Relativistischer Impuls

Bei Stößen und anderen Wechselwirkungen von Teilchen erweist sich der Impuls als additive Erhaltungsgröße: Die Summe der anfänglichen Impulse stimmt mit der Summe der Impulse nach der Wechselwirkung überein.

In der speziellen Relativitätstheorie hängt der Impuls $ \mathbf {p} $ eines Teilchens der Masse $ m $ nichtlinear von der Geschwindigkeit $ \mathbf {v} $ ab:

$ \mathbf {p} =\gamma m\mathbf {v} ={\frac {m\,\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{c^{2}}}}}} $

Dabei ist $ \gamma $ der Lorentzfaktor.

Für nicht-relativistische Geschwindigkeiten $ (v\ll c) $ ist $ \gamma $ gleich 1. So erhält man für kleine Geschwindigkeiten annähernd den klassischen Impuls wie in der Newtonschen Mechanik:

$ \mathbf {p} _{\text{Newton}}=m\,\mathbf {v} $

Nach dem Noether-Theorem gehört zur Impulserhaltung die Symmetrie der Wirkung unter räumlichen Verschiebungen.

Wird durch eine Kraft $ \mathbf {F} $ Impuls im Laufe der Zeit auf ein Teilchen übertragen, so ändert sich dadurch sein Impuls. Kraft ist Impulsübertrag pro Zeit:

$ \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}} $

Herleitung

Wie der Impuls und die Energie eines Teilchens der Masse $ m $ in relativistischer Physik von der Geschwindigkeit $ \mathbf {v} $ abhängen, folgt daraus, dass diese Größen für jeden Beobachter additive Erhaltungsgrößen sind.

Es ergibt sich auch aus der Wirkung

$ S[\mathbf {X} ]=\int \,{\mathcal {L}}{\bigl (}t,\mathbf {x} (t),{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}(t){\bigr )}\,\mathrm {d} t $

mit der Lagrangefunktion

$ {\mathcal {L}}(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )=-m\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{c^{2}}}}}. $

Da die Lagrangefunktion nicht vom Ort $ \mathbf {x} $ abhängt, (das heißt, die Komponenten $ x^{i}\,,i=1,2,3\,, $ sind zyklisch), ist die Wirkung invariant unter räumlichen Verschiebungen. Die nach dem Noether-Theorem zugehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß der Impuls. Im vorliegenden Fall ist dies der zu $ \mathbf {x} $ konjugierte Impuls mit Komponenten

$ p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v^{i}}}={\frac {m\,v^{i}}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}, $ also

$ \mathbf {p} ={\frac {m\,\mathbf {v} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}\,. $

Da die Lagrangefunktion nicht von der Zeit $ t $ abhängt, ist nach dem Noether-Theorem die Energie

$ E=v^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v^{i}}}-{\mathcal {L}}={\frac {m\,c^{2}}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}} $

erhalten. Fassen wir hier die Geschwindigkeit als Funktion des Impulses auf,

$ \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {p} }{\sqrt {m^{2}+\mathbf {p} ^{2}/c^{2}}}}, $

wie sie sich umgekehrt aus $ \mathbf {p} (\mathbf {v} ) $ ergibt, so erhalten wir die Energie als Funktion der Phasenraumvariablen, die Hamilton-Funktion

$ H(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}. $

Die Energie und der Impuls erfüllen also die Energie-Impuls-Beziehung und liegen auf der Massenschale.