Brillouin-Funktion
Die Brillouin-Funktion $ B(x) $ (nach dem französisch-amerikanischen Physiker Léon Brillouin) ist eine spezielle Funktion, die aus der quantenmechanischen Beschreibung eines Paramagneten hervorgeht:
- $ {\begin{aligned}B_{J}(x)&={\frac {2J+1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {2J+1}{2J}}\,x\right)-{\frac {1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {1}{2J}}\,x\right)\\&=\left(1+{\frac {1}{2J}}\right)\cdot \coth \left[\left(1+{\frac {1}{2J}}\right)x\right]-{\frac {1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {1}{2J}}\,x\right)\end{aligned}} $
Dabei bezeichnet J in der physikalischen Anwendung die Gesamtdrehimpulsquantenzahl.
Bei der Beschreibung eines Paramagneten ist es sinnvoll, den Parameter $ \xi $ einzuführen:
- $ \xi ={\frac {mB}{k_{B}\,T}}={\frac {g\mu _{B}\,JB}{k_{B}\,T}} $
Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:
- m – Magnetisches Moment eines Teilchens
- B – Betrag des angelegten äußeren Magnetfeldes
- $ k_{B} $ – Boltzmann-Konstante
- T – Absolute Temperatur
- g – Landé-Faktor
- $ \mu _{B} $ – Bohrsches Magneton
- $ \coth $ - Kotangens Hyperbolicus.
Mit dem Parameter $ \xi $ kann die Magnetisierung M eines Paramagneten mit der Stoffmenge N in einem äußeren Magnetfeld formuliert werden:
- $ \,M=NmB_{J}(\xi )\Leftrightarrow B_{J}(\xi )={\frac {M}{Nm}}. $
Eine weitere, halb-klassische Beschreibung eines Paramagneten geschieht mit Hilfe der Langevin-Funktion $ L $, die sich im Limes $ J\to \infty $ und zugleich $ g\mu _{B}\to 0 $ aus der Brillouin-Funktion ergibt (wobei das magnetische Gesamtmoment konstant bleibt):
- $ \,M=NmL(\xi )\Leftrightarrow L(\xi )={\frac {M}{Nm}}. $
Literatur
- Torsten Fließbach: Statistische Physik – Lehrbuch zur Theoretischen Physik IV. Elsevier-Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2006.