Relativistischer Impuls

Bei Stößen und anderen Wechselwirkungen von Teilchen erweist sich der Impuls als additive Erhaltungsgröße: Die Summe der anfänglichen Impulse stimmt mit der Summe der Impulse nach der Wechselwirkung überein.

In der speziellen Relativitätstheorie hängt der Impuls $\mathbf{p}$ eines Teilchens der Masse $m$ nichtlinear von der Geschwindigkeit $\mathbf{v}$ ab:

$\mathbf{p}=\gamma m\mathbf{v}=\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{{\mathbf{v}}^2}{c^2}}}$

Dabei ist $\gamma$ der Lorentzfaktor.

Für nicht-relativistische Geschwindigkeiten $(v\ll c)$ ist $\gamma$ gleich 1. So erhält man für kleine Geschwindigkeiten annähernd den klassischen Impuls wie in der Newtonschen Mechanik:

${\mathbf{p}}_{\text{Newton}}=m\mathbf{v}$

Nach dem Noether-Theorem gehört zur Impulserhaltung die Symmetrie der Wirkung unter räumlichen Verschiebungen.

Wird durch eine Kraft $\mathbf{F}$ Impuls im Laufe der Zeit auf ein Teilchen übertragen, so ändert sich dadurch sein Impuls. Kraft ist Impulsübertrag pro Zeit:

$\mathbf{F}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}$

Herleitung

Wie der Impuls und die Energie eines Teilchens der Masse $m$ in relativistischer Physik von der Geschwindigkeit $\mathbf{v}$ abhängen, folgt daraus, dass diese Größen für jeden Beobachter additive Erhaltungsgrößen sind.

Es ergibt sich auch aus der Wirkung

$S[\mathbf{X}]=\int \mathcal{L}(t,\mathbf{x}(t),\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}(t))\mathrm{d}t$

mit der Lagrangefunktion

$\mathcal{L}(t,\mathbf{x},\mathbf{v})=-m{c}^2\sqrt{1-\frac{{\mathbf{v}}^2}{c^2}}.$

Da die Lagrangefunktion nicht vom Ort $\mathbf{x}$ abhängt, (das heißt, die Komponenten $x^i,i=1,2,3,$ sind zyklisch), ist die Wirkung invariant unter räumlichen Verschiebungen. Die nach dem Noether-Theorem zugehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß der Impuls. Im vorliegenden Fall ist dies der zu $\mathbf{x}$ konjugierte Impuls mit Komponenten

$p_i=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v^i}=\frac{m{v}^i}{\sqrt{1-{\mathbf{v}}^2/c^2}},$ also

$\mathbf{p}=\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-{\mathbf{v}}^2/c^2}}.$

Da die Lagrangefunktion nicht von der Zeit $t$ abhängt, ist nach dem Noether-Theorem die Energie

$E=v^i\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v^i}-\mathcal{L}=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-{\mathbf{v}}^2/c^2}}$

erhalten. Fassen wir hier die Geschwindigkeit als Funktion des Impulses auf,

$\mathbf{v}=\frac{\mathbf{p}}{\sqrt{m^2+{\mathbf{p}}^2/c^2}},$

wie sie sich umgekehrt aus $\mathbf{p}(\mathbf{v})$ ergibt, so erhalten wir die Energie als Funktion der Phasenraumvariablen, die Hamilton-Funktion

$H(t,\mathbf{x},\mathbf{p})=\sqrt{m^2{c}^4+{\mathbf{p}}^2{c}^2}.$

Die Energie und der Impuls erfüllen also die Energie-Impuls-Beziehung und liegen auf der Massenschale.