Brillouin-Funktion

Brillouin-Funktion
für verschiedene Werte von J

Die Brillouin-Funktion $B (x)$ (nach dem französisch-amerikanischen Physiker Léon Brillouin) ist eine spezielle Funktion, die aus der quantenmechanischen Beschreibung eines Paramagneten hervorgeht:

\begin{aligned} B_{J} (x) & = \frac{2 J + 1}{2 J} \cdot \coth (\frac{2 J + 1}{2 J} x) - \frac{1}{2 J} \cdot \coth (\frac{1}{2 J} x) \\ = (1 + \frac{1}{2 J}) \cdot \coth [(1 + \frac{1}{2 J}) x] - \frac{1}{2 J} \cdot \coth (\frac{1}{2 J} x) \end{aligned}

Dabei bezeichnet J in der physikalischen Anwendung die Gesamtdrehimpulsquantenzahl.

Bei der Beschreibung eines Paramagneten ist es sinnvoll, den Parameter $ξ$ einzuführen:

ξ = \frac{m B}{k_{B} T} = \frac{g μ_{B} J B}{k_{B} T}

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

m – Magnetisches Moment eines Teilchens
B – Betrag des angelegten äußeren Magnetfeldes
$k_{B}$ – Boltzmann-Konstante
T – Absolute Temperatur
g – Landé-Faktor
$μ_{B}$ – Bohrsches Magneton
$\coth$ - Kotangens Hyperbolicus.

Mit dem Parameter $ξ$ kann die Magnetisierung M eines Paramagneten mit der Stoffmenge N in einem äußeren Magnetfeld formuliert werden:

M = N m B_{J} (ξ) \Leftrightarrow B_{J} (ξ) = \frac{M}{N m} .

Eine weitere, halb-klassische Beschreibung eines Paramagneten geschieht mit Hilfe der Langevin-Funktion $L$ , die sich im Limes $J \to \infty$ und zugleich $g μ_{B} \to 0$ aus der Brillouin-Funktion ergibt (wobei das magnetische Gesamtmoment konstant bleibt):

M = N m L (ξ) \Leftrightarrow L (ξ) = \frac{M}{N m} .

Literatur

Torsten Fließbach: Statistische Physik – Lehrbuch zur Theoretischen Physik IV. Elsevier-Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2006.

Weblinks