
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<math>A</math> entspricht dem raumzeitlichen Vektorpotential. Bei Anwesenheit magnetischer Ladungen nimmt man ein weiteres Vektorpotential hinzu, dessen Quelle die magnetische Stromdichte ist.
<math>A</math> entspricht dem raumzeitlichen Vektorpotential. Bei Anwesenheit magnetischer Ladungen nimmt man ein weiteres Vektorpotential hinzu, dessen Quelle die magnetische Stromdichte ist.


Beispiel: Der Feldstärketensor einer Punktladung <math>q</math> ist <math>F = q \mathrm{d}t \and \mathrm{d}r</math> mit dem Abstand <math>r</math> von der Ladung in deren Ruhesystem (Voraussetzungen sind gleichförmige Bewegung und Abwesenheit von Raumkrümmung).
Beispiel: Der Feldstärketensor einer ruhenden Punktladung <math>q</math> ist <math>F = -q \mathrm{d}t \land \mathrm{d}\frac{1}{r}</math> mit dem Abstand <math>r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>. Eine entsprechende Lorentztransformation liefert den Feldstärketensor einer gleichförmig bewegten Ladung.


Die 4-Form <math>\tfrac{1}{2} F \and * F</math> ist die [[Lagrange-Dichte]] des elektromagnetischen Feldes.
Die 4-Form <math>\tfrac{1}{2} F \land * F</math> ist die [[Lagrange-Dichte]] des elektromagnetischen Feldes.


== Ableitung der vektoriellen Feldgrößen ==
== Ableitung der vektoriellen Feldgrößen ==
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Beispiel: Wird in einem [[Elektrischer Generator|elektrischen Generator]] relativ zu einem „magnetischen“ Feld ein Draht bewegt, dann hat der Feldstärkentensor bei Zerlegung relativ zur Drahtbewegung und somit aus Sicht der im Draht enthaltenen Elektronen auch einen elektrischen Anteil, der für die Induktion der elektrischen Spannung verantwortlich ist.
Beispiel: Wird in einem [[Elektrischer Generator|elektrischen Generator]] relativ zu einem „magnetischen“ Feld ein Draht bewegt, dann hat der Feldstärkentensor bei Zerlegung relativ zur Drahtbewegung und somit aus Sicht der im Draht enthaltenen Elektronen auch einen elektrischen Anteil, der für die Induktion der elektrischen Spannung verantwortlich ist.


In flacher Raumzeit ([[Minkowski-Raum]]) lassen sich die Vektorfelder <math>\vec{E}</math> und <math>\vec{B}</math> aus der Koordinatendarstellung <math>F = \tfrac{1}{2} F_{\mu\nu} \mathrm{d}x^\mu\and\mathrm{d}x^\nu</math> des Feldstärketensors ablesen:
In flacher Raumzeit ([[Minkowski-Raum]]) lassen sich die Vektorfelder <math>\vec{E}</math> und <math>\vec{B}</math> aus der Koordinatendarstellung <math>F = \tfrac{1}{2} F_{\mu\nu} \mathrm{d}x^\mu\land\mathrm{d}x^\nu</math> des Feldstärketensors ablesen:
man erhält die obige Matrixdarstellung.
man erhält die obige Matrixdarstellung.
Eine allgemeingültigere Beziehung ergibt sich aus der Zerlegung
Eine allgemeingültigere Beziehung ergibt sich aus der Zerlegung
<math>F = u \and E + \ast(u \and B)</math>, wo <math>u</math> einem zeitartigen und <math>E</math>, <math>B</math> raumartigen Vektorfeldern entsprechen.<ref>Sylvan A. Jacques: ''[http://de.arxiv.org/abs/physics/0411237 Relativistic Field Theory of Fluids.]''</ref>
<math>F = u \land E + \ast(u \land B)</math>, wo <math>u</math> einem zeitartigen und <math>E</math>, <math>B</math> raumartigen Vektorfeldern entsprechen.<ref>Sylvan A. Jacques: ''Relativistic Field Theory of Fluids''. {{arXiv|physics/0411237}}</ref>


== Auftreten in der Quantenelektrodynamik ==
== Auftreten in der Quantenelektrodynamik ==
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== Literatur ==
== Literatur ==
 
* J. D. Jackson: ''Klassische Elektrodynamik''. de Gruyter, 2002, ISBN 3-11-016502-3.
* J. D. Jackson: ''Klassische Elektrodynamik''. de Gruyter, 2002, ISBN 3-1101-6502-3.
* C. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler: ''Gravitation''. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0.
* C. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler: ''Gravitation''. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0.
* [[Torsten Fließbach]]: ''Allgemeine Relativitätstheorie''. Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-8274-1356-7.
* [[Torsten Fließbach]]: ''Allgemeine Relativitätstheorie''. Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-8274-1356-7.


== Quellen ==
== Einzelnachweise ==
<references />
<references />


Aktuelle Version vom 22. Februar 2022, 22:12 Uhr

Der elektromagnetische Feldstärketensor (auch Faraday-Tensor oder einfach Feldstärketensor) ist eine physikalische Größe, die in der Elektrodynamik das elektromagnetische Feld als Feld in der Raumzeit beschreibt. Er wurde 1908 von Hermann Minkowski im Rahmen der Relativitätstheorie eingeführt. Die aus Physik und Technik bekannten vektoriellen Feldgrößen wie elektrische und magnetische Feldstärke lassen sich aus dem Feldstärketensor ableiten. Die Bezeichnung Tensor für die Art dieser Größe ist eine Abkürzung, tatsächlich ist es ein Tensorfeld, also ein von Punkt zu Punkt variierender Tensor.

Definition

Der elektromagnetische Feldstärketensor ist gewöhnlich definiert durch das Vektorpotential:

Fμν=∂μAν−∂νAμ

z. B. mit dem klassischen Vektorpotential

Aμ=(ϕc,A→)

Diese Definition ist auch für die Quantenelektrodynamik gültig. Dort ist einfach nur das Vektorpotential operatorwertig. Es ist ein Spezialfall der Feldstärketensor-Definition einer allgemeinen Eichtheorie.

Eigenschaften und Formeln

Der Feldstärketensor besitzt folgende Eigenschaften:

  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F^{\mu\nu} ist antisymmetrisch: Fμν=−Fνμ
  • Verschwindende Spur: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F^{\mu\mu} = 0
  • Aufgrund der Antisymmetrie sind nur 6 der 16 Komponenten unabhängig

Hier einige häufig auftretenden Kontraktionen:

In der Lagrangedichte tritt dieser Lorentz-invariante Term auf:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right)

Von Interesse ist auch die mit dem Levi-Civita-Symbol gebildete, pseudoskalare Invariante:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}F^{\alpha\beta} F^{\gamma\delta} = - \frac{8}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right)

Mit der Konvention  ϵ0123=−1.

In einigen Rechnungen kommt auch diese Größe vor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \det \left( F \right) = \frac{1}{c^2} \left( \vec B \cdot \vec E \right) ^{2}

Der Energie-Impuls-Tensor Tμν der allgemeinen Relativitätstheorie für das elektromagnetische Feld wird aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F^{\,\alpha\beta} gebildet:

Tαβ=FαγFγβ−14gαβFμνFνμ

Darstellung als Matrix

Die Matrixdarstellung des Feldstärketensors ist koordinatenabhängig. In einer flachen Raumzeit (also mit Minkowski-Metrik) und kartesischen Koordinaten kann der kontravariante Feldstärketensor geschrieben werden als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F^{\mu\nu} = \left(0−Ex/c−Ey/c−Ez/cEx/c0−BzByEy/cBz0−BxEz/c−ByBx0\right)

(Diese Matrix wird gelegentlich ebenfalls kurz als Tensor bezeichnet, ist aber nicht der Tensor selbst). Die kovariante Form der Matrixdarstellung des Tensors lautet bei Verwendung der Signatur (+,−,−,−) entsprechend

Fμν=(0Ex/cEy/cEz/c−Ex/c0−BzBy−Ey/cBz0−Bx−Ez/c−ByBx0) .

Inhomogene Maxwellgleichungen in kompakter Formulierung

Es ist gebräuchlich, auch den dualen elektromagnetischen Feldstärketensor zu definieren:

F~μν:=12εμναβFαβ⇒F~μν=[0−Bx−By−BzBx0Ez/c−Ey/cBy−Ez/c0Ex/cBzEy/c−Ex/c0]

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,F_{\alpha\beta} der kovariante Feldstärketensor ist.

Damit lassen sich sowohl die homogenen, als auch die inhomogenen Maxwellgleichungen kompakt aufschreiben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial_{\mu} F^{\mu\nu} = \mu_0 j^{\nu} \qquad \partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu} = 0

wobei der folgende Viererstrom verwendet wurde:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j^{\mu} = \left(c \rho, \vec\jmath \right)

Der elektromagnetische Feldstärketensor lässt sich auch mit Hilfe der Lorentzkraft begründen

Im Folgenden wird das Gaußsche CGS-System verwendet, um die fundamentalen Zusammenhänge klarer herauszuarbeiten. Zudem wird statt der magnetischen Flussdichte die magnetische Feldstärke verwendet, da diese die zur elektrischen Feldstärke äquivalente Größe ist.

F=q(E+1cv×H)

Der Lorentzkraft ist die Relativitätstheorie bereits inne was im Folgenden klarer wird.

Mit

F=ddt(mv)

folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{d}{dt}\left(mv\right) = q\left(E + \frac{1}{c}v \times H\right)

Mit dem Differential der Zeit und der Lichtgeschwindigkeit multipliziert cdt ergibt sich die Gestalt.

d(mcv)=q(Ecdt+vdt×H)

In Koordinatenschreibweise ergeben sich daraus drei Gleichungen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d(mcvx)=q(Excdt+Hzvydt−Hyvzdt)d(mcvy)=q(Eycdt+Hxvzdt−Hzvxdt)d(mcvz)=q(Ezcdt+Hyvxdt−Hxvydt)

Wechseln wir zur Koordinatenschreibweise der speziellen Relativitätstheorie mit den kontravarianten Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)

cdt=dx0vidt=dxii=(1,2,3)

d(mcvx)=q(Exdx0+Hzdx2−Hydx3)d(mcvy)=q(Eydx0+Hxdx3−Hzdx1)d(mcvz)=q(Ezdx0+Hydx1−Hxdx2)

Diese drei Gleichungen drücken den Impuls des Teilchens (multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit c) in Abhängigkeit vom elektromagnetischen Feld und der vier Raumzeit-Koordinaten (x0,x1,x2,x3) aus. Die Impulse auf der linken Seite sind die zu den drei Ortskoordinaten x1,x2,x3 kanonisch konjugierten Variablen. Da die Koordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x^0 die Zeit in der Relativitätstheorie repräsentiert und die zur Zeit konjugierte Variable die Energie ist, können wir das Gleichungssystem um eine weitere Gleichung ergänzen, dem Differential der Teilchenenergie. Dabei gilt zu beachten das nur das elektrische Feld Arbeit am Teilchen leistet.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): dW=qEdx \quad dx=(dx^1,dx^2,dx^3)

d(mc2)=q(Exdx1+Eydx2+Ezdx3)

d(mc2)=q(Exdx1+Eydx2+Ezdx3)d(mcvx)=q(Exdx0+Hzdx2−Hydx3)d(mcvy)=q(Eydx0+Hxdx3−Hzdx1)d(mcvz)=q(Ezdx0+Hydx1−Hxdx2)

Auf der linken Seite steht der Viererimpuls.

dp0=q(Exdx1+Eydx2+Ezdx3)dp1=q(Exdx0+Hzdx2−Hydx3)dp2=q(Eydx0+Hxdx3−Hzdx1)dp3=q(Ezdx0+Hydx1−Hxdx2)

Wir wechseln in die kovariante Darstellung des Viererimpulses und sortieren nach den Komponenten der Koordinaten.

dp0=−dp0dpi=dpii=(1,2,3)

dp0=q(0−Exdx1−Eydx2−Ezdx3)dp1=q(Exdx0+0+Hzdx2−Hydx3)dp2=q(Eydx0−Hzdx1+0+Hxdx3)dp3=q(Ezdx0+Hydx1−Hxdx2+0)

Nun erkennt man den Charakter der linearen Abbildung. Das Produkt der Feldkomponenten mit den Koordinatenkomponenten lässt sich elegant in der Matrixschreibweise darstellen.

(dp0dp1dp2dp3)=q(0−Ex−Ey−EzEx0+Hz−HyEy−Hz0+HxEz+Hy−Hx0)(dx0dx1dx2dx3)

Woraus der elektromagnetische Feldstärketensor folgt

Fμν=(0−Ex−Ey−EzEx0+Hz−HyEy−Hz0+HxEz+Hy−Hx0)


pμ=qFμνxν

Hier gilt zu beachten, dass aufgrund der Herleitung mit Hilfe der Lorentzkraft die Signatur (−,+,+,+) gilt. Für die Signatur (+,−,−,−) muss lediglich mit −1 multipliziert werden.

Darstellung in Differentialformschreibweise

Der Feldstärketensor F ist eine Differentialform zweiter Stufe auf der Raumzeit. Die Maxwell-Gleichungen lauten in Differentialformschreibweise ∗dF=jmag und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ast \mathrm{d} \ast \mathrm F = j mit der magnetischen Stromdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j_\mathrm{mag} und der elektrischen Stromdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j , beide als 1-Formen wiederum auf der Raumzeit.

Da in der Regel von der Abwesenheit magnetischer Ladungen ausgegangen wird, ist dF=0, und der Feldstärketensor kann somit als Ableitung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F = \mathrm{d} A einer 1-Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A dargestellt werden. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A entspricht dem raumzeitlichen Vektorpotential. Bei Anwesenheit magnetischer Ladungen nimmt man ein weiteres Vektorpotential hinzu, dessen Quelle die magnetische Stromdichte ist.

Beispiel: Der Feldstärketensor einer ruhenden Punktladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q ist F=−qdt∧d1r mit dem Abstand r=x2+y2+z2. Eine entsprechende Lorentztransformation liefert den Feldstärketensor einer gleichförmig bewegten Ladung.

Die 4-Form 12F∧∗F ist die Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes.

Ableitung der vektoriellen Feldgrößen

Relativ zur Bewegung eines Beobachters durch Raum und Zeit kann der Feldstärketensor in einen elektrischen und einen magnetischen Anteil zerlegt werden. Der Beobachter nimmt diese Anteile als elektrische beziehungsweise magnetische Feldstärke wahr. Unterschiedliche zueinander bewegte Beobachter können daher unterschiedliche elektrische oder magnetische Feldstärken wahrnehmen.

Beispiel: Wird in einem elektrischen Generator relativ zu einem „magnetischen“ Feld ein Draht bewegt, dann hat der Feldstärkentensor bei Zerlegung relativ zur Drahtbewegung und somit aus Sicht der im Draht enthaltenen Elektronen auch einen elektrischen Anteil, der für die Induktion der elektrischen Spannung verantwortlich ist.

In flacher Raumzeit (Minkowski-Raum) lassen sich die Vektorfelder E→ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{B} aus der Koordinatendarstellung F=12Fμνdxμ∧dxν des Feldstärketensors ablesen: man erhält die obige Matrixdarstellung. Eine allgemeingültigere Beziehung ergibt sich aus der Zerlegung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F = u \land E + \ast(u \land B) , wo Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u einem zeitartigen und E, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B raumartigen Vektorfeldern entsprechen.[1]

Auftreten in der Quantenelektrodynamik

Der Feldstärketensor tritt direkt in der QED-Lagrangedichte (hier ohne Eichfixierungsterme) auf:

LQED=ψ¯[iγμDμ−m]ψ−14FμνFμν

Literatur

  • J. D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter, 2002, ISBN 3-11-016502-3.
  • C. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0.
  • Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-8274-1356-7.

Einzelnachweise

  1. ↑ Sylvan A. Jacques: Relativistic Field Theory of Fluids. arxiv:physics/0411237
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