Rayleigh-Ritz-Prinzip

Das Rayleigh-Ritz-Prinzip (auch Verfahren von Ritz oder Rayleigh-Ritzsches Variationsverfahren) ist ein Variationsprinzip zur Bestimmung des kleinsten Eigenwerts eines Eigenwertproblems. Es geht auf The Theory of Sound von John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (1877) zurück und wurde 1908 vom Mathematiker Walter Ritz als mathematisches Verfahren veröffentlicht.^[1]

Es sei $$ H $$ ein selbstadjungierter Operator mit Definitionsbereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D(H) in einem Hilbertraum. Dann ist das Infimum des Spektrums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma(H) gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_0 = \inf \sigma(H) = \inf_{\psi\in D(H)\setminus\{0\}}\frac{\langle\psi, H\psi\rangle}{\langle\psi,\psi\rangle} .

Ist das Infimum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_0 ein Eigenwert, so erhält man die Ungleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_0 \leq \frac{\langle\psi, H\psi\rangle}{\langle\psi,\psi\rangle}

mit Gleichheit genau dann, wenn $\psi$ ein Eigenvektor zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_0 ist. Der Quotient auf der rechten Seite ist als Rayleigh-Quotient bekannt.

In der Praxis eignet es sich auch als Näherungsverfahren, indem man einen Ansatz für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi mit unbestimmten Parametern macht und die Parameter so optimiert, dass der Rayleigh-Quotient minimal wird. Statt über Vektoren im Definitionsbereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D(H) kann man auch über Vektoren im quadratischen Formenbereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q(H) optimieren, was dann einer schwachen Formulierung des Eigenwertproblems entspricht.

Anwendungen

Das Prinzip kommt beispielsweise bei der Berechnung von Parametern des Schwingungsverhaltens von elastischen Platten, aber auch anderer elastischer Körper (wie etwa Balken), zur Anwendung, wenn exakte Lösungen nicht mehr mit elementaren Rechenmethoden zu erreichen sind.

Grundgedanke ist das Gleichgewicht der potenziellen Kräfte von äußeren, eingeprägten und inneren Kräften. Diese Potenziale werden durch Verformungsgrößen ausgedrückt (z. B. Durchbiegung). Die Spannungen werden dabei durch Dehnungen oder Scherungen nach dem Hookeschen Gesetz ausgedrückt.

In der Quantenmechanik besagt das Prinzip, dass für die Gesamtenergie ${\mathcal {}}E_{0}$ des Systems im Grundzustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi_0\rangle (also für den diesbezüglichen Erwartungswert des Hamilton-Operators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H ) und für beliebige Wellenfunktionen bzw. Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi\rangle der Erwartungswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle\psi|\hat H|\psi\rangle größer oder gleich (gleich im Fall der exakten Grundzustandswellenfunktion) der Grundzustandsenergie des Systems ist:

E_{0}\leq \langle {\hat {H}}\rangle [\psi ]\,:=\,\langle \psi |{\hat {H}}|\psi \rangle ,\qquad \|\psi \|=1.

In der Regel ist der Hamilton-Operator dabei nach unten beschränkt und hat an der unteren Grenze des Spektrums einen (nicht entarteten) Eigenwert („Grundzustand“). Die Probe-Wellenfunktion kann zwar von der exakten Grundzustandsfunktion erheblich abweichen, wird ihr aber umso ähnlicher, je näher die berechnete Gesamtenergie an der Grundzustandsenergie ist.

Ritz-Verfahren

Das Ritz'sche Variationsverfahren^[2] wendet das Rayleigh-Ritz-Prinzip direkt an. Dazu wird eine Familie von Testvektoren, die über einen Satz von Parametern β variiert werden, verwendet. So kann eine (nicht notwendig endliche) Menge von Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_n gewählt werden und der Testvektor als Linearkombination dargestellt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_{\vec\beta}=\sum_n \beta_n\psi_n

Oder man wählt eine Familie von Funktionen, die über einen Parameter variiert werden, wie etwa Gauß-Kurven mit verschiedener Breite Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_{\beta}(x)=\frac{1}{\beta\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\left[-\frac{x^2}{2\beta^2}\right]

Nun setzt man diese Funktionen in obigen Ausdruck ein und sucht den minimalen Wert von $\langle {\hat {H}}\rangle [\psi _{\beta }]$ . Im einfachsten Fall kann dies durch Differentiation nach dem Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta geschehen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\beta}\langle \hat H\rangle[\psi_\beta]=0

Löst man diese Gleichung, so erhält man für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta einen Wert, für den die Grundzustandsenergie minimiert wird. Mit diesem Wert hat man eine Näherungslösung, weiß aber nicht, wie gut der Ansatz wirklich ist, weshalb man von „unkontrollierten Verfahren“ spricht. Immerhin kann man den Minimalwert als „beste Annäherung“ an die tatsächliche Grundzustandsenergie benutzen.

Zum Beweis

Das Prinzip ist unmittelbar einsichtig, wenn man voraussetzt, dass es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_n von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H mit zugehörigen Eigenwerten $E_{n}$ gibt. Diese Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_0 \le E_1 \leq \cdots seien geordnet, dann erhält man durch Entwicklung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi= \sum_n \langle \psi_n, \psi\rangle \psi_n

eines beliebigen Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi nach dieser Orthonormalbasis

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \langle \psi, H\psi \rangle &= \sum_n \langle \psi,H \psi_n\rangle \langle \psi_n,\psi\rangle \\ &= \sum_n E_n \langle\psi, \psi_n\rangle \langle \psi_n,\psi \rangle \\ &\geq E_0\sum_n\langle \psi, \psi_n\rangle \langle \psi_n,\psi \rangle \\ &= E_0 \langle \psi,\psi \rangle \,. \end{align}

Im allgemeinen Fall eines beliebigen Spektrums kann zum Beweis ein analoges Argument gemacht werden, indem man gemäß dem Spektralsatz die Summe durch ein Integral über die Spektralschar ersetzt.

Erweiterungen

Eine Erweiterung ist der Satz von Courant-Fischer,^[3] der ein Variationsprinzip für alle Eigenwerte unterhalb des wesentlichen Spektrums darstellt. Eine exakte Abschätzung eines Eigenwerts nach oben und unten liefert die Temple-Ungleichung.^[4]^[5]

Literatur

Hans Cycon, Richard G. Froese, Werner Kirsch, Barry Simon: Schrödinger Operators, Springer 1987
Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, 4 Bände, Academic Press 1978, 1980
John William Strutt, 3. Baron Rayleigh, The Theory of Sound, 1877
W. Ritz: Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik ISSN 0075-4102, Bd. 135, 1908, S. 1–61
W. Ritz: Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien Rändern. In: Annalen der Physik ISSN 0003-3804, (4. Folge) Bd. 28, 1909, S. 737–786
G.M. Vainikko: Ritz method. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online).
Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators, American Mathematical Society, 2009 (Freie Online-Version)
Karl-Eugen Kurrer: Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht, Ernst und Sohn, Berlin 2016, S. 519ff, ISBN 978-3-433-03134-6.

Einzelnachweise

↑ W.B. Krätziget al.: Tragwerke 2. Theorie und Berechnungsmethoden statisch unbestimmter Stabtragwerke. Gabler Wissenschaftsverlage, 2004, ISBN 978-3-540-67636-2, S. 232 (online [abgerufen am 7. April 2012]).
↑ J.K. MacDonald, Successive Approximations by the Rayleigh-Ritz Variation Method, Physical Review ISSN 0031-899X, Bd. 43, (1933), S. 830–833.
↑ Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics. With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society, 2009, ISBN 978-0-8218-4660-5, S. 119 (online [abgerufen am 7. April 2012] Theorem 4.10).
↑ George Temple: The theory of Rayleigh's principle as applied to continuous systems. In: Proc. Roy. Soc. London. Ser. A 119, 1928, S. 276–293.
↑ Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics. With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society, 2009, ISBN 978-0-8218-4660-5, S. 120 (online [abgerufen am 7. April 2012] Theorem 4.13).

[1] W.B. Krätziget al.: Tragwerke 2. Theorie und Berechnungsmethoden statisch unbestimmter Stabtragwerke. Gabler Wissenschaftsverlage, 2004, ISBN 978-3-540-67636-2, S. 232 (online [abgerufen am 7. April 2012]).

[2] J.K. MacDonald, Successive Approximations by the Rayleigh-Ritz Variation Method, Physical Review ISSN 0031-899X, Bd. 43, (1933), S. 830–833.

[3] Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics. With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society, 2009, ISBN 978-0-8218-4660-5, S. 119 (online [abgerufen am 7. April 2012] Theorem 4.10).

[4] George Temple: The theory of Rayleigh's principle as applied to continuous systems. In: Proc. Roy. Soc. London. Ser. A 119, 1928, S. 276–293.

[5] Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics. With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society, 2009, ISBN 978-0-8218-4660-5, S. 120 (online [abgerufen am 7. April 2012] Theorem 4.13).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]