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Ein '''gebundener Zustand''' oder auch '''Bindungszustand''' ist in der [[Physik]] ein Verbund aus zwei oder mehr [[ | Ein '''gebundener Zustand''' oder auch '''Bindungszustand''' ist in der [[Physik]] ein Verbund aus zwei oder mehr [[Körper (Physik)|Körpern]] oder [[Teilchen]], die sich wie ein einziges Objekt verhalten. Die Abgrenzung kann gegenüber dem Zustand gelten, in dem ein einzelnes (elementares oder zusammengesetztes) Teilchen von den anderen entfernt ([[Freies Teilchen|frei]]) ist, oder auch gegenüber dem Fall, dass sämtliche Teile des Ganzen voneinander entfernt sind (''dispers''). Ein gebundener Zustand ist im Allgemeinen stabil, also ein [[stationärer Zustand]] mit unendlicher Lebensdauer.<ref>{{Literatur|Autor=Albert Messiah|Titel=Quantenmechanik|Verlag=Walter de Gruyter|Jahr=1991|ISBN=3-11-011452-6|Seiten=358|Online={{Google Buch|BuchID=qkpwhsrLc8AC|Seite=358}}}}</ref> | ||
In der [[Quantenmechanik]] ist (sofern die [[Teilchenzahl]] erhalten bleibt) der gebundene Zustand ein Zustand im [[Hilbertraum]], der zu zwei oder mehr Teilchen korrespondiert, | In der [[Quantenmechanik]] ist (sofern die [[Teilchenzahl]] erhalten bleibt) der gebundene Zustand ein Zustand im [[Hilbertraum]], der zu zwei oder mehr Teilchen korrespondiert, deren Wechselwirkungsenergie negativ ist. Daher können die Teilchen nicht getrennt werden, solange keine [[Energie]] aufgewendet wird. Diese zum Lösen der Bindung nötige Energie heißt [[Bindungsenergie]]. Die [[Energieniveau]]s des gebundenen Zustands sind, im Gegensatz zum kontinuierlichen Spektrum einzelner Teilchen, [[diskret]]. | ||
Im Allgemeinen kann ein stabiler gebundener Zustand in einem [[Potential (Physik)|Potenzial]] existieren, wenn es eine [[stehende Welle|stehende]] [[Wellenfunktion]] gibt. Die Energien dieser Wellenfunktionen sind negativ. | Im Allgemeinen kann ein stabiler gebundener Zustand in einem [[Potential (Physik)|Potenzial]] existieren, wenn es eine [[stehende Welle|stehende]] [[Wellenfunktion]] gibt. Die Energien dieser Wellenfunktionen sind negativ. | ||
Es gibt auch [[ | Es gibt auch [[Chemische Stabilität|instabile]] gebundene Zustände mit positiver Wechselwirkungsenergie. Das ist möglich, wenn eine [[Potentialbarriere|Energiebarriere]] vorhanden ist, die für den [[Zerfallskanal|Zerfall]] [[Tunneleffekt|durchtunnelt]] werden muss. Dies ist der Fall für einige [[Radionuklid]]e in ihrem [[Grundzustand]] und allgemein für viele [[Angeregter Zustand|angeregte Zustände]] von [[Atomkern]]en. | ||
In [[Relativitätstheorie|relativistischen]] [[Quantenfeldtheorie]]n zeigt sich ein gebundener Zustand mit ''n'' Teilchen der Massen ''m''<sub>1</sub>, …, ''m''<sub>''n''</sub> als ein [[Polstelle|Pol]] in der [[S-Matrix]] mit einer [[ | In [[Relativitätstheorie|relativistischen]] [[Quantenfeldtheorie]]n zeigt sich ein gebundener Zustand mit ''n'' Teilchen der Massen ''m''<sub>1</sub>, …, ''m''<sub>''n''</sub> als ein [[Polstelle|Pol]] in der [[S-Matrix]] mit einer [[Masse (Physik)|Masse]], die kleiner ist als ''m''<sub>1</sub>+…+''m''<sub>''n''</sub> ([[Massendefekt]]). Ein instabiler gebundener Zustand (siehe [[Resonanz #Kernphysik|Resonanz]]) stellt sich als Pol mit [[Komplexe Zahl|komplexer]] Schwerpunktmasse dar. | ||
== Beispiele == | == Beispiele == | ||
{{Wechselwirkung Teilchen Kräfte}} | |||
* Ein [[Proton]] und ein [[Elektron]] können sich unabhängig voneinander bewegen; als Gesamtsystem haben sie dann positive Energie. | * Ein [[Proton]] und ein [[Elektron]] können sich unabhängig voneinander bewegen; als Gesamtsystem haben sie dann positive Energie. Bilden sie jedoch unter dem Einfluss der [[Coulombkraft]] einen gebundenen Zustand, das [[Wasserstoffatom]], wird die Energie negativ. Dabei ist nur der Zustand mit der kleinsten (also negativsten) Energie, der [[Grundzustand]], stabil. Alle anderen, [[angeregter Zustand|angeregten]] Zustände sind instabil und zerfallen in den Grundzustand. Dabei werden [[Photon]]en [[Spontane Emission|emittiert]]. | ||
* Ein [[Atomkern]] ist ein gebundener Zustand von [[Proton]]en und [[Neutron]]en. | * Ein [[Atomkern]] ist ein gebundener Zustand von [[Proton]]en und [[Neutron]]en. | ||
* Ein [[Positronium]]-Atom ist ein instabiler gebundener Zustand eines [[Elektron]]s und eines [[Positron]]s. Es zerfällt in (meist) zwei Photonen. | * Ein [[Positronium]]-Atom ist ein instabiler gebundener Zustand eines [[Elektron]]s und eines [[Positron]]s. Es zerfällt in (meist) zwei Photonen. | ||
* Das [[Proton]] ist ein Bindungszustand von drei [[ | * Das [[Proton]] ist ein Bindungszustand von drei [[Quark (Physik)|Quarks]] (zwei [[Quark (Physik)|up]] und ein [[Quark (Physik)|down]]); jeweils ein Quark hat die [[Quantenchromodynamik|quantenchromodynamische]] Farbe Rot, Grün oder Blau. Anders als beim Wasserstoff können die einzelnen Quarks nie getrennt werden (siehe [[Confinement]]). | ||
== Mathematische Struktur in der Quantenmechanik == | == Mathematische Struktur in der Quantenmechanik == | ||
Sei <math>H</math> ein [[Komplexe Zahlen|komplex]] [[Separabler Raum|separabler]] [[Hilbertraum]], <math> U = \lbrace U(t) \mid t \in \mathbb{R} \rbrace </math> sei eine ein-parametrige [[ | Sei <math>H</math> ein [[Komplexe Zahlen|komplex]] [[Separabler Raum|separabler]] [[Hilbertraum]], <math> U = \lbrace U(t) \mid t \in \mathbb{R} \rbrace </math> sei eine ein-parametrige [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] mit [[unitärer Operator|unitären Operatoren]] auf <math> H </math> und <math>\rho = \rho(t_0) </math> ein statistischer Operator auf <math>H</math>. Sei <math>A</math> eine [[Observable]] auf <math>H</math> und <math>\mu(A,\rho)</math> die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung von <math>A</math> in Bezug auf <math>\rho</math> auf der Borel <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\mathbb{R}</math>. Die Entwicklung von <math>\rho</math> induziert durch <math>U</math> wird '''gebunden''' in Bezug auf <math>A</math> genannt, wenn <math>\lim_{R \rightarrow \infty} \sum_{t \geq t_0} \mu(A,\rho(t))(\mathbb{R}_{> R}) = 0 </math>, wobei <math>\mathbb{R}_{>R} = \lbrace x \in \mathbb{R} \mid x > R \rbrace </math>. | ||
'''Beispiel:''' | '''Beispiel:''' | ||
Sei <math>H = L^2(\mathbb{R}) </math> und <math>A</math> die Orts-Observable. Sei <math>\rho = \rho(0) \in H</math> mit einem [[Kompakter Raum|kompakten]] [[Träger (Mathematik)|Träger]] und <math>[-1,1] \subseteq \mathrm{Supp}(\rho)</math> | Sei <math>H = L^2(\mathbb{R}) </math> und <math>A</math> die Orts-Observable. Sei <math>\rho = \rho(0) \in H</math> mit einem [[Kompakter Raum|kompakten]] [[Träger (Mathematik)|Träger]] und <math>[-1,1] \subseteq \mathrm{Supp}(\rho)</math>. | ||
* Wenn die Zustandsentwicklung <math>\rho</math> | * Wenn die Zustandsentwicklung <math>\rho</math> „das Wellenpaket konstant nach rechts bewegt“, z. B. wenn <math>[t-1,t+1] \in \mathrm{Supp}(\rho(t)) </math> für alle <math>t \geq 0</math>, dann ist <math>\rho</math> in Bezug auf den Ort kein gebundener Zustand. | ||
* Wenn <math>\rho</math> sich mit der Zeit nicht ändert, z.B. <math>\rho(t) = \rho</math> für alle <math>t \geq 0</math>, dann ist <math>\rho</math> in Bezug auf den Ort ein gebundener Zustand. | * Wenn <math>\rho</math> sich mit der Zeit nicht ändert, z. B. <math>\rho(t) = \rho</math> für alle <math>t \geq 0</math>, dann ist <math>\rho</math> in Bezug auf den Ort ein gebundener Zustand. | ||
* Allgemeiner: Wenn die Zeitentwicklung von <math>\rho</math> | * Allgemeiner: Wenn die Zeitentwicklung von <math>\rho</math> „<math>\rho</math> nur innerhalb eines begrenzten Bereiches bewegt“, dann ist <math>\rho</math> ein gebundener Zustand bezogen auf den Ort. | ||
== Einzelnachweise == | == Einzelnachweise == | ||
Ein gebundener Zustand oder auch Bindungszustand ist in der Physik ein Verbund aus zwei oder mehr Körpern oder Teilchen, die sich wie ein einziges Objekt verhalten. Die Abgrenzung kann gegenüber dem Zustand gelten, in dem ein einzelnes (elementares oder zusammengesetztes) Teilchen von den anderen entfernt (frei) ist, oder auch gegenüber dem Fall, dass sämtliche Teile des Ganzen voneinander entfernt sind (dispers). Ein gebundener Zustand ist im Allgemeinen stabil, also ein stationärer Zustand mit unendlicher Lebensdauer.[1]
In der Quantenmechanik ist (sofern die Teilchenzahl erhalten bleibt) der gebundene Zustand ein Zustand im Hilbertraum, der zu zwei oder mehr Teilchen korrespondiert, deren Wechselwirkungsenergie negativ ist. Daher können die Teilchen nicht getrennt werden, solange keine Energie aufgewendet wird. Diese zum Lösen der Bindung nötige Energie heißt Bindungsenergie. Die Energieniveaus des gebundenen Zustands sind, im Gegensatz zum kontinuierlichen Spektrum einzelner Teilchen, diskret.
Im Allgemeinen kann ein stabiler gebundener Zustand in einem Potenzial existieren, wenn es eine stehende Wellenfunktion gibt. Die Energien dieser Wellenfunktionen sind negativ.
Es gibt auch instabile gebundene Zustände mit positiver Wechselwirkungsenergie. Das ist möglich, wenn eine Energiebarriere vorhanden ist, die für den Zerfall durchtunnelt werden muss. Dies ist der Fall für einige Radionuklide in ihrem Grundzustand und allgemein für viele angeregte Zustände von Atomkernen.
In relativistischen Quantenfeldtheorien zeigt sich ein gebundener Zustand mit n Teilchen der Massen m1, …, mn als ein Pol in der S-Matrix mit einer Masse, die kleiner ist als m1+…+mn (Massendefekt). Ein instabiler gebundener Zustand (siehe Resonanz) stellt sich als Pol mit komplexer Schwerpunktmasse dar.
Vorlage:Wechselwirkung Teilchen Kräfte
Sei $ H $ ein komplex separabler Hilbertraum, $ U=\lbrace U(t)\mid t\in \mathbb {R} \rbrace $ sei eine ein-parametrige Gruppe mit unitären Operatoren auf $ H $ und $ \rho =\rho (t_{0}) $ ein statistischer Operator auf $ H $. Sei $ A $ eine Observable auf $ H $ und $ \mu (A,\rho ) $ die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung von $ A $ in Bezug auf $ \rho $ auf der Borel $ \sigma $-Algebra auf $ \mathbb {R} $. Die Entwicklung von $ \rho $ induziert durch $ U $ wird gebunden in Bezug auf $ A $ genannt, wenn $ \lim _{R\rightarrow \infty }\sum _{t\geq t_{0}}\mu (A,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})=0 $, wobei $ \mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace $.
Beispiel: Sei $ H=L^{2}(\mathbb {R} ) $ und $ A $ die Orts-Observable. Sei $ \rho =\rho (0)\in H $ mit einem kompakten Träger und $ [-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho ) $.