139.30.86.149 (Diskussion) |
imported>LoRo K (→Beweis) |
||
Zeile 11: | Zeile 11: | ||
== Beweis == | == Beweis == | ||
:<math>\sum_n (E_n-E_m)\left|\left\langle n | \hat x | m \right\rangle\right|^2 = \sum_n (E_n-E_m) \left\langle m\right |\hat x\left | n\right\rangle\left\langle n \right| \hat{x}\left | m\right\rangle | :<math>\begin{align} | ||
\sum_n (E_n-E_m)\left|\left\langle n | \hat x | m \right\rangle\right|^2 | |||
&= \sum_n (E_n-E_m) \left\langle m\right |\hat x\left | n\right\rangle\left\langle n \right| \hat{x}\left | m\right\rangle\ | |||
&=\frac{1}{2}\sum_n\left(\left\langle m\right | \hat{x}\hat{H}-\hat{H}\hat{x}\left |n\right\rangle\left\langle n \right | \hat{x}\left | m\right\rangle + \left\langle m \right | \hat{x}\left | n\right\rangle\left\langle n\right | \hat{H}\hat{x}-\hat{x}\hat{H}\left |m\right\rangle \right)\ | |||
&=\frac{1}{2}\sum_n \left(\left\langle m\right | \hat{x}\left |n \right\rangle\left\langle n\right | [\hat{H},\hat{x}]\left|m\right\rangle-\left\langle m \right | [\hat{H},\hat{x}]\left | n \right\rangle\left\langle n\right|\hat{x}\left| m \right\rangle \right)\ | |||
&=\frac{1}{2}\left( \left\langle m\right | \hat{x}[\hat{H},\hat{x}]\left | m \right\rangle -\left\langle m\right | [\hat{H},\hat{x}]\hat{x}\left |m\right\rangle \right)\ | |||
&=\frac{1}{2} \left( \left\langle m \right | [\hat{x},[\hat{H},\hat{x}]] \left | m \right\rangle \right)\ | |||
&= -\frac{i\hbar}{2m_0}\left\langle m\right| [\hat{x},\hat{p}]\left| m \right\rangle\ | |||
&= \frac{\hbar^2}{2m_0} | |||
\end{align}</math> | |||
Dabei wurden folgende Beziehungen verwendet: | Dabei wurden folgende Beziehungen verwendet: |
Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel[1] (nach Willy Thomas, Fritz Reiche und Werner Kuhn) ist ein mathematisches Hilfsmittel in der Quantenmechanik.
Sie besagt, dass für die Strahlungsübergänge eines Teilchens der Masse
… das reduzierte plancksche Wirkungsquantum
… die Energie des Zustands
… das Matrixelement des Ortsoperators, das direkt mit dem elektrischen Dipolmoment des Überganges verknüpft ist
Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel gilt nur für ausschließlich ortsabhängige Potentiale und kann somit in den meisten Fällen angewandt werden.
Dabei wurden folgende Beziehungen verwendet: