Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel: Unterschied zwischen den Versionen

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== Beweis ==
== Beweis ==
:<math>\sum_n (E_n-E_m)\left|\left\langle n | \hat x | m \right\rangle\right|^2 = \sum_n (E_n-E_m) \left\langle m\right |\hat x\left | n\right\rangle\left\langle n \right| \hat{x}\left | m\right\rangle</math>
:<math>\begin{align}
 
\sum_n (E_n-E_m)\left|\left\langle n | \hat x | m \right\rangle\right|^2  
:<math>=\frac{1}{2}\sum_n\left(\left\langle m\right | \hat{x}\hat{H}-\hat{H}\hat{x}\left |n\right\rangle\left\langle n \right | \hat{x}\left | m\right\rangle + \left\langle m \right | \hat{x}\left | n\right\rangle\left\langle n\right | \hat{H}\hat{x}-\hat{x}\hat{H}\left |m\right\rangle \right)</math>
&= \sum_n (E_n-E_m) \left\langle m\right |\hat x\left | n\right\rangle\left\langle n \right| \hat{x}\left | m\right\rangle\
 
&=\frac{1}{2}\sum_n\left(\left\langle m\right | \hat{x}\hat{H}-\hat{H}\hat{x}\left |n\right\rangle\left\langle n \right | \hat{x}\left | m\right\rangle + \left\langle m \right | \hat{x}\left | n\right\rangle\left\langle n\right | \hat{H}\hat{x}-\hat{x}\hat{H}\left |m\right\rangle \right)\
:<math>=\frac{1}{2}\sum_n \left(\left\langle m\right | \hat{x}\left |n \right\rangle\left\langle n\right | [\hat{H},\hat{x}]\left|m\right\rangle-\left\langle m \right | [\hat{H},\hat{x}]\left | n \right\rangle\left\langle n\right|\hat{x}\left| m \right\rangle \right )=\frac{1}{2}\left( \left\langle m\right | \hat{x}[\hat{H},\hat{x}]\left | m \right\rangle -\left\langle m\right | [\hat{H},\hat{x}]\hat{x}\left |m\right\rangle \right) </math>
&=\frac{1}{2}\sum_n \left(\left\langle m\right | \hat{x}\left |n \right\rangle\left\langle n\right | [\hat{H},\hat{x}]\left|m\right\rangle-\left\langle m \right | [\hat{H},\hat{x}]\left | n \right\rangle\left\langle n\right|\hat{x}\left| m \right\rangle \right)\
 
&=\frac{1}{2}\left( \left\langle m\right | \hat{x}[\hat{H},\hat{x}]\left | m \right\rangle -\left\langle m\right | [\hat{H},\hat{x}]\hat{x}\left |m\right\rangle \right)\
:<math>=\frac{1}{2} \left( \left\langle m \right | [\hat{x},[\hat{H},\hat{x}]] \left | m \right\rangle \right) = -\frac{i\hbar}{2m_0}\left\langle m\right| [\hat{x},\hat{p}]\left| m \right\rangle = \frac{\hbar^2}{2m_0}</math>
&=\frac{1}{2} \left( \left\langle m \right | [\hat{x},[\hat{H},\hat{x}]] \left | m \right\rangle \right)\
&= -\frac{i\hbar}{2m_0}\left\langle m\right| [\hat{x},\hat{p}]\left| m \right\rangle\
&= \frac{\hbar^2}{2m_0}
\end{align}</math>


Dabei wurden folgende Beziehungen verwendet:
Dabei wurden folgende Beziehungen verwendet:

Aktuelle Version vom 11. Februar 2019, 21:04 Uhr

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel[1] (nach Willy Thomas, Fritz Reiche und Werner Kuhn) ist ein mathematisches Hilfsmittel in der Quantenmechanik.

Sie besagt, dass für die Strahlungsübergänge eines Teilchens der Masse m0 zwischen einem bestimmten Zustand |m und allen anderen Zuständen |n gilt:

n(EnEm)|n|x^|m|2=22m0

… das reduzierte plancksche Wirkungsquantum
En … die Energie des Zustands |n

n|x^|m=xnm … das Matrixelement des Ortsoperators, das direkt mit dem elektrischen Dipolmoment des Überganges verknüpft ist

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel gilt nur für ausschließlich ortsabhängige Potentiale und kann somit in den meisten Fällen angewandt werden.

Beweis

n(EnEm)|n|x^|m|2=n(EnEm)m|x^|nn|x^|m=12n(m|x^H^H^x^|nn|x^|m+m|x^|nn|H^x^x^H^|m)=12n(m|x^|nn|[H^,x^]|mm|[H^,x^]|nn|x^|m)=12(m|x^[H^,x^]|mm|[H^,x^]x^|m)=12(m|[x^,[H^,x^]]|m)=i2m0m|[x^,p^]|m=22m0

Dabei wurden folgende Beziehungen verwendet:

[H^,x^]=im0p^
[x^,p^]=i

Literatur

  1. Jeremiah A. Cronin, David F. Greenberg, Valentine L. Telegdi: University of Chicago Graduate Problems in Physics with Solutions. University Of Chicago Press, 1979, ISBN 978-0226121093.