Quadrupol

Aufbau eines elektrischen Quadrupols für den Spezialfall einer quadratischen Anordnung.
Die Ladung der roten Punkte beträgt +Q, die der blauen Punkte −Q.

Potential eines elektrischen Quadrupols

Ein Quadrupol entsteht aus der nebenstehend dargestellten Anordnung zweier entgegengesetzt-gleicher Dipole mit beliebigem Abstandsvektor, typischerweise $ {\vec {a}} $ genannt.

Allgemein kann einer beliebigen Ladungs- oder Stromverteilung, sofern sie nicht bestimmte Symmetrien besitzt, in zweiter Ordnung ein Multipolmoment zugeordnet werden. Dazu wird das eigentliche Potential durch eine Taylorentwicklung genähert. Dabei ergibt sich in dieser Multipolentwicklung u. a. auch ein Quadrupolmoment.

Elektrischer Quadrupol

Ein elektrischer Quadrupol kann aus zwei positiven und zwei gleich starken negativen Ladungen bestehen, die zwei entgegengesetzt-gleiche Dipole bilden. Im einfachsten Fall befinden sich die vier Ladungen in alternierender Anordnung an den Ecken eines Parallelogramms (in der Regel sogar eines Quadrates). Mathematisch präzise wird die Definition durch einen als „Quadrupol-Limes“ bezeichneten Grenzwertprozess, bei dem der Flächeninhalt des Parallelogramms gegen Null konvergiert, während gleichzeitig die Ladungsstärke der an den Ecken des Parallelogramms befindlichen Ladungen divergiert, und zwar so, dass das Produkt konstant bleibt, etwa $ \{\lim _{a\to 0;\,a^{2}Q={\text{konst.}}}\dots \}\,, $ wobei die Konstante positiv sein soll.

Das Quadrupolpotential $ \phi _{Q} $ ergibt sich als Überlagerung (Superposition) der Dipolpotentiale:

$ {\begin{aligned}\phi _{Q}({\vec {r}})&=\phi _{D}\left({\vec {r}}+{\dfrac {\vec {a}}{2}}\right)-\phi _{D}\left({\vec {r}}-{\dfrac {\vec {a}}{2}}\right)\\\ &={\vec {a}}\cdot \nabla \phi _{D}+{\mathcal {O}}(|{\vec {a}}|^{3})\end{aligned}} $

Beim Übergang zur letzten Gleichung wurde die Taylorentwicklung benutzt und Terme der Größenordnung $ |{\vec {a}}|^{3} $ vernachlässigt.

Aus der Multipolentwicklung erhält man mit dem Kronecker-Delta $ \delta $ den Quadrupolmomenttensor Q mit SI-Einheit C·m²:

$ Q_{kl}=\sum _{i=1}^{n}q_{i}(3r_{ik}\,r_{il}-(r_{i})^{2}\,\delta _{kl}) $

bzw. für kontinuierliche Ladungsverteilungen:

$ Q_{kl}=\int \rho ({\vec {r}}\,')\cdot (3r'_{k}\,r'_{l}-(r')^{2}\,\delta _{kl})\cdot d^{3}r' $

Alternativ lässt sich das Potential auch darstellen als:

$ {\begin{aligned}\phi _{Q}({\vec {r}})&={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {{\vec {r}}^{T}\cdot Q\cdot {\vec {r}}}{r^{5}}}\\&={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {r_{i}\cdot Q_{ij}\cdot r_{j}}{r^{5}}}\end{aligned}} $

wobei

• die einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde und
• $ \varepsilon _{0} $ die elektrische Feldkonstante ist.

Anwendungen

Aufgrund des Feldes senkrecht zur Achsenrichtung wird jede Anordnung von vier abwechselnd gepolten Elektroden meist verkürzt als „Quadrupol“ bezeichnet, auch wenn sie kein reines Quadrupolfeld erzeugt. Im Wechselstrombetrieb werden durch diese Anordnung nur Teilchen mit einem bestimmten Verhältnis von Masse zu Ladung durchgelassen, weshalb die Anordnung in Massenspektrometern angewendet wird.

Eine weitere Anwendung eines elektrischen Quadrupols ist der Hochfrequenz-Quadrupol-Beschleuniger.

Magnetischer Quadrupol

Ein magnetischer Quadrupol besteht im einfachsten Fall aus zwei entgegengesetzt gerichteten magnetischen Dipolen im Abstand $ {\vec {a}} $.

Anwendungen:

• Quadrupolmagnet: Fokussierungsmagnet in Teilchenbeschleunigern und Teilchen-Strahlführungen
• selektive Trennung in Massenspektrometrie-Systemen
• zusammen mit der Kernspinresonanzspektroskopie: Aussagen über die lokale Geometrie des Atomkerns in Festkörpern.

Ein sphärisches magnetisches Quadrupolfeld lässt sich zum Beispiel mit einer Maxwell-Spule erzeugen.^[1]

Gravitationswellen

Im Gegensatz zum Elektromagnetismus besitzt die Gravitation nur positive Ladungen (Massen). Daher ist die Definition eines gravitativen Quadrupols wie oben über zwei Dipole nicht möglich. Dennoch besitzen Massenverteilungen ein Quadrupolmoment. Die niedrigste Ordnung von Gravitationswellen ist eine Quadrupolstrahlung, die in der Form der Ausbreitung der elektromagnetischen Quadrupolstrahlung entspricht.^[2]

Höhere Multipole

Analog können höhere Multipole behandelt werden, sog. Oktupole  beispielsweise durch alternierende Punktladungen auf den acht Ecken eines Parallelepipeds, z. B. eines Würfels der Kantenlänge a, mit dem „Oktupol-Limes“  $ \{\lim _{a\to 0;\,a^{3}Q={\text{konst.}}}\dots \} $ (oder allgemeiner: ein einziger 2^l-Pol wird angenähert durch Überlagerung zweier verschobener 2^(l-1)-Pole mit entgegengesetztem Vorzeichen).

Fachliteratur

• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4.

Weblinks

Commons: Quadrupoles – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise