Bloch-Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 15. Mai 2021, 07:54 Uhr

Die Bloch-Gleichungen (nach Felix Bloch, der sie 1946 erstmals veröffentlichte^[1]) sind ein System von Bewegungsgleichungen für Zweiniveausysteme. Sie ermöglichen eine physikalische Deutung des paramagnetischen Resonanzeffekts in der magnetischen Kernresonanz und in der paramagnetischen Elektronenresonanz.

Formulierung

Die Bloch-Gleichungen gelten für Flüssigkeiten, jedoch nur eingeschränkt für Festkörper. Sie stellen Bewegungsgleichungen für die gesamte Kern- und Elektronenmagnetisierung ${\vec {M}}$ der Probe unter dem Einfluss äußerer Magnetfelder $$ H $$ dar und lauten in Vektorschreibweise:

{d{\vec {M}} \over dt}=\gamma {\vec {M}}\times {\vec {H}}_{a}-{\vec {e}}_{x}{M_{x} \over T_{2}}-{\vec {e}}_{y}{M_{y} \over T_{2}}-{\vec {e}}_{z}{M_{z}-M_{0} \over T_{1}}

Darin beschreiben:

$ \gamma {\vec {M}}\times {\vec {H}}_{a} $ die Bewegung der Magnetisierung im Magnetfeld
- $\gamma$ das gyromagnetische Verhältnis der Atomkerne bzw. der Elektronen
die drei letzten Summanden auf der rechten Seite die paramagnetische Relaxation, die durch die Wechselwirkung der Teilchen miteinander und mit ihrer molekularen Umgebung auf einen Gleichgewichtswert zustrebt.
- ${\vec {e}}_{x}$ , ${\vec {e}}_{y}$ und ${\vec {e}}_{z}$ die Einheitsvektoren in $$ x $$ -, $$ y $$ - und $$ z $$ -Richtung
- $T_{2}$ die transversale Relaxationszeit (Spin-Spin-Relaxation)
- $T_{1}$ die Spin-Gitter-Relaxationszeit
- das äußere Magnetfeld besteht aus zwei Anteilen:
  - einem starken konstanten Magnetfeld in $$ z $$ -Richtung
  - einem senkrecht dazu in $$ x $$ -Richtung angelegten hochfrequenten Magnetfeld.

Anwendung auf Nicht-Spin-1/2-Systeme

Später wurde gezeigt, dass diese ursprünglich für Spin-1/2-Systeme ausgelegten Bewegungsgleichungen auch jedes andere Zweiniveausystem beschreiben. Dazu werden Teile des allgemeinen „Pseudo-Spin-1/2-Systems“ mit Spinkomponenten assoziiert und die Wechselwirkung mit äußeren Feldern wie magnetische Wechselwirkungen behandelt.

In der semiklassischen Strahlungstheorie entsprechen die Spinkomponenten dem Grund- bzw. angeregten Zustand eines Zweiniveauatoms, und die Achsen der Bloch-Kugel geben Auskunft über die quantenmechanische Kohärenz ( $$ x $$ -, $$ y $$ -Achse) bzw. die Populationsdifferenz ( $$ z $$ -Achse) des Systems. Die hierfür angepassten Gleichungen werden als optische Blochgleichungen bezeichnet.

Literatur

Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4

Einzelnachweise

↑ F. Bloch: Nuclear Induction. In: Phys. Rev. 70, 1946, S. 460–474. doi:10.1103/PhysRev.70.460

[1] F. Bloch: Nuclear Induction. In: Phys. Rev. 70, 1946, S. 460–474. doi:10.1103/PhysRev.70.460

[1]

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 {{Dieser Artikel|erläutert das Verhalten von Kern- und Elektronenmagnetisierung ; Für die Wechselwirkungen eines Zwei-Niveau-Systems mit einem oszillierenden Feld (''optische'' Bloch-Gleichungen) siehe [[Maxwell-Bloch-Gleichungen]].}}
-Die '''Bloch-Gleichungen''' sind ein System von [[Bewegungsgleichung]]en für [[Zweiniveausystem]]e. Sie ermöglichen eine physikalische Deutung des [[Paramagnetismus|paramagnetischen Resonanzeffekts]] in der [[Kernspinresonanz|magnetischen Kernresonanz]] und in der paramagnetischen Elektronenresonanz. Die Bloch-Gleichungen  wurden erstmals 1946 von [[Felix Bloch (Physiker)|Felix Bloch]] veröffentlicht.<ref>F. Bloch:  [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.70.460 ''Nuclear Induction.''] In: ''Phys. Rev.'' 70, 1946, S. 460-474. {{DOI|10.1103/PhysRev.70.460}}</ref>
+Die '''Bloch-Gleichungen''' (nach [[Felix Bloch (Physiker)|Felix Bloch]], der sie 1946 erstmals veröffentlichte<ref>F. Bloch:  [https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.70.460 ''Nuclear Induction.''] In: ''Phys. Rev.'' 70, 1946, S. 460–474. {{DOI|10.1103/PhysRev.70.460}}</ref>) sind ein System von [[Bewegungsgleichung]]en für [[Zweiniveausystem]]e. Sie ermöglichen eine physikalische Deutung des [[Paramagnetismus|paramagnetischen Resonanzeffekts]] in der [[Kernspinresonanz|magnetischen Kernresonanz]] und in der paramagnetischen [[Elektronenspinresonanz|Elektronenresonanz]].
-Die Bloch-Gleichungen gelten für [[Flüssigkeit]]en, jedoch nur eingeschränkt für [[Festkörper]]. Sie stellen [[Bewegungsgleichung]]en für die gesamte Kern- und Elektronenmagnetisierung <math>\vec M</math> der Probe unter dem Einfluss äußerer [[Magnetisches Feld|Magnetfelder]] dar und lauten in Vektorschreibweise:
+== Formulierung ==
+Die Bloch-Gleichungen gelten für [[Flüssigkeit]]en, jedoch nur eingeschränkt für [[Festkörper]]. Sie stellen Bewegungsgleichungen für die gesamte Kern- und Elektronen[[magnetisierung]] <math>\vec M</math> der Probe unter dem Einfluss äußerer [[Magnetisches Feld|Magnetfelder]] <math>H</math> dar und lauten in [[Vektor]]<nowiki/>schreibweise:
-<math> {d \vec M \over dt} = \gamma \vec M \times \vec H_a - \vec e_x {M_x \over T_2} - \vec e_y {M_y \over T_2} - \vec e_z {M_z-M_0 \over T_1} </math>
+:<math>{d \vec M \over dt} = \gamma \vec M \times \vec H_a - \vec e_x {M_x \over T_2} - \vec e_y {M_y \over T_2} - \vec e_z {M_z-M_0 \over T_1}</math>
-Der erste Term der rechten Seite beschreibt die Bewegung der Magnetisierung im Magnetfeld H. <math>\gamma</math> ist das [[Gyromagnetisches Verhältnis|gyromagnetische Verhältnis]] der [[Atomkern]]e bzw. der [[Elektron]]en. Die drei letzten Summanden auf der rechten Seite der Gleichung beschreiben die paramagnetische Relaxation, die durch die Wechselwirkung der Teilchen miteinander und mit ihrer molekularen Umgebung auf einen Gleichgewichtswert zustrebt. Die <math>\vec e</math>-Vektoren sind dabei die [[Einheitsvektor]]en in x-, y- und z-Richtung. <math>T_1</math> ist die [[Spin-Gitter-Relaxation|Spin-Gitter-Relaxationszeit]] und <math>T_2</math> die [[transversale Relaxationszeit]] (Spin-Spin-Relaxation). Das äußere Magnetfeld besteht aus zwei Anteilen, einem starken konstanten Magnetfeld in z-Richtung und einem senkrecht dazu in x-Richtung angelegten hochfrequenten Magnetfeld.
+Darin beschreiben:
+* <math>\gamma \vec M \times \vec H_a</math> die Bewegung der Magnetisierung im Magnetfeld
+** <math>\gamma</math> das [[Gyromagnetisches Verhältnis|gyromagnetische Verhältnis]] der [[Atomkern]]e bzw. der [[Elektron]]en
+* die drei letzten Summanden auf der rechten Seite die [[Relaxation (NMR)|paramagnetische Relaxation]], die durch die Wechselwirkung der Teilchen miteinander und mit ihrer molekularen Umgebung auf einen Gleichgewichtswert zustrebt.
+** <math>\vec e_x</math>, <math>\vec e_y</math> und <math>\vec e_z</math> die [[Einheitsvektor]]en in <math>x</math>-, <math>y</math>- und <math>z</math>-Richtung
+** <math>T_2</math> die [[transversale Relaxationszeit]] (Spin-Spin-Relaxation)
+** <math>T_1</math> die [[Spin-Gitter-Relaxation]]szeit
+** das äußere Magnetfeld besteht aus zwei Anteilen:
+*** einem starken konstanten Magnetfeld in <math>z</math>-Richtung
+*** einem senkrecht dazu in <math>x</math>-Richtung angelegten hochfrequenten Magnetfeld.
-Später wurde gezeigt, dass diese ursprünglich für Spin-1/2-Systeme ausgelegten Bewegungsgleichungen auch jedes andere [[Zweiniveausystem]] beschreiben. Teile des allgemeinen „Pseudo-Spin-1/2-Systems“ werden mit Spinkomponenten assoziiert und die Wechselwirkung mit äußeren Feldern wie magnetische Wechselwirkungen behandelt. In der [[Semiklassische Quantentheorie|semiklassischen]] Strahlungstheorie entsprechen die Spinkomponenten dem Grund- bzw. angeregten Zustand eines Zweiniveauatoms, und die Achsen der [[Bloch-Kugel]] geben Auskunft über die quantenmechanische [[Kohärenz (Physik)|Kohärenz]] (x-, y-Achse) bzw. die Populationsdifferenz (z-Achse) des Systems. Die hierfür angepassten Gleichungen werden als optische Blochgleichungen bezeichnet.
+== Anwendung auf Nicht-Spin-1/2-Systeme ==
+Später wurde gezeigt, dass diese ursprünglich für [[Spin]]-1/2-Systeme ausgelegten Bewegungsgleichungen auch jedes andere Zweiniveausystem beschreiben. Dazu werden Teile des allgemeinen „Pseudo-Spin-1/2-Systems“ mit Spinkomponenten assoziiert und die Wechselwirkung mit äußeren Feldern wie magnetische Wechselwirkungen behandelt.
+In der [[semiklassisch]]en Strahlungstheorie entsprechen die Spinkomponenten dem [[Grundzustand|Grund]]- bzw. [[angeregter Zustand|angeregten Zustand]] eines Zweiniveauatoms, und die Achsen der [[Bloch-Kugel]] geben Auskunft über die [[quantenmechanisch]]e [[Kohärenz (Physik)|Kohärenz]] (<math>x</math>-, <math>y</math>-Achse) bzw. die Populationsdifferenz (<math>z</math>-Achse) des Systems. Die hierfür angepassten Gleichungen werden als [[Maxwell-Bloch-Gleichungen|optische Blochgleichungen]] bezeichnet.
 == Literatur ==