Massendefekt

Als Massendefekt (auch Massenverlust) bezeichnet man in der Kernphysik das Massenäquivalent der Bindungsenergie des Atomkerns.^[1][2] Er äußert sich als Differenz zwischen der Summe der Massen aller Nukleonen (Protonen und Neutronen) und der tatsächlich gemessenen (stets kleineren) Masse des Kerns.

Der beobachtbare Massendefekt widerlegt die Annahme der klassischen Physik, die Masse bleibe bei allen Vorgängen erhalten.

Der Begriff Massendefekt wurde von Francis William Aston 1927 eingeführt ^[3], der ab 1919 als erster festgestellt hatte, dass Atomkerne leichter sind als ihre vermutlichen Bausteine zusammen genommen. Die Arbeit Maßeinheiten für Atomgewichte und Nuklidenmassen^[4] von Josef Mattauch enthält u. a. auch Details zur Geschichte des Begriffs Massendefekt und verwandter Größen. Zur Einigung der Chemiker und Physiker auf eine gemeinsame Atomare Masseneinheit im Jahr 1960 hat diese Arbeit wesentlich beigetragen.

Der Massendefekt (englisch Mass defect, Mass deficiency) wird manchmal irrtümlich mit dem Massenexzess (englisch Mass excess), auch Massenüberschuss gleich gesetzt.^[5][6] Es handelt sich aber um zwei verschieden definierte Größen mit deutlich verschiedenen Wertebereichen. Der Massendefekt ist stets positiv (darin drückt sich aus, dass die Materie gegen spontane Zerlegung in die betreffenden Bestandteile stabil ist); der Massenexzess, eine Hilfsgröße zur Erleichterung von Berechnungen, kann negativ oder positiv sein.

Auch die gemessene Atommasse eines neutralen Atoms ist kleiner als die Summe von Kernmasse und den Massen der Elektronen in der Atomhülle. Dieser Massendefekt ist jedoch wesentlich geringer als der Massendefekt von Atomkernen und wird meist vernachlässigt.

Noch geringer ist der Massendefekt, der entsteht, wenn Atome eine chemischen Verbindung eingehen^[7]. Daher kann man bei chemischen Reaktionen davon ausgehen, dass die Masse in sehr guter Näherung erhalten bleibt.

Zusammenhang mit Bindungsenergie

Der Massendefekt lässt sich erklären mit der Erkenntnis der relativistischen Physik, dass man an der Masse die Energie des ruhenden Teilchens ablesen kann: die Bindungsenergie der Nukleonen vermindert die Gesamtmasse, die sich als Summe der Massen der einzelnen Kernbausteine ergeben würde. Somit ist die beim Bau eines Atomkerns freigesetzte Bindungsenergie der Nukleonen nach der Gleichung $ E_{\mathrm {B} }=\Delta m\ c^{2} $ gleich dem Massendefekt multipliziert mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit. Je größer der Massendefekt pro Nukleon ist, desto stabiler ist der Atomkern, da mehr Energie zu seiner Zerlegung aufgewendet werden muss.

Massendefekt bei verschiedenen Massenzahlen

Der gesamte Massendefekt eines Kerns steigt mit der Nukleonenzahl, d. h. der Anzahl der enthaltenen Nukleonen. Gemessen wird er z. B. mittels Massenspektrometern. Wenn man daraus den durchschnittlichen Massendefekt pro Nukleon und damit die Bindungsenergie pro Nukleon (in der Einheit MeV) berechnet, ergibt sich der im Bild gezeigte Zusammenhang mit der Massenzahl.

Bindungsenergie pro Nukleon in Abhängigkeit von der Nukleonenzahl im Atomkern

Die höchsten Massendefekte pro Nukleon finden sich bei Nukliden, deren Atomkern aus ungefähr 60 Nukleonen besteht. Eine ganze Reihe von Nukliden haben hier fast identische Werte. Das Nuklid mit dem höchsten durchschnittlichen Massendefekt pro Nukleon ist Nickel-62, gefolgt von den Eisenisotopen Fe-58 und Fe-56.^[8]

Energiefreisetzung bei Kernreaktionen

Wenn leichte Nuklide (in der Abbildung links vom Bindungsenergie-Maximum gelegen) durch Kernfusion (Kernverschmelzung) eine höhere Nukleonenzahl erreichen, dann erhöht sich der Massendefekt pro Nukleon; diese nun zusätzlich fehlende Masse wird in Energie umgewandelt, die genutzt werden kann. Umgekehrt setzen schwere Kerne (rechts vom Bindungsenergie-Maximum gelegen) Energie frei, wenn sie durch Kernspaltung in zwei Kerne mittlerer Masse zerlegt werden. Eine Energie freisetzende Umwandlung erfolgt somit immer „in Richtung zum Maximum des Massendefektes bzw. der Bindungsenergie“, also mit ansteigender Kurve.

Die in der Energietechnologie wichtigen Fusionsreaktionen nutzen allerdings nicht die Region der höchsten Massendefekte bei Massenzahlen um 60, sondern das in der Abbildung sichtbare starke lokale Maximum beim Helium-Isotop ⁴He aus, denn die relative Massendefekt-Zunahme von den Reaktionspartnern Deuterium und Tritium zum Helium ist besonders groß, und zugleich ist die Coulombbarriere, die für die Vereinigung der Kerne überwunden werden muss, relativ niedrig.

Definition

Der Massendefekt $ \Delta m_{K} $ eines Kerns der Masse $ m_{K} $ ist definiert^[1][2] als

$ \Delta m_{K}=Z\,m_{\mathrm {p} }+N\,m_{\mathrm {n} }-m_{K}\,. $

Dabei ist $ Z $ die Ordnungszahl (Anzahl der Protonen), $ N $ die Anzahl der Neutronen, $ m_{\mathrm {p} } $ die Masse eines Protons und $ m_{\mathrm {n} } $ die Masse eines Neutrons.

In guter Näherung kann der Massendefekt $ \Delta m_{K} $ auf halbempirischer Basis mittels der – auf dem Tröpfchenmodell beruhenden – Bethe-Weizsäcker-Formel berechnet werden.

In der Praxis wird der Massendefekt nicht für den isolierten Atomkern, sondern für das gesamte, ungeladene Atom des jeweiligen Nuklids, also die Atommasse, angegeben. Dies hat experimentelle Gründe: Vollständig ionisierte, also „nackte“ Atomkerne lassen sich nur schwer gewinnen und handhaben, weil sie mit ihrer hohen positiven elektrischen Ladung sofort Elektronen aus der Umgebung einfangen. Die genaue Messung ihrer Masse wäre daher kaum möglich, besonders bei schweren Elementen (Elementen hoher Ordnungszahl) mit ihrer entsprechend besonders hohen Ladung.

Deshalb wird der Massendefekt $ \Delta m_{A} $ eines neutralen Atoms im nuklearen und elektronischen Grundzustand mit einer Masse $ m_{\mathrm {A} } $ verwendet und definiert durch

$ \Delta m_{\mathrm {A} }=Z\,m(\mathrm {{}^{1}H} )+N\,m_{\mathrm {n} }-m_{A}\,. $

Dabei bedeutet $ m(\mathrm {{}^{1}H} ) $ die Masse eines neutralen Atoms des leichten Wasserstoffatoms. Diese Definition des Massendefekts über Bindungsenergien (Total binding energy $ [Z\,\mathrm {M({}^{1}H} )+N\,\mathrm {M({}^{1}n)} -M(A,Z)] $ in keV )^[9], ist heute (2017) maßgeblich.

Mit der Elektronenmasse $ m_{\mathrm {e} } $ kann die Masse eines neutralen Atoms des leichten Wasserstoffatoms ausgedrückt werden als

$ m(\mathrm {{}^{1}H} )=m_{\mathrm {p} }+m_{\mathrm {e} }-\Delta m_{e}(\mathrm {{}^{1}H} ) $ .

Dabei ist $ \Delta m_{e}(\mathrm {{}^{1}H} ) $ das Massenäquivalent der Bindungsenergie des Elektrons im Wasserstoffatom. Diese Bindungsenergie, auch Ionisierungsenergie genannt, ist genau bekannt (s. Rydberg-Energie = 13,605 eV bzw. Ionisierungsenergie vom Wasserstoff = 13,598 eV). Eine nukleare Bindungsenergie gibt es bei leichtem Wasserstoff als einem Element mit nur einem Nukleon, dem Proton, nicht.

Die Masse $ m_{A} $ eines neutralen Atoms ist

$ m_{A}=Z\,m_{\mathrm {p} }+N\,m_{\mathrm {n} }+Z\cdot m_{\mathrm {e} }-\Delta m_{K}-\Delta m_{e} $,

mit $ \Delta m_{e} $ dem Massendefekt der Elektronenhülle, dem Massenäquivalent der Bindungsenergien aller $ Z $ Elektronen im Atom. Dieser ist, worauf eingangs schon hingewiesen wurde, sehr viel kleiner als der Massendefekt durch die nukleare Bindung $ \Delta m_{K} $ und wird oft vernachlässigt oder von der Messgenauigkeit noch nicht erfasst.^[4]

Da sich die Massen der Elektronen wegheben, ergibt sich daraus der Zusammenhang zwischen dem Massendefekt des Atoms und dem Massendefekt des Atomkerns zu

$ \Delta m_{A}=\Delta m_{K}+\Delta m_{e}-Z\,\Delta m_{e}(\mathrm {{}^{1}H} ) $.

Wird der nukleare Massendefekt $ \Delta m_{K} $ explizit benötigt, kann der Massendefekt der elektronischen Bindung $ \Delta m_{e} $ aus der im Artikel Kernmasse angegebenen Formel 2 näherungsweise berechnet werden. Der Index $ A $ wird beim Massendefekt meist weggelassen, so auch im folgenden Abschnitt. Wenn von Massendefekt ohne erläuternden Zusatz gesprochen wird, ist meist diese Größe $ \Delta m\equiv \Delta m_{A} $ gemeint.

Wie man zu aktuellen Massendefekten kommt

Ähnlich wie CODATA die Zuverlässigkeit und Zugänglichkeit grundlegender physikalischer Konstanten sicherstellt, leistet das Atomic Mass Data Center (AMDC)^[10] dies für Atommassen und verwandte Größen. Aktualisierte, eingeschätzte Daten werden vom AMDC in zeitlichen Intervallen von etwa 10 Jahren veröffentlicht. Die letzte Aktualisierung Atomic Mass Evaluation 2012 (AME2012)^{[11] [12]} stammt aus dem Jahr 2012. Explizit werden eingeschätzte Werte nicht der Massendefekte, sondern der Bindungsenergien pro Nukleon (Binding energy per nucleon) veröffentlicht, die aus der zitierten Atomic Mass Evaluation des Jahres 2012 entnommen werden können. Für die kernphysikalische Praxis werden parallel dazu mehrere computerlesbare ASCII-Dateien veröffentlicht, von denen die Datei mass.mas12^[13] die Werte der Größe unter der Überschrift BINDING ENERGY/A für die nuklearen und elektronischen Grundzustände aller bekannten Nuklide enthält. Aus der Bindungsenergie pro Nukleon erhält man den Massendefekt durch Multiplikation mit der Anzahl $ A $ der Nukleonen und Division durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit $ c^{2} $:

$ \Delta m={\text{Bindungsenergie pro Nukleon}}\cdot {\frac {A}{c^{2}}} $

mit^[11]

$ c^{2}=(931\ 494{,}002\ 3\pm 0{,}000\ 7)\ {\frac {\text{keV}}{\text{u}}} $ .

Die Einheit Elektronenvolt (eV) (und damit auch keV) bei aktuellen eingeschätzten Massenexzessen, Bindungsenergien, Q-Werten etc. basiert dabei nicht mehr auf der Einheit Volt des internationalen Einheitensystems, sondern auf der geringfügig modifizierten und genauer messbaren Einheit Maintained Volt V₉₀ (Reproduzierbare Referenz). Seit 1990 wird die Spannungseinheit Volt in dieser Definition mittels des Josephson-Effekts und der Josephson-Konstante festgelegt.^[11]

Um konsistent zu bleiben, sollte die CODATA-Empfehlung^[14]

$ c^{2}=(931\ 494{,}095\ 4\pm 0{,}005\ 7)\ {\frac {\text{keV}}{\text{u}}}\,, $

deren Standardunsicherheit achtmal größer ist, in diesem Zusammenhang nicht verwendet werden, was allerdings nur bei hohen Ansprüchen an die Genauigkeit eine Rolle spielt.

Beispiele

Die CODATA-Tabelle enthält vier Kernmassen, die von Proton, Deuteron, Triton und Alpha-Teilchen. Für den Atomkern ⁴He, das Alpha-Teilchen, kann der Massendefekt mit diesen Daten berechnet werden.

Massendefekt des Atomkerns von ⁴He

Nach CODATA2014^[14] beträgt die Masse eines Neutrons 1,008665 u, die eines Protons 1,007276 u. Der Kern des Heliumisotops ⁴He, besteht aus zwei Protonen und zwei Neutronen. Die Summe der Massen der vier freien Nukleonen ist 4.031883 u, die Massen des Kerns ⁴He jedoch nur 4,001506 u. Daraus ergibt sich ein Massendefekt von 0,030377 u. Die Masse des Kerns ist also um 0,75 % geringer als die Summe der Massen seiner (freien) Teile.

Teilchen / Kern		Kernmasse (u)
n	+ 2 ×	1,00866491588	±	0,00000000049
p	+ 2 ×	1,00727646688	±	0,00000000009
α	-	4,00150617913	±	0,00000000006
Massendefekt Kern $ \Delta m_{K} $	=	0,03037658639	±	0.00000000071

In der Tabelle sind auch die Standardunsicherheiten der Kernmassen und des Massendefekts enthalten.

Massendefekt des Atoms ⁴He

Berechnen wir nun analog den Massendefekt, aber mit den Atommassen. Die Datei der AME2012^[13] enthält nicht nur Massendefekte und Bindungsenergien, sondern auch Atommassen explizit, und zwar in der Einheit µu, die hier in der Einheit u wiedergegeben werden. Die Masse des Neutrons bleibt gleich, die Masse des leichten Wasserstoffatoms ist 1,007825 u. Die Massen nach der obigen Formel mit N=2 bzw. Z=2 multipliziert und addiert ergibt eine Masse von 4,032980 u. Die Masse des Atoms von ⁴He ist 4,002603 u. Damit erhalten wir für den Massendefekt des Atoms 0,030377 u, der in der Genauigkeit von 6 Nachkommastellen mit dem des Atomkerns übereinstimmt.

n / Atom		Atommasse (u)
n	+ 2 ×	1,00866491585	±	0,00000000049
1H	+ 2 ×	1,00782503223	±	0,00000000009
4He	-	4,00260325413	±	0,00000000006
Massendefekt Atom $ \Delta m_{A} $	=	0,03037664203	±	0,00000000071

Bedeutend schneller gelangen wir mit der in der Tabelle^[13] enthaltenen Bindungsenergie pro Nukleon von 7073,915 keV zum gesuchten (atomaren) Massendefekt, $ \Delta m=7073{,}915\,\mathrm {keV} \,\cdot {\frac {A}{c^{2}}} $. Das Ergebnis ist ein Massendefekt von 0,030377 u, wie zu erwarten war.

Massendefekt beim Aufbau des Nukleons aus Quarks

Die Masse des Protons ist deutlich größer als die Summe der Massen der Quarks

Vereinzelt wird der Begriff des Massendefekts auch auf den Aufbau des Nukleons aus Quarks bezogen. Dort ist er aber nicht anwendbar. Der Begriff Massendefekt setzt voraus, dass ein Gebilde aus einer zahlenmäßig genau bestimmten Anzahl von Teilen besteht, in die es zerlegt werden kann und deren Massen einzeln wohlbestimmte Größen sind. Diese Vorstellung ist in der klassischen Physik begründet und trifft dort auch zu, und gilt auch in der nichtrelativistischen Quantenmechanik noch in sehr guter Näherung. So wurde der Massendefekt ja an der Bindung der Nukleonen zu einem Atomkern entdeckt, sobald sich um 1920 die Vorstellung entwickelte, Kerne seien aus Bausteinen aufgebaut. In der relativistischen Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie gilt diese Voraussetzung wohlbestimmter Teilchenzahlen jedoch prinzipiell nicht, höchstens in guter Näherung im nichtrelativistischen Grenzfall. Der Grund ist die ständige Präsenz virtueller Paare von Teilchen und Antiteilchen in unbestimmbarer Anzahl, wie schon gegen 1930 kurz nach der Entdeckung der hier gültigen Dirac-Gleichung festgestellt wurde.^[15] Die Verhältnisse innerhalb des Nukleons fallen in den hochrelativistischen Bereich, wo diese Paarerzeugung den wichtigsten Prozess darstellt und nicht nur äußerst kleine Korrekturen an den mit nicht-relativistischen Gleichungen berechneten Größen verursacht (siehe zum Beispiel Lamb-Verschiebung). Was feststeht, ist nicht die Gesamtzahl der Quarks und Antiquarks, sondern nur, dass die Quarks in einer Überzahl von 3 vorhanden sind. Die Ermittlung eines Massendefekts ist also unmöglich.

Einzelnachweise