Quantenstatistik des Zwei-Zustands-Systems

Dieser Artikel leitet für ein Zwei-Niveau-System wichtige quantenstatistische Ergebnisse her. Da es keine realen Zwei-Niveau-Systeme gibt, ist das Modell rein theoretisch, ein sogenanntes Toy-Modell. Die Ergebnisse gelten aber näherungsweise für zwei gut isolierte Energieniveaus.

Modellbeschreibung

Darstellung des Toy-Modells

Das Modell geht von n Teilchen mit je zwei möglichen Energieniveaus aus. Um die Beschreibung zu vereinfachen, legen wir unseren Energienullpunkt auf das untere Energieniveau. Dann ist das obere Energieniveau auf einer Energie $ E_{0} $. Das heißt nun, jedes unserer Teilchen kann entweder die Energie 0 oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_0 haben.

Energie des Systems

Der Hamiltonoperator eines solchen Systems ist leicht aufzustellen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H = \sum_{k=1}^n {E_0*\hat n_k}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat n_k ein Operator ist, welcher angibt, ob das k-te Teilchen im angeregten Zustand ist oder nicht.

Berechnung der Zustandssummen

Die Zustandssumme erhält man durch Einsetzen des Hamiltonoperators in die kanonische Zustandssumme :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z_k(N,V,T) = \operatorname{Sp} (\mathrm{e}^{-\frac{\hat H}{k_\mathrm{B}T}}).

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z_k(N,V,T) = \operatorname{Sp} (\mathrm{e}^{-\frac{\sum_{k=1}^n {E_0*\hat n_k}}{k_\mathrm{B}T}}).

Die Summe kann aus der Exponentialfunktion gezogen werden und wird zum Produkt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z_k(N,V,T) = \prod_{k=1}^n \operatorname{Sp} (\mathrm{e}^{-\frac{ {E_0*\hat n_k}}{k_\mathrm{B}T}}).

Nun ersetzen wir die Spur durch eine Summe über n_k und den Operator $ {\hat {n}}_{k} $ durch seinen Eigenwert n_k.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z_k(N,V,T) = \prod_{k=1}^n \sum_{n_k}(\mathrm{e}^{-\frac{ {E_0*n_k}}{k_\mathrm{B}T}}).

Analog erhält man für die großkanonische Zustandssumme :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z_g(\mu,V,T) = \prod_{k=1}^n \sum_{n_k}(\mathrm{e}^{-\frac{ {(E_0 - \mu) n_k}}{k_\mathrm{B}T}}).

Benötigt wird dazu der Teilchenzahloperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat n = \sum_{k=0}^n \hat n_k , dieser wird für n in die allgemeine Formel für die großkanonische Zustandssumme Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z_k(N,V,T) = \operatorname(Sp)(\mathrm{e}^{-\frac{ {\hat H - \mu \hat n}}{k_\mathrm{B}T}}) eingesetzt.

Bosonen

Die so erhaltene großkanonische Zustandssumme formen wir noch um. Das beschriebene System enthält n Teilchen auf zwei Energieniveaus, also sind meist mehrere Teilchen in einem Niveau, somit handelt es sich um ein bosonisches System. Die Summe über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_k kann also von Null bis Unendlich laufen. Für jeden Summanden sieht man aber, dass immer gleiche Energieterme multipliziert werden. Daher kann man die Exponentialfunktion auch umschreiben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z_g(\mu,V,T) = \prod_{k=1}^n \sum_{n_k}(\mathrm{e}^{-\frac{ {(E_0 - \mu)}}{k_\mathrm{B}T}})^{n_k} .

Diese Form erkennen wir als geometrische Reihe. Daraus folgt :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z_g(\mu,V,T) = \prod_{k=1}^n \frac{ {1}}{1-(\mathrm{e}^{-\frac{\hat E_0 - \mu}{k_\mathrm{B}T}})} . (Bosonische Zustandssumme)

Fermionen

Um die fermionische Zustandssumme zu bekommen, benötigen wir einen Trick. Das System wird nur fermionisch, wenn sich in jedem Zustand maximal ein Teilchen befindet. Dazu betrachten wir unser System für $ n=1 $, also für ein einziges Teilchen. Dadurch fällt unser Produkt erstmal weg, und die Summe über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_k enthält nur noch zwei Möglichkeiten: Das Teilchen ist angeregt oder nicht. Daher kann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_k nur noch 0 oder 1 sein.

Die Zustandssumme wird dann zu :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z_g(\mu,V,T) = \sum_{n_k=0}^1 (\mathrm{e}^{-\frac{ {(E_0 - \mu) n_k}}{k_\mathrm{B}T}}).

Einsetzen von n_k liefert :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z_g(\mu,V,T) = 1 + (\mathrm{e}^{-\frac{ {(E_0 - \mu)}}{k_\mathrm{B}T}}).

Dabei wurde benutzt das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{e}^0 = 1 ist.

Dies gibt uns die Zustandssumme für ein Teilchen. Wir verlassen an dieser Stelle unser Modell und sagen, wir wollten ursprünglich ein n-Teilchen-System beschreiben. Indem wir ein System aus n Modellen mit je einem Teilchen betrachten, erhalten wir ein fermionisches System. Die Zustandssumme des Gesamtsystems besteht also aus n Faktoren, die jeweils unser bisheriges Ergebnis darstellen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z_g(\mu,V,T) = \prod_{k=1}^n (1 + (\mathrm{e}^{-\frac{ {(E_0 - \mu)}}{k_\mathrm{B}T}})). (Fermionische Zustandssumme)

Thermodynamisches Potential

Wir berechnen das Thermodynamische Potential über:

$ \Omega (T,V,\mu )=-k_{\mathrm {B} }T\log({Z_{g}}). $

Bosonen

Einsetzen der vorher berechneten großkanonischen Zustandssumme liefert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega(T,V,\mu) = -k_\mathrm{B}T \log ({ \prod_{k=1}^n \frac{ {1}}{1-(\mathrm{e}^{-\frac{\hat E_0 - \mu}{k_\mathrm{B}T}})} }).

Das Produkt lässt sich als Summe aus dem Logarithmus ziehen, innen dreht ein Vorzeichenwechsel den Bruch um. Es folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega(T,V,\mu) = k_\mathrm{B}T \sum_{k=1}^n \log (1-(\mathrm{e}^{-\frac{\hat E_0 - \mu}{k_\mathrm{B}T}})).

Fermionen

Durch Einsetzen und Vorziehen der Summe ergibt sich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega(T,V,\mu) = -k_\mathrm{B}T \sum_{k=1}^n \log (1+(\mathrm{e}^{-\frac{\hat E_0 - \mu}{k_\mathrm{B}T}})).

Wir sehen, dass das Potential bis auf die Vorzeichen gleich ist.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega(T,V,\mu) = ^+_-k_\mathrm{B}T \sum_{k=1}^n \log (1^-_+(\mathrm{e}^{-\frac{\hat E_0 - \mu}{k_\mathrm{B}T}})) ^{Bosonen}_{Fermionen}.

Verteilungsfunktionen

Man erhält den Erwartungswert für die Teilchenzahl, indem man das thermodynamische Potential nach dem negativen chemischen Potential ableitet.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): <\hat N> = - (\frac{\partial \Omega}{\partial \mu})_{\beta,V} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta = \frac{1}{k_\mathrm{B}T}.

Bosonen

Die Ableitung des Logarithmus liefert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{1-(\mathrm{e}^{-\frac{\hat E_0 - \mu}{k_\mathrm{B}T}})}.

Die innere Ableitung gibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\frac{1}{k_\mathrm{B}T}\mathrm{e}^{-\frac{\hat E_0 - \mu}{k_\mathrm{B}T}}.

Zusammengefasst erhalten wir dann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): <\hat N> = \frac{k_\mathrm{B}T}{k_\mathrm{B}T}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1-(\mathrm{e}^{-\frac{\hat E_0 - \mu}{k_\mathrm{B}T}})}\mathrm{e}^{-\frac{\hat E_0 - \mu}{k_\mathrm{B}T}}.

Nach Kürzen von k_BT und Zusammenfassen des Bruchs erhalten wir die Bose-Verteilung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): <\hat N> = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(\mathrm{e}^{\frac{\hat E_0 - \mu}{k_\mathrm{B}T}})-1}. (Bose-Verteilung)

Fermionen

Analog erhält man durch Einsetzen des Potentials für Fermionen nach dem Ableiten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): <\hat N> = \frac{k_\mathrm{B}T}{k_\mathrm{B}T}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+(\mathrm{e}^{-\frac{\hat E_0 - \mu}{k_\mathrm{B}T}})}\mathrm{e}^{-\frac{\hat E_0 - \mu}{k_\mathrm{B}T}}.

Zusammenfassen liefert nun die Fermi-Verteilung:

$ <{\hat {N}}>=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(\mathrm {e} ^{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}})+1}}. $ (Fermi-Verteilung)

Auch hier sehen wir, dass sich die Verteilungen nur um ein Vorzeichen unterscheiden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): <\hat N> = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(\mathrm{e}^{\frac{\hat E_0 - \mu}{k_\mathrm{B}T}})^+_-1}.

Aus dem Modell ergeben sich also die allgemein gültigen Fermi- und Bose-Verteilungen. Diese sind für das Modell aber nur begrenzt sinnvoll, da für hohe Temperaturen fast alle Teilchen im angeregten Zustand sind, und das Modell damit seinen Sinn verliert.