Rotating Wave Approximation

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Der englische Begriff {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:149: attempt to index field 'data' (a nil value) (RWA, dt. Drehwellennäherung) bezeichnet eine Näherungsmethode der Quantenoptik. In dieser Näherung werden die Einflüsse schnell rotierender Terme im Hamilton-Operator eines Systems vernachlässigt. Schnell bedeutet in diesem Zusammenhang schnell im Vergleich zu den Lebensdauern atomarer Zustände. Die Drehwellennäherung wird in zahlreichen Modellen angewandt, wie z. B. im Jaynes-Cummings-Modell, in Bewegungsgleichungen der Dichtematrix beim optischen Pumpen, zum Lösen des Rabi-Problems oder bei magnetischen Resonanzphänomenen.

Sie ist gerechtfertigt, solange das System einer nur vergleichsweise schwachen Störung unterliegt. Außerdem muss die Frequenz des Lichtfeldes $\omega _{L}$ nahe der atomaren Resonanzfrequenz $\omega _{a}$ liegen bzw. die Verstimmung klein gegen die atomare Resonanzfrequenz sein:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta\omega:=\left|\omega_a-\omega_L\right|\ll\left|\omega_a+\omega_L\right|\approx2\omega_\mathrm{a}

Der Name der Näherung stammt vom Übergang in ein mit der Lichtfrequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_L rotierendes Bezugssystem, in dem der Blochvektor des mit dem Licht wechselwirkenden Atoms im Falle exakter Resonanz nicht mehr präzediert.^[1] Dann können die Einflüsse der schnell rotierenden Terme vernachlässigt werden.^[2]

Herleitung

Dieser Abschnitt behandelt die Wechselwirkungen zwischen einem Atom, das als Zwei-Niveau-System angesehen wird, und einem elektromagnetischen Feld. Sowohl das Atom als auch das Photon werden in zweiter Quantisierung beschrieben.

Hamiltonian ohne Wechselwirkung

Der Hamilton-Operator des Gesamtsystems beinhaltet einen Anteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H_0 , der das Atom und die Photonen jeweils einzeln und ohne Wechselwirkung beschreibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H_0=\hbar\omega_a\sigma^+\sigma^-+\hbar\omega_La^{\dagger}a

Hierbei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hbar\omega_a die Energiedifferenz zwischen dem Grundzustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |g\rang und dem angeregten Zustand $|e\rangle$ des Atoms. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hbar\omega_L ist die Energie des Photons. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma^+=|e\rang\lang g| und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma^-=|g\rang\lang e| sind die Auf- und Absteigeoperatoren des Atoms und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\dagger} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a die bosonischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Photonen.

Beschreibung der Wechselwirkung

Zusätzlich zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H_0 gibt ein Hamiltonian $H_{\mathrm {int} }$ Aufschluss über die Wechselwirkungen zwischen Photon und Atom. Dieser setzt sich aus dem Dipol-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{d} und dem elektrischen Feldvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{E} mit der Polarisation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\epsilon} zusammen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{E}=\vec{\epsilon}\underbrace{\sqrt{\frac{\hbar\omega_L}{\epsilon_0V}}}_{E_0}\left(a^{\dagger}+a\right)

Damit lässt sich der Wechselwirkungs-Hamiltonian schreiben als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} H_\mathrm{int}&=-\vec{d}\cdot\vec{E}\\ &=-dE_0\left(\sigma^{+}+\sigma^{-}\right)\cdot\left(a^{\dagger}+a \right)\\ &=-dE_0\left(\sigma^+a^{\dagger}+\sigma^+a+\sigma^-a^{\dagger}+\sigma^-a\right) \end{align}

Aufgrund von Paritätsüberlegungen wurde hier angenommen, dass $\langle e|{\vec {d}}|e\rangle =0=\langle g|{\vec {d}}|g\rangle$ . Das Übergangs-Dipolmoment Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{d}_{eg}=\langle e|\vec{d}|g\rangle ist reellwertig angenommen, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d = \vec{d}_{eg} \cdot \vec{\epsilon} ist seine Projektion auf den Polarisationsvektor.^[3]

Die Zeitentwicklung eines quantenmechanischen Operators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A wird im Wechselwirkungsbild durch den Zeitentwicklungsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U_0(t) = \exp[- {\rm i} H_0 t / \hbar] des “freien” Systems (ohne Wechselwirkung) bestimmt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A(t)=U_0^{\dagger}(t)A(0)U(t)

Mit der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel ergibt sich dann folgende Zeitentwicklung der Auf-, Absteiger und Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren:^[4]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} a(t)&=a(0) \,e^{-i\omega_Lt}\\ a^{\dagger}(t)&=a^{\dagger}(0) \,e^{+i\omega_Lt}\\ \sigma^-(t)&=\sigma^-(0) \,e^{-i\omega_at}\\ \sigma^+(t)&=\sigma^+(0) \,e^{+i\omega_at} \end{align}

Diese zeitabhängigen Operatoren setzt man in obige Gleichung für den Wechselwirkungs-Hamiltonian ein (die Nullen in Klammern werden zur Übersichtlichkeit nicht mehr explizit geschrieben).

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H_\mathrm{int}(t) = -dE_0\left( \sigma^+ a^{\dagger} \,e^{i\left(\omega_a+\omega_L\right)t} + \sigma^+ a \,e^{i\left(\omega_a-\omega_L\right)t} + \sigma^- a^{\dagger} \,e^{i\left(-\omega_a+\omega_L\right)t} + \sigma^- a \,e^{-i\left(\omega_a+\omega_L\right)t}\right)

Mit dieser Wechselwirkung wird nun die Zeitentwicklung des Zustands berechnet (zeitabhängige Schrödingergleichung)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\rm i} \hbar \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}t } | \psi(t) \rangle = H_\mathrm{int}(t) | \psi(t) \rangle

Für eine schwache Kopplung (Störung) zwischen Atom und elektromagnetischem Feld darf man annehmen, dass sich der Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(t) als Funktion der Zeit langsam ändert (auf der Zeitskala Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1/\omega_a ). Man vernachlässigt dabei Effekte in starken Feldern, die etwa eine mögliche Entartung von Niveaus aufheben könnten.

Die Stärke der Kopplung lässt sich mit einer Kopplungskonstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g ausdrücken, die deutlich kleiner als die Frequenz des elektromagnetischen Feldes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_L sein muss, damit die Näherung sinnvoll bleibt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g=-\frac{d E_0}{\hbar}\,, \qquad |g| \ll \omega_L

Durchführen der Näherung

Datei:TLSRWA.gif

Bahn des Bloch-Vektors zwischen Grund- und angeregtem Zustand eines Atoms mit (blau) und ohne (grün) die Näherung, wobei das EM feld in Resonanz mit der Übergangsfrequenz des Atoms ist.

Die Rotating Wave Approximation besteht nun darin, die schnell oszillierenden Terme in $H_{\mathrm {int} }(t)$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pm\left(\omega_a+\omega_L\right)t im Exponenten der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e -Funktion zu vernachlässigen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H_\mathrm{int}(t) \approx -dE_0\left( \sigma^+ a \,e^{i\left(\omega_a-\omega_L\right)t} + \sigma^- a^{\dagger} \,e^{i\left(-\omega_a+\omega_L\right)t} \right)

Hierzu argumentiert man, dass diese Oszillationen sich vergleichsweise schnell zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 0 wegmitteln, sodass sie auf Zeitskalen der relevanten Prozesse wie atomarer Übergänge oder Zerfällen von Zuständen nicht von Bedeutung sind. In der letzten Gleichung des vorherigen Abschnitts enthalten die vernachlässigten Terme (erster und letzter Summand) die Operatorprodukte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma^+a^{\dagger} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma^-a , die einer Anregung des Atoms bei gleichzeitiger Erzeugung eines Photons bzw. dem Relaxieren des Atoms in den Grundzustand bei gleichzeitiger Absorption eines Photons entsprechen. Diese Prozesse spielen nur auf sehr kurzen Zeitskalen eine Rolle. Es bleiben in der Rotating Wave Approximation nur diejenigen Prozesse übrig, in denen ein Atom durch Absorption eines Photons angeregt wird ( $\sigma ^{+}a$ ) oder ein Photon emittiert und dabei in den energetische tieferen Zustand springt (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma^- a^{\dagger} ).

Bezieht man die schnell rotierenden Terme in einer genaueren Rechnung mit ein, erhält man Korrekturen, die beispielsweise die Frequenz einer Spinresonanz verschieben (Bloch-Siegert-Effekt).^[5]

Einzelnachweise

↑ Mark Fox: Quantum Optics – An Introduction. 1. Auflage. Oxford University Press, New York 2006, ISBN 978-0-19-856672-4, S. 189.
↑ Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg: Atom Photon Interaction – Basic Processes and Applications. 1. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2004, ISBN 978-0-471-29336-1, S. 361.
↑ Christopher C. Gerry: Introductory Quantum Optics. 3. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge/New York 2008, ISBN 978-0-521-52735-4, S. 90–93.
↑ Christopher C. Gerry: Introductory Quantum Optics. 3. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge/New York 2008, ISBN 978-0-521-52735-4, S. 13,92.
↑ Leslie Allen, J. H. Eberly: Optical Resonance and Two-Level-Atoms. 1. Auflage. Wiley-Interscience, New York 1975, ISBN 0-471-02327-2, S. 47 ff.

[1] Mark Fox: Quantum Optics – An Introduction. 1. Auflage. Oxford University Press, New York 2006, ISBN 978-0-19-856672-4, S. 189.

[2] Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg: Atom Photon Interaction – Basic Processes and Applications. 1. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2004, ISBN 978-0-471-29336-1, S. 361.

[3] Christopher C. Gerry: Introductory Quantum Optics. 3. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge/New York 2008, ISBN 978-0-521-52735-4, S. 90–93.

[4] Christopher C. Gerry: Introductory Quantum Optics. 3. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge/New York 2008, ISBN 978-0-521-52735-4, S. 13,92.

[5] Leslie Allen, J. H. Eberly: Optical Resonance and Two-Level-Atoms. 1. Auflage. Wiley-Interscience, New York 1975, ISBN 0-471-02327-2, S. 47 ff.

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