Maxwell-Bloch-Gleichungen

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Maxwell-Bloch-Gleichungen

Die Maxwell-Bloch-Gleichungen beschreiben die Wechselwirkung eines Ensembles quantenmechanischer Zweiniveausysteme mit einem oszillierenden elektrischen Feld. Sie werden zur Beschreibung von Absorption und Emission von Licht in Festkörpern und Gasen verwendet und spielen insbesondere beim theoretischen Verständnis der Verstärkung in Lasern eine zentrale Rolle. Voraussetzung ist dabei, dass die Energiedifferenz des Übergangs nahe bei der Photonenenergie des Lichts ist und, dass die anderen Übergänge des Systems deutlich andere Übergangsenergien besitzen.

Gleichungen

Die Maxwell-Bloch-Gleichungen lauten

$ \partial _{t}{\mathcal {P}}=\left[i(\omega -\Omega )-{\frac {1}{\tau _{p}}}\right]{\mathcal {P}}+{\frac {|d_{12}|^{2}}{i\hbar }}\Delta n{\mathcal {E}}\quad ~ $
$ \partial _{t}\Delta n={\frac {1}{\hbar }}{\text{Im}}\left({{\mathcal {E}}^{*}{\mathcal {P}}}\right)-{\frac {n_{0}+\Delta n}{\tau }} $
$ \left(\partial _{z}+{\frac {1}{c_{g}}}\partial _{t}\ \right){\vec {\mathcal {E}}}={\frac {i}{2}}\mu _{0}\omega c_{p}{\vec {\mathcal {P}}} $

mit:

  • $ {\vec {\mathcal {E}}} $: komplexe Amplitude des elektrischen Felds
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathcal{P}} : komplexe Amplitude der Polarisation
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta n=n_2-n_1 : Besetzungsinversion mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_2 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_1 Besetzungszahldichte der Niveaus 1 und 2
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_0=n_1+n_2 : Zahl der Zweiniveausysteme pro Volumen
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega : Frequenz des elektrischen Feldes
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega : Frequenz des Übergangs mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega=\frac{E_2-E_1}{\hbar}
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau_p : Phasenrelaxationszeit, Kohärenzzeit der Polarisation.
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau : Lebensdauer des zweiten Zustandes
  • $ d_{12}=e\left\langle \varphi _{1}\right|{\vec {r}}\cdot {\vec {e_{E}}}\left|\varphi _{2}\right\rangle $ Projektion des Dipolübergangsmatrixelement auf die Richtung des elektrischen Feldes
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_g=\partial_k \omega : Gruppengeschwindigkeit im Medium
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu_0 : Magnetische Feldkonstante
  • $ c_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {c_{0}}{n}} $: Phasengeschwindigkeit im Medium

Näherungen

Kohärentes Regime

Im kohärenten Regime nimmt man an, dass die typischen Zeitableitungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta n und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{P} sehr viel größer als die Zerfallsterme sind, also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| \partial_t \mathcal{P} \right| \gg \left| \frac{\mathcal{P}}{\tau_p} \right| \quad \text{und} \quad \left| \partial_t \Delta n \right| \gg \left| \frac{\Delta n}{\tau_p} \right|

gilt. Damit nehmen die Maxwell-Bloch-Gleichungen die Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial_t \mathcal{P} = \left[ i(\omega-\Omega) \right]\mathcal{P}+\frac{|d_{12}|^2}{i\hbar}\Delta n\mathcal{E}
$ \partial _{t}\Delta n={\frac {1}{\hbar }}{\text{Im}}\left({{\mathcal {E}}^{*}{\mathcal {P}}}\right) $
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\partial_z+\frac{1}{c_g}\partial_t\ \right)\vec{\mathcal{E}} = \frac{i}{2}\mu_0\omega c_p \vec{\mathcal{P}}

an. Man kann leicht zeigen, dass in diesem Fall

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|\mathcal{P} \right|^2 + \left|d_{12}\right|^2 \Delta n^2 = \text{const}= \left|d_{12}\right|^2 n_0^2

gilt. Deshalb liegt die Einführung des sog. Bloch-Vektors

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mu} = \frac{1}{|d_{12}|n_0} \begin{pmatrix} \text{Re}(\mathcal{P}) \\ -\text{Im}(\mathcal{P}) \\ \Delta n |d_{12}|\\ \end{pmatrix}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \mu|^2=1 nahe. Für diesen gilt die Bewegungsgleichung

$ {\dot {\vec {\mu }}}={\vec {\mu }}\times {\vec {R}}\quad {\text{mit}}\quad {\vec {R}}={\begin{pmatrix}{\text{Re}}(\Omega _{R})\\-{\text{Im}}(\Omega _{R})\\-\Delta \\\end{pmatrix}} $

mit der sog. Rabi-Frequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega_R(t) = \frac{|d_{12}| \mathcal{E}(t)}{\hbar} und der Verstimmung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta = \omega-\Omega . Datei:Rabioszillationpi.pdf Im Fall der sog. resonanten Kopplung, d. h. $ \omega =\Omega \Rightarrow \Delta =0 $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{E} reell findet man die Gleichungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial_t \mathcal{P} = i n_0 \Omega_R |d_{12}| \Delta n
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial_t \Delta n= -n_0 \Omega_R |d_{12}|\mathcal{P}.

Die Lösungen dieses Differentialgleichungssystems lauten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{P} = i n_0 |d_{12}| \sin(\Theta(t))
$ \Delta n=-n_{0}\cos(\Theta (t)) $

mit der sog. Pulsfläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Theta mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Theta(t) = \int\limits_{t_0}^{t}\underbrace{ \frac{|d_{12}| \mathcal{E}(t')}{\hbar}}_{\Omega_R}\mathrm{d}t'

Somit führen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta n und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{P} Schwingungen aus, die vom elektrischen Feld getrieben werden. Dies nennt man Rabi-Oszillationen. Mit der dritten Maxwell-Bloch-Gleichung findet man, unter der Annahme einer dünnen Probe der Länge L, d. h. $ \tau _{p}\gg {\frac {L}{c_{g}}} $, für das reemittierte elektrische Feld

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{E}_\text{out}(t) = \mathcal{E}(t)-\frac{n_0 |d_{12}|}{2 \varepsilon_0}k L\frac{c_p}{c} \sin (\Theta(t)).

Wenn man nun einen eingehenden Lichtpuls so präpariert, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Theta(t\rightarrow \infty)=2\pi m +\pi mit $ m\in \mathbb {Z} $ kann man das Medium vollständig invertieren. Man spricht dann von einem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pi -Puls (siehe Abbildung). Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Theta(t\rightarrow \infty)=2\pi m +\frac{\pi}{2} ist die Besetzungsinversion null und die Polarisation ist maximal. Mit dieser Methode kann man also ein Material in einen genau definierten Zustand bringen.

Herleitung

Zur Herleitung der Maxwell-Bloch-Gleichungen beschreibt man die Wechselwirkung zwischen elektrischem Feld und Atom in der sog. Dipolnäherung. Der Hamilton-Operator des Systems besteht aus zwei Anteilen. Dem Anteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H}_0 der das Atom ohne Wechselwirkung mit dem elektrischen Feld beschreibt und dem Anteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H}^{\text{ww}} der eine dipolartige Wechselwirkung zwischen Licht und Atom beschreibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H}=\hat{H}_0+\hat{H}^{\text{ww}}

mit

$ {\hat {H}}^{\text{ww}}={\vec {E}}(t)\cdot {\vec {\hat {d}}}=-e\;{\vec {E}}\cdot {\vec {\hat {r}}}. $

Die Wellenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\Psi\rangle kann in der Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \varphi_k\rangle des ungestörten Systems als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\Psi\rangle = c_1(t) e^{-i \omega_1 t} | \varphi_1\rangle + c_2(t) e^{-i \omega_2 t} | \varphi_2\rangle

dargestellt werden. Die Schrödingergleichung lautet nun

$ i\hbar \partial _{t}|\Psi \rangle =\left({\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}^{\text{ww}}\right)|\Psi \rangle . $

Durch Multiplikation mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle \varphi_m |e^{i \omega_m t} und Einsetzen der Basisdarstellung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\Psi\rangle folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i\hbar \dot{c}_1 =- d_{12} E(t) e^{-i\Omega t} c_2
$ i\hbar {\dot {c}}_{2}=-d_{12}^{\star }E(t)e^{i\Omega t}c_{1} $

Dabei wurde Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d_{11}=d_{22}=0 ausgenutzt. Die mikroskopische Polarisation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{P} des Systems ist nun durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{P}=n_0 \langle\Psi|-e\vec{r}|\Psi\rangle = \underbrace{-d_{12}e^{i\Omega t} c_1^\star c_2 n_0 \vec{e}_{\vec{E}}}_{=\vec{P}^+}+\underbrace{\text{c.c.}}_{=\vec{P}^-}

gegeben. Für die zeitlichen Ableitungen der Polarisationskomponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{P}^+ und $ {\vec {P}}^{-} $ folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \partial_t \vec{P}^+ &= -d_{12} e^{i\Omega t} n_0 \vec{e}_{\vec{E}} \left( i\Omega c_1^\star c_2 +\dot{c}_1^\star c_2+c_1^\star \dot{c}_2 \right) \\ &=i\Omega \vec{P}^+-\frac{i}{\hbar} |d_{12}|^2 E(t) \underbrace{n_0 \left( |c_1|^2-|c_2|^2\right)}_{=-\Delta n} . \end{align}

Dabei wurden die Gleichungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{c}_1^\star c_2 = -\frac{i}{\hbar} d_{12}^\star E(t) e^{i\Omega t} |c_2|^2
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_1^\star \dot{c}_2 = \frac{i}{\hbar} d_{12}^\star E(t) e^{i\Omega t} |c_1|^2

verwendet. Die Gleichung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{P}^- ergibt sich einfach aus der komplex konjugierten Gleichung.

$ \partial _{t}{\vec {P}}^{-}=(\partial _{t}{\vec {P}}^{+})^{\star } $

Für den feldfreien Fall (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E=0 ) schwingt die Polarisation nun harmonisch. In realen System klingt die Polarisation allerdings ab, weshalb man einen Zerfallsterm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{-\vec{P}}{\tau_p} addiert. Die Materialkonstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau_p nennt man dabei Phasenrelaxationszeit. Weiterhin verwendet man die sog. Rotating Wave Näherung. Dabei setzt man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{E} =\underbrace{ \mathcal{E}(t,z) e^{i(k z -\omega t)}}_{\vec{E}^+} + \underbrace{\mathcal{E}^\star(t,z) e^{-i(k z -\omega t)}}_{\vec{E}^-}

und vernachlässigt $ {\vec {E}}^{-} $ in der Gleichung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{P}^+ und entsprechend Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{E}^+ in der Gleichung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{P}^- , da die vernachlässigten Terme mit $ \omega +\Omega $ oszillieren und somit im Vergleich zu den Termen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega-\Omega klein sind. Für die Polarisation folgt somit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial_t \vec{P}^{\pm} = \left( \mp i\Omega -\frac{1}{\tau_p} \right ) \vec{P}^{\pm}+\frac{|d_{12}|^2}{i\hbar} \Delta n \cdot \vec{E}^\pm

was durch den Ansatz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{P}^{+} = \mathcal{P}(z,t )\cdot e^{i(k z -\omega t)} noch zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial_t \mathcal{P} = \left( i\Omega -\frac{1}{\tau_p} \right ) \mathcal{P}+\frac{|d_{12}|^2}{i\hbar} \Delta n \cdot \mathcal{E}

vereinfacht werden kann. Für die Zeitableitung der Besetzungsinversion folgt

$ {\begin{aligned}\partial _{t}\Delta n&=2\partial _{t}n_{2}=2n_{0}\left({\dot {c}}_{2}^{\star }c_{2}+c_{2}^{\star }{\dot {c}}_{2}\right)\\&={\frac {4}{\hbar }}{\text{Im}}({\vec {E}}^{-}{\vec {P}}^{+})={\frac {4}{\hbar }}{\text{Im}}({\mathcal {E}}^{\star }{\mathcal {P}})\end{aligned}} $

Auch hierbei würde im feldfreien Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (E=P=0) die Besetzungsinversion konstant bleiben, weshalb man einen Term mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\frac{n_2}{\tau}= - \frac{n_0+\Delta n}{\tau} addiert.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial_t \Delta n= \frac{4}{\hbar} \text{Im}( \mathcal{E}^\star \mathcal{P}) - \frac{n_0+\Delta n}{\tau}

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau die mittlere Lebensdauer des angeregten Zustandes. Zuletzt braucht man noch eine Gleichung für das elektrische Feld. Dabei geht man von der Wellengleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial_z^2 \vec{E}-\frac{1}{c_p^2}\partial_t^2 \varepsilon \vec{E} = -\mu_0 \partial_t^2 \vec{P}

aus. Durch Einsetzen der schon erhaltenen Zusammenhänge und Ansätze folgt

$ \partial _{z}^{2}{\vec {E}}^{+}=\left(\partial _{z}^{2}{\mathcal {E}}+2ik\partial _{z}{\mathcal {E}}-k^{2}{\mathcal {E}}\right)\cdot e^{i(kz-\omega t)} $
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{c^2} \partial_t^2 \varepsilon \vec{E}^+\approx -\left(k^2 \mathcal{E}+\frac{2 i k}{c_g} \partial_t \mathcal{E} \right)\cdot e^{i(kz-\omega t)}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial_t^2 \vec{P}^+ = \left( -\omega^2 \mathcal{P}-2i\omega \partial_t \mathcal{P}+\partial_t^2 \mathcal{P} \right)\cdot e^{i(kz-\omega t)}\approx -\omega^2 \mathcal{P }\cdot e^{i(kz-\omega t)}

und damit die letzte Maxwell-Bloch-Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\partial_z +\frac{1}{c_g} \partial_t \right)\mathcal{E}=\frac{i}{2} \mu_0 c_p\mathcal{P}

Literatur

  • Dieter Meschede: Optik, Licht und Laser. Vieweg+Teubner Verlag; 3., durchges. Aufl. 2008. ISBN 978-3-8351-0143-2
Abgerufen von „https://www.cosmos-indirekt.de/physik_137/index.php?title=Maxwell-Bloch-Gleichungen&oldid=18664“