Morse-Potential

Das Morse-Potential (blau) im Vergleich zum quadratischen Potential des harmonischen Oszillators (grün).
Eingezeichnet sind auch die Energiestufen, die beim Harmonischen Oszillator äquidistant sind ($ \hbar \omega $), beim Morsepotential hingegen mit zunehmender Energie immer weniger Abstand haben, bis zur Bindungsenergie $ D_{e} $, die größer als die tatsächlich benötigte Energie $ D_{0} $ zur Flucht aus der Potentialmulde ist, da die Nullpunktenergie $ \left(\nu =0\right) $ größer Null ist.

Das Morse-Potential $ V $ ist ein Begriff aus der Molekülphysik. Der 1929 vom US-amerikanischen Physiker Philip McCord Morse^[1] vorgeschlagene Zusammenhang beschreibt den Verlauf des elektronischen Potentials eines zweiatomigen Moleküls in Abhängigkeit vom Kern­bindungsabstand $ R $ durch eine exponentielle Näherung:

$ V(R)=D_{\text{e}}\cdot \left(1-e^{-a\cdot (R-R_{\text{e}})}\right)^{2} $

mit

• $ D_{\text{e}} $ die (spektroskopische) Dissoziationsenergie
• $ R_{\text{e}} $ der Kernabstand mit der geringsten potentiellen Energie und
• $ a $ eine Konstante (manchmal als „Steifigkeit des Potentials“^[2] bezeichnet)

Diese Größen sind für das betrachtete Molekül charakteristisch.

Da man üblicherweise das Potential im Unendlichen als null definiert:

$ V(\infty )=0 $

wird das Morse-Potential häufig in der alternativen Form angegeben:

$ V(R)-D_{\text{e}}=D_{\text{e}}\cdot \left(e^{-2a\cdot (R-R_{\text{e}})}-2e^{-a\cdot (R-R_{\text{e}})}\right) $

Dadurch verschiebt sich das Nullpunktpotential um $ -D_{\text{e}} $. Diese Funktion bildet das reale Potential viel besser ab.

Die Schrödinger-Gleichung ist in quadratischer Näherung (Taylorentwicklung) des Morsepotentials analytisch lösbar. So können die Schwingungsenergien $ E_{\nu } $ berechnet werden:

$ E_{\nu }=h\nu _{0}\cdot \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {h^{2}\nu _{0}^{2}}{4D_{\text{e}}}}\cdot \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)^{2} $

mit

• dem planckschen Wirkungsquantum $ \ h $
• der Schwingungsquantenzahl $ \nu $. $ \nu _{0} $ hat die Einheit einer Frequenz und ist über die Teilchenmasse $ m $ mit der Konstante $ a $ des Morse-Potentials verknüpft:

$ \nu _{0}={\frac {a}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2D_{\text{e}}}{m}}} $

Heutzutage wird für die Berechnung von Schwingungsenergien eher das RKR-Potential (RKR steht hierbei für Rydberg, Klein und Rees) oder das Lennard-Jones-Potential angewendet.

Literatur

• Wolfgang Demtröder: Molekülphysik: Theoretische Grundlagen und experimentelle Methoden. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2003, ISBN 978-3-486-24974-3, S. 93–94. 
• Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer, Wilhelm Raith, Mit Beitragen Von H. Kleinpoppen, M. Fink, N. Risch: Bestandteile der Materie: Atome, Moleküle, Atomkerne, Elementarteilchen. Walter de Gruyter, 2003, ISBN 978-3-11-016800-6, S. 460–462. 
• Gerd Otter, Raimund Honecker: Atome – Moleküle – Kerne: Molekül- und Kernphysik. Vieweg +Teubner, 1996, ISBN 978-3-519-03220-5, S. 152–154. 

Einzelnachweise