Gyromagnetisches Verhältnis: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 11. Januar 2022, 14:44 Uhr

Das gyromagnetische Verhältnis (auch: magnetogyrisches Verhältnis^[1]) $\gamma$ bezeichnet den Proportionalitätsfaktor zwischen dem Drehimpuls (oder Spin) ${\vec {X}}$ eines Teilchens und dem dazugehörigen magnetischen Moment ${\vec {\mu }}_{X}$

{\vec {\mu }}_{X}=\gamma _{X}{\vec {X}}

.

Daher folgt: $\gamma _{X}={\frac {|{\vec {\mu }}_{X}|}{|{\vec {X}}|}}$ . Die international verwendete Einheit des gyromagnetischen Verhältnisses ist rad·s⁻¹·T⁻¹ oder auch A·s·kg⁻¹.

Das gyromagnetische Verhältnis eines geladenen Teilchens ist das Produkt seines (dimensionslosen) gyromagnetischen Faktors $$ g $$ und seines Magnetons $\mu$ , bezogen auf das reduzierte plancksche Wirkungsquantum $\hbar$ :

\gamma =g\,{\frac {\mu }{\hbar }}

mit

$\mu ={\frac {q}{2\,m}}\,\hbar$ dem Magneton des Teilchens
$$ q $$ : elektrische Ladung
$$ m $$ : Teilchenmasse.

Das gyromagnetische Verhältnis kann bestimmt werden unter Ausnutzung des Barnett-Effektes und des Einstein-de-Haas-Effektes. In vielen anderen Experimenten, wie z. B. ferromagnetische Resonanz oder Elektronenspinresonanz, kann der Wert von $\gamma$ deutlich abweichen – in diesem Fall spricht man vom spektroskopischen Splitting-Faktor bzw. -Verhältnis.

γ_ℓ für reinen Bahndrehimpuls eines Elektrons

Wie im Artikel Magnetisches Moment ausgeführt, gilt für das magnetische Moment des Bahndrehimpulses eines Elektrons:

{\vec {\mu _{\ell }}}=-{\frac {e}{2m_{e}}}{\vec {\ell }}

.

Mit

$$ -e $$ der Ladung des Elektrons
$m_{e}$ seiner Masse.

Daher folgt:

\gamma _{\ell }={\frac {|{\vec {\mu _{\ell }}}|}{|{\vec {\ell }}|}}={\frac {e}{2m_{e}}}={\frac {g_{\ell }\mu _{\mathrm {B} }}{\hbar }}

.

Mit

$\mu _{\mathrm {B} }$ dem Bohrschen Magneton. Der g-Faktor für die Bahnbewegung ist also $g_{\ell }=1.$

γ_S für den Spin eines Teilchens

Betrachtet man ein Teilchen mit Spin ${\vec {S}}$ , so gilt:

{\vec {\mu }}_{S}=\gamma _{S}{\vec {S}}

, beziehungsweise

\gamma _{S}={\frac {|{\vec {\mu _{S}}}|}{|{\vec {S}}|}}

Der Wert dieser Naturkonstante ist für jede Teilchenart charakteristisch. Nach derzeitiger Messgenauigkeit beträgt sie

für das freie Proton:

\gamma _{\text{Proton}}=2{,}675\,221\,8744(11)\cdot 10^{8}\ \mathrm {rad} \cdot \mathrm {s} ^{-1}\,\mathrm {T} ^{-1}\,

^[2]

für das Elektron:

\gamma _{\text{Elektron}}=1{,}760\,859\,630\,23(53)\cdot 10^{11}\ \mathrm {rad} \cdot \mathrm {s} ^{-1}\,\mathrm {T} ^{-1}\,

^[3]

dabei geben die eingeklammerten Ziffern jeweils die geschätzte Standardabweichung für den Mittelwert an, der den beiden letzten Ziffern vor der Klammer entspricht.

Der g-Faktor für Spinmagnetismus ist beim freien Elektron mit 2,002 319 ... ungefähr gleich 2. Beim freien Proton dagegen gilt Analoges keineswegs: Das magnetische Moment des Protons liegt zwar der Größenordnung nach bei dem sog. „Kernmagneton“ (das wäre der Wert $|e|\hbar /(2m_{\mathrm {Proton} })\,$ ), jedoch beträgt es ein krummzahliges Vielfaches dieses Wertes, genauer: das 2,79-fache. Auch das Neutron weist ein magnetisches Moment auf, obwohl es als ganzes elektrisch neutral ist. Sein magnetisches Moment ist das −1.91-fache des Kernmagnetons und zeigt also entgegengesetzt zu demjenigen des Protons. Es lässt sich erklären durch die Substruktur des Neutrons.

Die elektronischen g-Faktoren der ferromagnetischen Metalle Eisen, Kobalt und Nickel liegen nahe bei 2 (mit Abweichungen von nur etwa 10 %), d. h., dass der Magnetismus dieser Systeme überwiegend Spinmagnetismus ist mit nur einem geringen Bahnanteil.

Gyromagnetische Verhältnisse von Atomkernen

Auch für Kerne kann dieses Verhältnis gemessen und angegeben werden. In der folgenden Tabelle sind einige Werte angegeben.^[4]^[5]

Kern	$\gamma _{n}$ in 10⁷ rad·s⁻¹·T⁻¹	$\gamma _{n}/2\pi$ in MHz·T⁻¹
¹H	+26,752^[6]	+42,577^[7]
²H	0+4,1065	0+6,536
³He	−20,3789	−32,434
⁷Li	+10,3962	+16,546
¹³C	0+6,7262	+10,705
¹⁴N	0+1,9331	0+3,077
¹⁵N	0−2,7116	0−4,316
¹⁷O	0−3,6264	0−5,772
¹⁹F	+25,1662	+40,053
²³Na	0+7,0761	+11,262
³¹P	+10,8291	+17,235
¹²⁹Xe	0−7,3997	−11,777

Siehe auch

Larmorfrequenz

Literatur

Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
Hermann Haken, Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik. 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004, S. 194 ff, ISBN 3-540-02621-5.

Einzelnachweise

↑ Manfred Hesse, Herbert Meier, Bernd Zeeh: Spektroskopische Methoden in der organischen Chemie. 7. Auflage, Georg Thieme Verlag, Stuttgart, 2005, ISBN 3-13-576107-X
↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juli 2019. Wert für $\gamma _{p}$ . Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juli 2019. Wert für $\gamma _{e}$ . Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
↑ M A Bernstein, K F King and X J Zhou: Handbook of MRI Pulse Sequences. Elsevier Academic Press, San Diego 2004, ISBN 0-12-092861-2, S. 960.
↑ R C Weast, M J Astle (Hrsg.): Handbook of Chemistry and Physics. CRC Press, Boca Raton 1982, ISBN 0-8493-0463-6, S. E66.
↑ proton gyromagnetic ratio. NIST. 2019.
↑ proton gyromagnetic ratio over 2 pi. NIST. 2019.

[1] Manfred Hesse, Herbert Meier, Bernd Zeeh: Spektroskopische Methoden in der organischen Chemie. 7. Auflage, Georg Thieme Verlag, Stuttgart, 2005, ISBN 3-13-576107-X

[CODATA-p-2] CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juli 2019. Wert für $\gamma _{p}$ . Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.

[CODATA-e-3] CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juli 2019. Wert für $\gamma _{e}$ . Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.

[4] M A Bernstein, K F King and X J Zhou: Handbook of MRI Pulse Sequences. Elsevier Academic Press, San Diego 2004, ISBN 0-12-092861-2, S. 960.

[5] R C Weast, M J Astle (Hrsg.): Handbook of Chemistry and Physics. CRC Press, Boca Raton 1982, ISBN 0-8493-0463-6, S. E66.

[6] roton gyromagnetic ratio. NIST. 2019.

[7] roton gyromagnetic ratio over 2 pi. NIST. 2019.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

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 Das '''gyromagnetische Verhältnis''' (auch: '''magnetogyrisches Verhältnis'''<ref>Manfred Hesse, Herbert Meier, Bernd Zeeh: ''Spektroskopische Methoden in der organischen Chemie''. 7. Auflage, Georg Thieme Verlag, Stuttgart, 2005, ISBN 3-13-576107-X</ref>) <math>\gamma</math> bezeichnet den [[Proportionalitätsfaktor]] zwischen dem Drehimpuls (oder Spin) <math>\vec X</math> eines Teilchens und dem dazugehörigen [[Magnetisches Moment|magnetischen Moment]] <math>\vec \mu _X</math>
 :<math>\vec \mu _X = \gamma _X \vec X </math>.
 Daher folgt: <math>\gamma _X = \frac{|\vec \mu _X|}{|\vec X|}</math>.
-Die [[Internationales Einheitensystem|international verwendete Einheit]] des gyromagnetischen Verhältnisses ist [[Ampere|A]]·[[Sekunden|s]]·[[Kilogramm|kg]]<sup>−1</sup> oder auch [[Sekunden|s]]<sup>−1</sup>·[[Tesla (Einheit)|T]]<sup>−1</sup>.
+Die [[Internationales Einheitensystem|international verwendete Einheit]] des gyromagnetischen Verhältnisses ist {{nowrap|[[Radiant (Einheit)|rad]]·[[Sekunden|s]]<sup>−1</sup>·[[Tesla (Einheit)|T]]<sup>−1</sup>}} oder auch [[Ampere|A]]·[[Sekunden|s]]·[[Kilogramm|kg]]<sup>−1</sup>.
 Das gyromagnetische Verhältnis eines [[elektrische Ladung|geladenen]] Teilchens ist das Produkt seines ([[Dimensionslose Größe|dimensionslosen]]) [[Landé-Faktor|gyromagnetischen Faktors]] <math>g</math> und seines [[Bohrsches Magneton #Magneton allgemein|Magnetons]] <math>\mu</math>, bezogen auf das [[Reduziertes plancksches Wirkungsquantum|reduzierte plancksche Wirkungsquantum]] <math>\hbar</math>:
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 :<math> \gamma = g \, \frac{\mu}{\hbar} </math>
 mit
-*<math> \mu = \frac{q}{2\,m} \, \hbar </math> dem [[Bohrsches Magneton#Magneton eines Teilchens|Magneton des Teilchens]]
+* <math> \mu = \frac{q}{2\,m} \, \hbar </math> dem [[Bohrsches Magneton#Magneton eines Teilchens|Magneton des Teilchens]]
-*<math> q </math>: elektrische Ladung
+* <math> q </math>: elektrische Ladung
-*<math> m </math>: Teilchenmasse.
+* <math> m </math>: Teilchenmasse.
-Das gyromagnetische Verhältnis kann bestimmt werden unter Ausnutzung des [[Barnett-Effekt]]es und des [[Einstein-de-Haas-Effekt]]es. In vielen anderen Experimenten, wie z.&nbsp;B. [[Ferromagnetische_Resonanz|ferromagnetische Resonanz]] oder [[Elektronenspinresonanz]], kann der Wert von <math>\gamma</math> deutlich abweichen – in diesem Fall spricht man vom ''spektroskopischen Splitting-Faktor'' bzw. ''-Verhältnis''.
+Das gyromagnetische Verhältnis kann bestimmt werden unter Ausnutzung des [[Barnett-Effekt]]es und des [[Einstein-de-Haas-Effekt]]es. In vielen anderen Experimenten, wie z.&nbsp;B. [[ferromagnetische Resonanz]] oder [[Elektronenspinresonanz]], kann der Wert von <math>\gamma</math> deutlich abweichen – in diesem Fall spricht man vom ''spektroskopischen Splitting-Faktor'' bzw. ''-Verhältnis''.
 == ''γ<sub>ℓ</sub>'' für reinen Bahndrehimpuls eines Elektrons ==
-Wie im Artikel [[Magnetisches_Moment#Geladenes_Teilchen_auf_einer_Kreisbahn|Magnetisches Moment]] ausgeführt, gilt für das Magnetische Moment des Bahndrehimpulses eines Elektrons:
+Wie im Artikel [[Magnetisches Moment#Geladenes Teilchen auf einer Kreisbahn|Magnetisches Moment]] ausgeführt, gilt für das magnetische Moment des Bahndrehimpulses eines Elektrons:
 :<math>\vec{\mu _\ell}= -\frac{e}{2m_e} \vec \ell</math>.
-Mit
-*<math>-e</math> der Ladung des Elektrons
-*<math>m_e</math> seiner Masse.
-Daher folgt:
-:<math>\gamma _\ell =\frac{|\vec{\mu _\ell}|}{|\vec{\ell}|}=\frac{e}{2m_e}=\frac{g_\ell \mu _B}{\hbar}</math>
 Mit
-*<math>\mu _B</math> dem [[Bohrsches Magneton|Bohrschen Magneton]]. Der g-Faktor für die Bahnbewegung ist also <math>g_\ell =1.</math>
+* <math>-e</math> der Ladung des Elektrons
+* <math>m_e</math> seiner Masse.
+Daher folgt:
+:<math>\gamma _\ell =\frac{|\vec{\mu _\ell}|}{|\vec{\ell}|}=\frac{e}{2m_e}=\frac{g_\ell \mu _\mathrm B}{\hbar}</math>.
+Mit
+* <math>\mu _\mathrm B</math> dem [[Bohrsches Magneton|Bohrschen Magneton]]. Der g-Faktor für die Bahnbewegung ist also <math>g_\ell =1.</math>
 == ''γ<sub>S</sub>'' für den Spin eines Teilchens ==
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 Der Wert dieser [[Naturkonstante]] ist für jede Teilchenart charakteristisch. Nach derzeitiger [[Messgenauigkeit]] beträgt sie
 * für das freie [[Proton]]:
-:<math>\gamma_{\text{Proton}}   = 2{,}675\,221\,900(18)\cdot 10^8\     \text{rad}\;\mathrm s^{-1}\ \text{T}^{-1}\,</math> <ref name = CODATA-p/>
+:<math>\gamma_{\text{Proton}}   = 2{,}675\,221\,8744(11)\cdot 10^8\
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 * für das [[Elektron]]:
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+:<math>\gamma_{\text{Elektron}} = 1{,}760\,859\,630\,23(53)\cdot 10^{11}\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{T}^{-1}\,</math> <ref name = CODATA-e/>
-dabei geben die eingeklammerten Ziffern jeweils die [[CODATA#Standardunsicherheiten_von_CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] für den [[Mittelwert]] an, der den beiden letzten Ziffern vor der Klammer entspricht.
+dabei geben die eingeklammerten Ziffern jeweils die [[CODATA#Standardunsicherheiten von CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] für den [[Mittelwert]] an, der den beiden letzten Ziffern vor der Klammer entspricht.
-Der g-Faktor für Spinmagnetismus ist  beim freien Elektron fast exakt &nbsp;- bis auf sieben Stellen hinter dem Komma&nbsp;- gleich 2. Beim freien Proton dagegen gilt Analoges keineswegs: das magnetische Moment des Protons liegt zwar der Größenordnung nach bei dem sog. „[[Kernmagneton]]“  (das wäre der Wert <math>|e|\hbar/(2m_{\mathrm{ Proton}})\,</math>), jedoch beträgt es ein krummzahliges Vielfaches dieses Wertes, genauer: das 2,79-fache. Auch das [[Neutron]] weist ein magnetisches Moment auf, obwohl es als ganzes elektrisch neutral ist. Sein magnetisches Moment ist das −1.91-fache des Kernmagnetons und zeigt also entgegengesetzt zu demjenigen des Protons. Es lässt sich erklären durch die [[Quark (Physik)|Substruktur]] des Neutrons.
+Der g-Faktor für Spinmagnetismus ist beim freien Elektron mit 2,002&nbsp;319&nbsp;... ungefähr gleich 2. Beim freien Proton dagegen gilt Analoges keineswegs: Das magnetische Moment des Protons liegt zwar der Größenordnung nach bei dem sog. „[[Kernmagneton]]“  (das wäre der Wert <math>|e|\hbar/(2m_{\mathrm{ Proton}})\,</math>), jedoch beträgt es ein krummzahliges Vielfaches dieses Wertes, genauer: das 2,79-fache. Auch das [[Neutron]] weist ein magnetisches Moment auf, obwohl es als ganzes elektrisch neutral ist. Sein magnetisches Moment ist das −1.91-fache des Kernmagnetons und zeigt also entgegengesetzt zu demjenigen des Protons. Es lässt sich erklären durch die [[Quark (Physik)|Substruktur]] des Neutrons.
-Die ferromagnetischen Metalle Eisen, Kobalt und Nickel haben elektronische g-Faktoren ziemlich in der Nähe von 2 (z.&nbsp;B. nur etwa 10&nbsp;% mehr oder weniger), d.&nbsp;h. dass der Magnetismus dieser Systeme überwiegend Spinmagnetismus ist, aber mit einem geringen Bahnanteil.
+Die elektronischen g-Faktoren der [[Ferromagnetismus|ferromagnetischen]] Metalle [[Eisen]], [[Kobalt]] und [[Nickel]] liegen nahe bei 2 (mit Abweichungen von nur etwa 10 %), d.&nbsp;h., dass der Magnetismus dieser Systeme überwiegend Spinmagnetismus ist mit nur einem geringen Bahnanteil.
 == Gyromagnetische Verhältnisse von Atomkernen ==
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 | year = 2004
 | title = Handbook of MRI Pulse Sequences
-| place = San Diego
+| location = San Diego
 | publisher = Elsevier Academic Press
 | page = 960
@@ Zeile 56: / Zeile 57: @@
 | year = 1982
 | title = Handbook of Chemistry and Physics
-| place = Boca Raton
+| location = Boca Raton
 | publisher = CRC Press
 | page = E66
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 |-
 | [[Proton|<sup>1</sup>H]]
-| +26,7513
+| +26,752<ref>{{cite web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gammap|title=proton gyromagnetic ratio|publisher=[[NIST]]|date=2019}}</ref>
-| +42,576
+| +42,577<ref>{{cite web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gammapbar|title=proton gyromagnetic ratio over 2 pi|publisher=[[NIST]]|date=2019}}</ref>
 |-
 | <sup>2</sup>H
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 == Siehe auch ==
-* [[Larmorfrequenz]].
+* [[Larmorfrequenz]]
 == Literatur ==
 * [[Horst Stöcker]]: ''Taschenbuch der Physik.'' 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
-* [[Hermann Haken (Physiker)|Hermann Haken]], [[Hans Christoph Wolf]]: ''Atom- und Quantenphysik''. 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004, S.194 ff, ISBN 3-540-02621-5.
+* [[Hermann Haken (Physiker)|Hermann Haken]], [[Hans Christoph Wolf]]: ''Atom- und Quantenphysik''. 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004, S. 194 ff, ISBN 3-540-02621-5.
 == Einzelnachweise ==
 <references>
+<ref name="CODATA-p">{{internetquelle | url = https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gammap | hrsg = National Institute of Standards and Technology | titel = CODATA Recommended Values | zugriff = 2019-07-16}} Wert für <math>\gamma_p</math>. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als [[CODATA#Standardunsicherheiten von CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.</ref>
-<ref name = CODATA-p>{{internetquelle | url = http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gammap | hrsg = National Institute of Standards and Technology | titel = CODATA Recommended Values | zugriff = 27. Juli 2015}} Wert für <math>\gamma_p</math>. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als [[CODATA#Standardunsicherheiten_von_CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.</ref>
+<ref name="CODATA-e">{{internetquelle | url = https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gammae | hrsg = National Institute of Standards and Technology | titel = CODATA Recommended Values | zugriff = 2019-07-16}} Wert für <math>\gamma_e</math>. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als [[CODATA#Standardunsicherheiten von CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.</ref>
-<ref name = CODATA-e>{{internetquelle | url = http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gammae | hrsg = National Institute of Standards and Technology | titel = CODATA Recommended Values | zugriff = 27. Juli 2015}} Wert für <math>\gamma_e</math>. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als [[CODATA#Standardunsicherheiten_von_CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.</ref>
 </references>