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Die Born-Oppenheimer-Näherung trennt die [[Schrödinger-Gleichung]] für die Bewegung der [[Atomkern|Kerne]] von der für die Elektronen. Gerechtfertigt wird dies durch die Tatsache, dass die Kerne viel schwerer sind und sich daher auf der Zeitskala der Entwicklung des elektronischen [[Vielteilchentheorie|Vielteilchenzustands]] kaum bewegen. Die elektronische [[Energie]] hängt somit von der Lage der Kerne als [[unabhängige Variable]]n ab, was für die | Die Born-Oppenheimer-Näherung trennt die [[Schrödinger-Gleichung]] für die Bewegung der [[Atomkern|Kerne]] von der für die Elektronen. Gerechtfertigt wird dies durch die Tatsache, dass die Kerne viel schwerer sind und sich daher auf der Zeitskala der Entwicklung des elektronischen [[Vielteilchentheorie|Vielteilchenzustands]] kaum bewegen. Die elektronische [[Energie]] hängt somit von der Lage der Kerne als [[unabhängige Variable]]n ab, was für die Elektronen ein [[Potential (Physik)|Potential]] bedeutet, in dem sie ihre Bewegung ausführen. Die Born-Oppenheimer-Näherung wird auch bei der Berechnung von [[Molekülschwingung]]en und [[Chemische Reaktion|chemischen Reaktionen]] angewendet. | ||
Nach der '''Von-Kármán-Näherung''' werden diese Potentiale bei der Anwendung in Kristallen quadratisch genähert, d. h., die Kerne führen [[Harmonischer Oszillator|harmonische Schwingungen]] aus. Die [[Quantisierung (Physik)|Quantisierung]] der Atomschwingungen im Kristallgitter nennt man [[Phonon]]en. | Nach der '''Von-Kármán-Näherung''' werden diese Potentiale bei der Anwendung in Kristallen quadratisch genähert, d. h., die Kerne führen [[Harmonischer Oszillator|harmonische Schwingungen]] aus. Die [[Quantisierung (Physik)|Quantisierung]] der Atomschwingungen im Kristallgitter nennt man [[Phonon]]en. | ||
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so werden sie auch Born-von-Kármán-Randbedingungen genannt.<ref>Mireille Defranceschi, Claude Le Bris: ''Mathematical Models and Methods for Ab Initio Quantum Chemistry.'' (= ''Lectures in Chemistry.'' 74), Springer, 2000 ISBN 3-540-67631-7, S. 96 ([ | so werden sie auch Born-von-Kármán-Randbedingungen genannt.<ref>Mireille Defranceschi, Claude Le Bris: ''Mathematical Models and Methods for Ab Initio Quantum Chemistry.'' (= ''Lectures in Chemistry.'' 74), Springer, 2000 ISBN 3-540-67631-7, S. 96 ([https://books.google.de/books?id=cL7_Xy78JM4C&q=Born-+von+Karman+conditions&hl=de#v=snippet Snippet-Ansicht] in der Google-Buchsuche).</ref> | ||
== Literatur == | |||
* {{Literatur |Titel=Dynamical Theory of Crystal Lattices |Autor=Max Born, Kun Huang |Verlag=Clarendon Press |Ort=Oxford |Datum=1954 |Fundstelle=S. 55f}} | |||
== Einzelnachweise == | == Einzelnachweise == | ||
Das Born-von-Kármán-Modell (benannt nach Max Born und Theodore von Kármán) ist ein grundlegendes Modell zur Beschreibung der Bewegungen der Atome in einem Kristallgitter, z. B. zur Berechnung der spezifischen Wärme.
Das Modell besteht aus zwei Beiträgen: der Born-Oppenheimer- und der Von-Kármán-Näherung.
Die Born-Oppenheimer-Näherung trennt die Schrödinger-Gleichung für die Bewegung der Kerne von der für die Elektronen. Gerechtfertigt wird dies durch die Tatsache, dass die Kerne viel schwerer sind und sich daher auf der Zeitskala der Entwicklung des elektronischen Vielteilchenzustands kaum bewegen. Die elektronische Energie hängt somit von der Lage der Kerne als unabhängige Variablen ab, was für die Elektronen ein Potential bedeutet, in dem sie ihre Bewegung ausführen. Die Born-Oppenheimer-Näherung wird auch bei der Berechnung von Molekülschwingungen und chemischen Reaktionen angewendet.
Nach der Von-Kármán-Näherung werden diese Potentiale bei der Anwendung in Kristallen quadratisch genähert, d. h., die Kerne führen harmonische Schwingungen aus. Die Quantisierung der Atomschwingungen im Kristallgitter nennt man Phononen.
Werden bei der Berechnung der Phononen zudem periodische Randbedingungen angesetzt:
mit
so werden sie auch Born-von-Kármán-Randbedingungen genannt.[1]