Rarita-Schwinger-Gleichung

In der theoretischen Physik ist die Rarita-Schwinger Gleichung (nach William Rarita und Julian Schwinger, die sie 1941 formulierten) eine relativistische Feldgleichung für Spin-3/2-Fermionen. Sie wird gewöhnlich dazu benutzt, zusammengesetzte Teilchen wie das Delta-Baryon zu beschreiben und zu untersuchen, manchmal wird sie auch für hypothetische Teilchenfelder wie das Gravitino verwendet. Bisher konnte allerdings noch kein stabiles Elementarteilchen mit Spin 3/2 experimentell nachgewiesen werden.

Die Rarita-Schwinger-Gleichung ist ähnlich aufgebaut wie die Dirac-Gleichung für Spin-1/2-Fermionen und kann aus dieser hergeleitet werden. In einer modernen Notation wird sie wie folgt angeschrieben:^[1]

$ \left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _{\kappa }\partial _{\rho }+m\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu }=0 $

mit

• $ \epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu } $ das Levi-Civita-Symbol
• $ \gamma _{5} $ und $ \gamma _{\nu } $ Dirac-Matrizen
• $ m $ die Ruhemasse des Fermions
• $ \sigma ^{\mu \nu }\equiv i/2\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right] $
• $ \psi _{\nu } $ eine Wellenfunktion mit dem Lorentzindex $ \nu $. Die Wellenfunktion transformiert bezüglich dieses Index wie ein gewöhnlicher Vierervektor. Jede der vier einzelnen Komponenten der Wellenfunktion transformiert zusätzlich aber auch wie ein Dirac-Spinor. Die Darstellung entspricht damit der $ \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)\otimes \left(\left({\tfrac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\tfrac {1}{2}}\right)\right) $, bzw. $ \left(1,{\tfrac {1}{2}}\right)\oplus \left({\tfrac {1}{2}},1\right) $ Darstellung der Lorentz-Gruppe^[2].

Die Rarita-Schwinger Gleichung kann aus folgender Lagrange-Dichte hergeleitet werden:^[3]

$ {\mathcal {L}}=-{\tfrac {i}{2}}\;{\bar {\psi }}_{\mu }\left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _{\kappa }\partial _{\rho }+m\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu } $

Dabei bezeichnet $ {\bar {\psi }}_{\mu } $ den adjungierten Spinor zu $ \psi _{\mu } $.

Wie in der Dirac-Gleichung kann die Wechselwirkung mit einem elektromagnetischen Feld durch die eichinvariante minimale Kopplung

$ \partial _{\mu }\rightarrow D_{\mu }=\partial _{\mu }+iqA_{\mu } $

berücksichtigt werden. Die Rarita-Schwinger-Gleichung hat für Teilchen mit Ruhemasse 0 eine Eichsymmetrie bezüglich der Eichtransformation $ \psi _{\mu }\rightarrow \psi _{\mu }+\partial _{\mu }\epsilon $. Dabei ist $ {\mathcal {\epsilon }} $ ein frei wählbares, komplexes Eichfeld.

Von der Rarita-Schwinger-Gleichung existieren auch Weyl- und Majorana-Darstellungen, die sich bezüglich der physikalischen Ergebnisse nicht von der Originalgleichung unterscheiden.

Literatur

• W. Rarita and J. Schwinger, On a Theory of Particles with Half-Integral Spin. Phys. Rev. 60, 61 (1941).
• Collins P.D.B., Martin A.D., Squires E.J., Particle physics and cosmology (1989) Wiley, Section 1.6.
• G. Velo, D. Zwanziger, Propagation and Quantization of Rarita-Schwinger Waves in an External Electromagnetic Potential, Phys. Rev. 186, 1337 (1969).
• G. Velo, D. Zwanziger, Noncausality and Other Defects of Interaction Lagrangians for Particles with Spin One and Higher, Phys. Rev. 188, 2218 (1969).
• M. Kobayashi, A. Shamaly, Minimal Electromagnetic coupling for massive spin-two fields, Phys. Rev. D 17,8, 2179 (1978).

Bücher

• Walter Greiner: Theoretische Physik. Band 6: Relativistische Quantenmechanik. Wellengleichungen. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Deutsch, Thun u. a. 1987, ISBN 3-8171-1022-7.

Referenzen