Coulomb-Eichung

Die Coulomb-Eichung (aufgrund des Zusammenhangs mit dem Coulomb Potential (s. u.); auch Strahlungseichung oder transversale Eichung) ist eine mögliche Eichung der Elektrodynamik, beschreibt also eine Einschränkung der elektrodynamischen Potentiale.

Eichfreiheit der Elektrodynamik

Um die Lösung der Maxwell-Gleichungen zu erleichtern, führt man für das elektrische und das magnetische Feld das Skalarpotential $ \Phi $ und das Vektorpotential $ {\vec {A}} $ ein, die die klassisch beobachtbaren Felder durch

$ {\vec {B}}({\vec {r}},t)=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t) $

$ {\vec {E}}({\vec {r}},t)=-\nabla \Phi -\partial _{t}{\vec {A}}({\vec {r}},t) $

beschreiben.

Diese Definition erlaubt sogenannte Eichfreiheiten in der Wahl von skalarem Potential und Vektorpotential, die keine Auswirkungen auf messbare Größen haben, insbesondere nicht auf elektrisches Feld und magnetische Flussdichte.

Die Coulomb-Eichung

Diese Eichfreiheit wird in der Coulomb-Eichung dazu genutzt, die Divergenzfreiheit des Vektorpotentials zu fordern:

$ \nabla \cdot {\vec {A}}({\vec {r}},t)=0 $

Wegen $ \Delta =\nabla \cdot \nabla $ und $ {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla =\nabla {\frac {\partial }{\partial t}} $ folgen daraus die im nächsten Paragraphen notierten Resultate.

Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen in der Coulomb-Eichung

Setzt man mit dieser Eichung die Potentiale in die sog. inhomogenen Maxwell-Gleichungen (das gaußsche Gesetz und das erweiterte Induktionsgesetz) ein, erhält man

$ \Delta \Phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}} $ und

$ \Delta {\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}\nabla \partial _{t}\Phi \,\,(=:\,-\mu _{0}{\vec {j}}_{\mathrm {eff} }) $.

Die erste Gleichung wird durch

$ \Phi ({\vec {x}},t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho ({\vec {x}}^{\prime },t)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}\mathrm {d} ^{3}x^{\prime } $

gelöst, also ist in dieser Eichung das Skalarpotential $ \Phi $ identisch mit dem Coulomb-Potential.

Die zweite Gleichung ist eine inhomogene Wellengleichung mit der durch die Methode des retardierten Potentials gewonnenen Lösung:

$ {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}_{\mathrm {eff} }({\vec {x}}^{\prime },t')}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}\mathrm {d} ^{3}x^{\prime } $.

Dabei ist die retardierte Zeit gegeben durch $ t':=t-{\frac {|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }|}{c}} $ .  Physikalisch entspricht die zuletzt angegebene Differenz der Zeitspanne, die ein Licht- oder Radarsignal braucht, um die Strecke vom Ausgangspunkt (dem Integrationpunkt) $ {\vec {x}}' $ der Signale zum Ankunftspunkt $ {\vec {x}} $ zu durchlaufen.

In der Nutzung zweier unterschiedlicher Zeiten im Integral - beim skalaren Potential t, beim Vektorpotential t'  - besteht der Hauptvorteil bzw. Hauptnachteil der angegebenen Eichung. Die konkurrierende Lorenz-Eichung hat diesen Nachteil nicht, sondern ist explizit relativistisch invariant, indem sie durchgehend die Retardierung berücksichtigt.

Sind keine Quellen (Ladungen und Ströme) vorhanden, vereinfachen sich die Gleichungen zu

$ \Delta \Phi =0 $ und

$ \Delta {\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}=0 $,

das Vektorpotential erfüllt also die homogene Wellengleichung.

Literatur

• John D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. Walter de Gruyter Berlin New York, 2006, ISBN 978-3-11-018970-4. 

en:Gauge fixing#Coulomb gauge