Entartung (Quantenmechanik): Unterschied zwischen den Versionen

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Von Entartung spricht man in der Quantenmechanik, wenn zum selben Messwert (Eigenwert) einer Observablen mehrere, voneinander linear unabhängige Eigenzustände existieren.

Der Entartungsgrad oder Entartungsfaktor n ist die Anzahl der linear unabhängigen Eigenzustände zum gleichen Eigenwert. Diese spannen den n-dimensionalen Unterraum zum selben Eigenwert auf. Man nennt den Eigenwert dann n-fach entartet.

Zwei Zustände, die zum selben entarteten Eigenwert einer Observablen gehören, können folglich durch Messung dieser Observablen nicht voneinander unterschieden werden. Allerdings lässt sich zu jedem n-fach entarteten Eigenwert eine zweite Observable finden, die mit der ersten kommensurabel ist und in dem zum entarteten Eigenwert gehörenden Unterraum genau n Eigenzustände mit n verschiedenen Eigenwerten besitzt.

Entartung ist in vielen Fällen Folge einer Symmetrie des physikalischen Systems. So führt Rotationssymmetrie des Hamiltonoperators um beliebige Achsen zu einer Energieentartung. Die entarteten Zustände lassen sich hier in der Regel durch ihre verschiedenen Eigenwerte zu einer Drehimpulskomponente unterscheiden. Umgekehrt folgt aus der Entartung eines Eigenwerts einer Observablen immer, dass diese invariant unter jeder unitären Transformation des zugehörigen Eigenraums ist.

Beispiel: Entartung im Wasserstoffatom

In der nichtrelativistischen Beschreibung des Wasserstoffatoms sind alle Zustände mit gleicher Hauptquantenzahl entartet. Diese Entartung lässt sich auf die Symmetrie des Zweikörperproblems mit einem Potential $\propto (-{\tfrac {1}{r}})$ zurückführen.

Entartung zu den ersten drei Energieeigenwerten des Wasserstoffatoms
Hauptquantenzahl $$ n $$	Drehimpuls-QZ $l=0\ldots n-1$	Orbital	magnetische QZ $m_{l}=-l\ldots 0\ldots +l$	totale Entartung: $\sum _{l=0}^{n-1}{(2l+1)}=n^{2}$ -fach
1	0	s	0	1
2	0	s	0	4
2	1	p	−1, 0, +1	4
3	0	s	0	9
	1	p	−1, 0, +1
	2	d	−2, −1, 0, +1, +2

Die Berücksichtigung des Elektronenspins (die so genannte Feinstruktur) hebt diese Entartung teilweise auf. Korrekturen aufgrund der Wechselwirkung mit dem Kern (Hyperfeinstruktur) und aufgrund der Quantenelektrodynamik (Lambshift) reduzieren die Entartung weiter, bis auf die Entartung in den Komponenten des Gesamtdrehimpulses, die wegen der Rotationssymmetrie erhalten bleibt.

Siehe auch

Austauschentartung

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 |4=Multiplizität
 |12=f|2=September 2016|1=[[Benutzer:Biggerj1|biggerj1]] ([[Benutzer Diskussion:Biggerj1|Diskussion]]) 19:03, 9. Sep. 2016 (CEST)}}
-Von '''Entartung''' spricht man in der [[Quantenmechanik]], wenn zwei oder mehr [[Quantenmechanischer Zustand|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems zur selben [[Energie]] existieren.
+Von '''Entartung''' spricht man in der [[Quantenmechanik]], wenn zum selben Messwert ([[Eigenwert]]) einer [[Observable]]n mehrere, voneinander [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängige]] [[Zustand (Quantenmechanik)#Eigenzustand|Eigenzustände]] existieren.
-Der '''Entartungsgrad''' oder '''Entartungsfaktor''' <math>\textstyle n</math> (oft auch mit&nbsp;<math>\textstyle g</math> bezeichnet) ist die Anzahl der [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängigen]] Lösungen zum gleichen Energie[[eigenwert]]. Haben <math>\textstyle n</math>&nbsp;Zustände dieselbe Energie, so spricht man von <math>\textstyle n</math>-facher Entartung.
+Der ''Entartungsgrad'' oder ''Entartungsfaktor'' ''n'' ist die Anzahl der linear unabhängigen Eigenzustände zum gleichen Eigenwert. Diese spannen den ''n''-dimensionalen Unterraum zum selben Eigenwert auf. Man nennt den Eigenwert dann ''n''-fach entartet.
-''(Vorsicht: das gleiche Formelzeichen&nbsp;<math>\textstyle n</math> wird auch für die [[Hauptquantenzahl]] benutzt!)''
-Analog sagt man bei Zuständen, die zu einer bestimmten [[Observable]]n (z.&nbsp;B. des Bahn- oder des Gesamt[[drehimpuls]]es oder des [[Spin]]s) denselben Eigenwert besitzen: die Zustände sind ''in dieser Observablen'' entartet. Dementsprechend sind die energetisch entarteten Zustände bezüglich der Observablen "Energie" entartet.
+Zwei Zustände, die zum selben entarteten Eigenwert einer Observablen gehören, können folglich durch Messung dieser Observablen nicht voneinander unterschieden werden. Allerdings lässt sich zu jedem ''n''-fach entarteten Eigenwert eine zweite Observable finden, die mit der ersten [[Kommensurabilität (Quantenmechanik)|kommensurabel]] ist und in dem zum entarteten Eigenwert gehörenden Unterraum genau ''n'' Eigenzustände mit ''n'' verschiedenen Eigenwerten besitzt.
-Die bezüglich einer Observablen entarteten Zustände lassen sich immer durch ihre Eigenwerte zu einer geeigneten anderen Observablen unterscheiden.
+Entartung ist in vielen Fällen Folge einer [[Symmetrie (Physik)|Symmetrie]] des physikalischen Systems. So führt [[Symmetrie_(Geometrie)#Rotationssymmetrie_3D|Rotationssymmetrie]] des Hamiltonoperators um beliebige Achsen zu einer Energieentartung. Die entarteten Zustände lassen sich hier in der Regel durch ihre verschiedenen Eigenwerte zu einer [[Drehimpuls]]komponente unterscheiden. Umgekehrt folgt aus der Entartung eines Eigenwerts einer Observablen immer, dass diese invariant unter jeder [[Unitäre Abbildung|unitären Transformation]] des zugehörigen Eigenraums ist.
-Eine Entartung ist in vielen Fällen Folge einer [[Symmetrie (Physik)|Symmetrie]] des physikalischen Systems. So führt [[Rotationssymmetrie]] um beliebige Achsen zu einer Energieentartung bezüglich jeder Komponente des [[Drehimpuls]]es bei feststehendem Drehimpulsbetrag.
 == Beispiel: Entartung im Wasserstoffatom ==
-In der nicht[[Relativitätstheorie|relativistischen]] Beschreibung des [[Wasserstoffatom]]s sind alle Zustände mit gleicher Hauptquantenzahl entartet. Diese Entartung lässt sich auf die Symmetrie des [[Zweikörperproblem|Keplerproblem]]s zurückführen.
+In der nicht[[Relativitätstheorie|relativistischen]] Beschreibung des [[Wasserstoffatom]]s sind alle Zustände mit gleicher Hauptquantenzahl entartet. Diese Entartung lässt sich auf die Symmetrie des [[Zweikörperproblem#Energie und Entartung|Zweikörperproblems]] mit einem Potential <math>\propto (-\tfrac{1}{r})</math> zurückführen.
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