Bohr-sommerfeldsches Atommodell: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 20. Dezember 2021, 19:28 Uhr

Sommerfeldmodell ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel. Zum Sommerfeldmodell in der Festkörperphysik siehe Sommerfeld-Theorie der Metalle.

Das bohr-sommerfeldsche Atommodell, sommerfeldsche Atommodell oder die Sommerfeld-Erweiterung ist eine physikalische Beschreibung der Elektronenbahnen in einem Atom. Es wurde 1915/16 von Arnold Sommerfeld vorgeschlagen und stellt eine Verfeinerung des bohrschen Atommodells dar.

Überblick

Das bohr-sommerfeldsche Atommodell von 1916 baut auf dem bohrschen Modell von 1913 auf und ist damit eine der älteren Quantentheorien vor Entwicklung der Quantenmechanik. Es wird angenommen, dass sich die Elektronen um den Atomkern auf wohldefinierten Bahnen bewegen, die sich aus den Bewegungsgleichungen zunächst der klassischen Mechanik ergeben, also auf den aus der Planetenbewegung bekannten Ellipsen. Quantentheoretische Prinzipien werden durch zusätzliche Quantisierungsbedingungen (Bohr-Sommerfeld-Quantisierung) eingeführt. Diese führen dazu, dass von allen Bahnen, die nach der klassischen Mechanik möglich wären, nur eine kleine Auswahl erlaubt ist. Insbesondere können auch die mit der Bahnbewegung verbundenen Erhaltungsgrößen (Energie und Drehimpuls) nicht mehr beliebige, sondern nur noch bestimmte, diskrete Werte annehmen, sie sind also „gequantelt“. Beim Drehimpulsvektor betrifft die Quantelung nicht nur den Betrag, sondern auch die Komponente längs einer vorgewählten z-Achse, anschaulich gesprochen also den Winkel zwischen Drehimpuls und z-Achse (Richtungsquantelung).

Der unmittelbare Fortschritt des sommerfeldschen Atommodells gegenüber dem bohrschen Atommodell bestand vor allem darin, dass es die Feinstruktur des Wasserstoffspektrums, d. h. die kleinen Aufspaltungen der klassisch berechneten Energien, berechenbar machte (Feinstrukturkonstante), indem es die Bewegungsgleichung der speziellen Relativitätstheorie berücksichtigt. Die Feinstruktur wird mit der Erhöhung der trägen Masse begründet, welche die spezielle Relativitätstheorie für steigende Geschwindigkeit voraussagt. Bei gleicher Hauptquantenzahl n ist dieser Effekt umso stärker, je näher das Elektron im Perihel am Kern vorbeifliegt, je größer also die numerische Exzentrizität der Ellipse bzw. je kleiner der Bahndrehimpuls ist. Daher haben, anders als nach der klassischen Mechanik, die durch den Bahndrehimpuls unterschiedenen Bahnen zu derselben Hauptquantenzahl nicht mehr exakt das gleiche Energieniveau.

Des Weiteren ergeben sich (bei vorgegebener z-Achse) aus dem sommerfeldschen Atommodell zu jeder Hauptquantenzahl n nicht nur eine mögliche Bahn (wie im bohrschen Atommodell), sondern mehrere Bahnen in bestimmter Anzahl, die später als die Anzahl der zu n-ten Schale gehörenden Atomorbitale erkannt wurde, eine für die Erklärung des Periodensystems der chemischen Elemente zentrale Größe. Aus der Richtungsquantelung ergibt sich weiter, dass magnetische und elektrische Felder bei den Bahnen mit gleicher Hauptquantenzahl und gleichem Drehimpulsbetrag eine zusätzliche Energieaufspaltung bewirken, wie sie als (normaler) Zeeman-Effekt und Stark-Effekt schon beobachtet worden waren.

Das bohr-sommerfeldsche Atommodell hat wegen seiner Anschaulichkeit hohen Erklärungswert; statt der bisher im bohrschen Modell begründeten einzigen Quantenzahl der Elektronenzustände lieferte es richtig alle drei räumlichen Quantenzahlen mit ihren jeweiligen Wertebereichen und ermöglichte damit erstmals eine wenigstens qualitative physikalische Erklärung des Periodensystems.

Das bohr-sommerfeldsche Modell versagt aber wie schon das bohrsche Modell bei allen Berechnungen der Elektronenbewegung, wenn das Atom mehr als ein Elektron besitzt. Dass dieser Fehlschlag von der grundlegenden, aber irrigen Annahme definierter, klassischer Teilchenbahnen herrührte, wurde ab 1925 deutlich, als die neue Quantenmechanik wesentlich mehr Beobachtungen erklären und Vorhersagen machen konnte, und diese sogar zumeist quantitativ richtig. In der Quantenmechanik kann es keine definierten Bahnen mehr geben, was man z. B. an der heisenbergschen Unschärferelation erkennen kann, sondern nur noch Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Geometrie der Elektronenbahnen

Während im Modell von Niels Bohr die möglichen Bahnen des Elektrons Kreise um den Atomkern sind, führte Sommerfeld als Erweiterung zu diesen Kreisbahnen allgemeinere Ellipsenbahnen ein. Der Kern befindet sich nach diesem Modell in einem der beiden Brennpunkte einer Bahnellipse, so dass sich eine geometrische Konfiguration wie bei den Planetenbahnen nach den keplerschen Gesetzen ergibt. Auf diesen Bahnen soll sich – wie im bohrschen Modell – das Elektron stabil bewegen, ohne dass die von der klassischen elektromagnetischen Theorie für diesen Fall geforderte Abstrahlung elektromagnetischer Wellen entsteht.

Das bohr-sommerfeldsche Modell stellt also ein keplersches Planetensystem im Kleinen dar, während das bohrsche Modell der älteren kopernikanischen Vorstellung reiner Kreisbahnen entspricht. Diese Analogie ist naheliegend, da die Kraftfelder der Coulombkraft des Atomkerns und der Gravitation der Sonne die gleiche Form haben:

F\sim {\frac {1}{r^{2}}}.

Bei Berücksichtigung der speziellen Relativitätstheorie ergeben sich Bahnen, die nicht exakt elliptisch sind, aber näherungsweise die Form einer Ellipse haben, deren Hauptachse sich langsam dreht (Periheldrehung).

Bohr-Sommerfeld-Quantisierung

Eine Ellipse kann nicht mehr wie ein Kreis durch einen einzigen Parameter (Radius) beschrieben werden, vielmehr benötigt man dazu zwei (z. B. große und kleine Halbachse). Deshalb sind bei Ellipsenbahnen zwei Quantenzahlen notwendig, um die Form festzulegen. Eine dritte benötigt man für die Orientierung der Bahnebene im Raum. Eine Quantenzahl davon, aber auch nur eine, kann die bohrsche Quantisierung der Kreisbewegung beisteuern, denn im kugelsymmetrischen Potential des Atomkerns besitzen alle Bahnen einen bestimmten Drehimpuls. Sommerfeld verallgemeinerte Bohrs Quantisierung dahingehend, dass jede Koordinate $$ q $$ eine eigene Quantenbedingung erfüllen muss:

\oint p\,dq=nh.

Darin ist

$\oint$ ein Phasenintegral
$$ q $$ eine Koordinate
$$ p $$ ihr kanonisch zugeordneter Impuls
$n=1,\,2,\,\dots$ eine natürliche Zahl, die Quantenzahl der Koordinate $$ q $$
$$ h $$ das plancksche Wirkungsquantum.

Das Phasenintegral ist ein Kurvenintegral, das die Fläche innerhalb der betreffenden Bahn in der $$ pq $$ -Ebene angibt. Es wird in der Mechanik als die Wirkung bezeichnet, die dieser Bewegung zugeordnet ist.

Im 1-dimensionalen Fall kann $$ q $$ einfach die $$ x $$ -Koordinate und $$ p $$ der gewöhnliche Impuls sein. Dann ergibt sich aus der Quantenbedingung z. B. sofort die Quantisierung des harmonischen Oszillators mit Energiestufen $$ hf $$ . Durch kanonische Transformation kann man jedoch zu anderen Variablen kommen, die dann automatisch die gleiche Bedingung erfüllen.

Bei Bewegung in zwei oder drei Dimensionen kann man als Koordinate z. B. einen Drehwinkel $\alpha$ wählen, wozu als kanonischer Impuls dann der Drehimpuls $\,l$ gehört. Das Wirkungsintegral für einen vollen Umlauf ist dann

\oint p\,dq=\int _{2\pi }l\,d\alpha =2\pi l,

und es ergibt sich die Drehimpulsquantisierung wie bei Bohr zu $l=nh/2\pi .$

Quantenzahlen

Sommerfeld betrachtet das System in den drei Kugelkoordinaten (Abstand r und zwei Winkel) und unterwirft jede der neuen Quantisierungsbedingung. So erhält er drei Quantenzahlen: die radiale $n_{r}$ , die azimutale $$ l $$ und die magnetische $m_{l}$ .

Hauptquantenzahl

Die Quantenzahl n, die wie im bohrschen Modell und in den Rydberg-Formeln auch hier die Energie bestimmt, wird nun Hauptquantenzahl genannt und erweist sich als

n=n_{r}+l

bzw. eigentlich als

n=n_{r}+l+1.

Nebenquantenzahl

Die azimutale Quantenzahl $$ l $$ , nun Nebenquantenzahl genannt, gibt den (Bahn-)Drehimpuls $l\hbar$ an ( $\hbar$ ist die plancksche Konstante $$ h $$ geteilt durch $2\pi$ .) Bei gegebenem n kann die Nebenquantenzahl als Werte die natürlichen Zahlen von 1 bis $$ n $$ annehmen:

l=1,2,\ldots ,n,

wobei der größtmögliche Drehimpuls ( $$ l=n $$ ) zur bohrschen Kreisbahn gehört. Ausdrücklich wird der Wert $$ l=0 $$ ausgeschlossen, weil in diesem Fall das Elektron auf einer Geraden hin und her schwingt, die durch den Kern geht.

Datei:Bohr-sommerfeld Atommodell (Elektronenbahnen).svg

Elektronenbahnen für Wasserstoff im bohr-sommerfeldschen Atommodell für n=1,2,3; Skalenwerte in Ångström.

Nach der quantenmechanischen Berechnung, die ab 1925 das Bohr-Sommerfeld-Modell ablöste, ist der Drehimpuls allerdings um genau eine Einheit $\hbar$ geringer und der richtige Wertebereich folglich

l=0,1,\ldots ,(n-1)

(s. auch nebenstehende Abb.). Zu $$ l=0 $$ gehört dabei ein kugelsymmetrisches Orbital.

Magnetische Quantenzahl

Die magnetische Quantenzahl $m_{l}$ bestimmt die Orientierung der Bahnebene gegenüber der z-Achse. Sie gibt den Neigungswinkel $\alpha$ des Drehimpulses $$ l $$ gegen die z-Achse an, bzw. genau genommen die Größe der Projektion des Drehimpulses $$ l $$ auf die z-Achse:

m_{l}=l\cdot \cos \alpha \Leftrightarrow \cos \alpha ={\tfrac {m_{l}}{l}}.

Der Wertebereich dieser Quantenzahl ist

m_{l}=\,-l,\,-(l-1),\,\ldots \,,(l-1),\,l,

insgesamt $$ 2l+1 $$ verschiedene Werte von genau parallel bis zu genau antiparallel zur z-Achse. Damit ist die Richtungsquantelung vorhergesagt, denn es gibt nur diese Einstellmöglichkeiten. (Die Quantenmechanik gibt dem Drehimpulsvektor die Länge ${\sqrt {l(l+1)}}$ statt $$ l $$ , wodurch die beiden extremen Einstellmöglichkeiten $\cos \alpha =\pm {\tfrac {l}{\sqrt {l(l+1)}}}$ doch nicht ganz mit der z-Achse zusammenfallen.)

Das sich um den Atomkern bewegende Elektron bildet einen magnetischen Dipol ${\vec {\mu }}$ , dessen Richtung senkrecht auf der Bahnellipse steht, also parallel zum Vektor ${\vec {l}}$ des Bahndrehimpulses. Bringt man das Atom in ein äußeres Magnetfeld ${\vec {B}}_{\text{ext}}$ (das die z-Achse definiert), dann hängt die Energie des Dipols vom Einstellwinkel ab. Wegen der Richtungsquantelung spaltet die Energie je nach dem Wert der magnetischen Quantenzahl (daher ihr Name) in $$ 2l+1 $$ verschiedene Werte auf (Zeeman-Effekt).

Spinquantenzahl

Neben diesen im bohr-sommerfeldschen Atommodell eingeführten räumlichen Quantenzahlen gibt es für jedes Elektron auch noch die Spinquantenzahl $m_{s}$ , die die stets genau zwei Einstellmöglichkeiten seines Eigendrehimpulses (Spin) angibt. Sie wird mit den Werten +½ oder −½ beziehungsweise den Symbolen ↑ oder ↓ angegeben. Diese Quantenzahl resultiert nicht aus Sommerfelds Quantisierungsbedingungen, sondern wurde später aufgrund sonst unerklärlicher experimenteller Befunde (z. B. geradzahlige Aufspaltung im Stern-Gerlach-Versuch und im anomalen Zeeman-Effekt) ins Modell eingefügt. Die Energie jeder der bisher genannten Bahnen kann dadurch in zwei Energien aufgespalten werden.

Pauli-Verbot

Aufgrund der durch das sommerfeldsche Modell ermöglichten Ordnung im Verständnis des Atomaufbaus konnte Wolfgang Pauli 1925 das Pauli-Verbot entdecken: Jede Bahn, die durch die drei räumlichen Quantenzahlen bestimmt ist, kann maximal zwei Elektronen aufnehmen, die dann entgegengesetzte Spinquantenzahl haben müssen.

Weblinks

Stefan Keppeler: Die "alte" Quantentheorie, Spinpräzession und geometrische Phasen. In: Physik Journal. Band 3, Nr. 4, 2004, S. 45–49 (pro-physik.de [PDF; abgerufen am 1. September 2020]).

Quellen

Arnold Sommerfeld: Zur Quantentheorie der Spectrallinien (I + II). In: Annalen der Physik. 51. Jahrgang, 1916, S. 1–94, doi:10.1002/andp.19163561702. (statt Bd. 51 gilt bei Wiley-online: Bd. 356)
Helmut Rechenberg Quanta and Quantum Mechanics in: Laurie M Brown et al. (Hrsg.) Twentieth Century Physics vol. I, IOP Publishing Ltd. AIP Press. Inc. 1995, ISBN 0750303530
Friedrich Hund: Geschichte der Quantentheorie, BI Hochschultaschenbücher Bd. 200/200a, Bibliographisches Institut Mannheim 1967

en:Bohr model#Refinements

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-Das '''bohr-sommerfeldsche Atommodell''', '''sommerfeldsche Atommodell''' oder die '''Sommerfeld-Erweiterung''' ist eine [[physik]]alische Beschreibung der [[Elektron]]en<nowiki/>bahnen in einem [[Atom]]. Es wurde 1915/16 von [[Arnold Sommerfeld]]  vorgeschlagen und stellt eine Verfeinerung des [[Bohrsches Atommodell|bohrschen Atommodells]] dar.
+{{Weiterleitungshinweis|Sommerfeldmodell|Zum Sommerfeldmodell in der Festkörperphysik siehe [[Sommerfeld-Theorie der Metalle]].}}
+Das '''bohr-sommerfeldsche Atommodell''', '''sommerfeldsche Atommodell''' oder die '''Sommerfeld-Erweiterung''' ist eine [[physik]]alische Beschreibung der [[Elektron]]en<nowiki/>bahnen in einem [[Atom]]. Es wurde 1915/16 von [[Arnold Sommerfeld]] vorgeschlagen und stellt eine Verfeinerung des [[Bohrsches Atommodell|bohrschen Atommodells]] dar.
 == Überblick ==
-Das bohr-sommerfeldsche Atommodell von 1916 baut auf dem bohrschen Modell von 1913 auf und ist damit eine der älteren [[Quantenphysik|Quantentheorien]] vor Entwicklung der [[Quantenmechanik]]. Es wird angenommen, dass sich die Elektronen um den [[Atomkern]] auf wohldefinierten [[Trajektorie (Physik)|Bahnen]] bewegen, die sich aus den [[Bewegungsgleichung]]en zunächst der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] ergeben, also auf den aus der [[Planetenbewegung]] bekannten [[Ellipse]]n. Quantentheoretische Prinzipien werden durch zusätzliche [[Quantisierung (Physik)|Quantisierung]]s<nowiki/>bedingungen (Bohr-Sommerfeld-Quantisierung) eingeführt. Diese führen dazu, dass nur eine kleine Auswahl der Bahnen erlaubt ist, die nach der klassischen Mechanik möglich wären. Als Folge davon können auch die mit der Bahnbewegung verbundenen [[Erhaltungsgröße]]n ([[Energie]] und [[Drehimpuls]]) nicht mehr beliebige, sondern nur noch bestimmte, [[Diskreter Wert|diskrete Werte]] annehmen, sie sind also „gequantelt“.
+Das bohr-sommerfeldsche Atommodell von 1916 baut auf dem bohrschen Modell von 1913 auf und ist damit eine der älteren [[Quantenphysik|Quantentheorien]] vor Entwicklung der [[Quantenmechanik]]. Es wird angenommen, dass sich die Elektronen um den [[Atomkern]] auf wohldefinierten [[Trajektorie (Physik)|Bahnen]] bewegen, die sich aus den [[Bewegungsgleichung]]en zunächst der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] ergeben, also auf den aus der [[Planetenbewegung]] bekannten [[Ellipse]]n. Quantentheoretische Prinzipien werden durch zusätzliche [[Quantisierung (Physik)|Quantisierung]]s<nowiki/>bedingungen (Bohr-Sommerfeld-Quantisierung) eingeführt. Diese führen dazu, dass von allen Bahnen, die nach der klassischen Mechanik möglich wären, nur eine kleine Auswahl erlaubt ist. Insbesondere können auch die mit der Bahnbewegung verbundenen [[Erhaltungsgröße]]n ([[Energie]] und [[Drehimpuls]]) nicht mehr beliebige, sondern nur noch bestimmte, [[Diskreter Wert|diskrete Werte]] annehmen, sie sind also „gequantelt“. Beim Drehimpulsvektor betrifft die Quantelung nicht nur den Betrag, sondern auch die Komponente längs einer vorgewählten z-Achse, anschaulich gesprochen also den Winkel zwischen Drehimpuls und z-Achse ([[Richtungsquantelung]]).
-Der Fortschritt des sommerfeldschen Atommodells gegenüber seinem Vorgänger besteht vor allem darin, dass es die [[Feinstruktur (Physik)|Feinstruktur]] des [[Wasserstoff]][[Spektroskopie|spektrums]], d.&nbsp;h. die kleinen Aufspaltungen der klassisch berechneten Energien, berechenbar macht ([[Feinstrukturkonstante]]), indem es die Bewegungsgleichung der [[spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] berücksichtigt. Die Feinstruktur wird mit der Erhöhung der trägen Masse begründet, welche die spezielle Relativitätstheorie für steigende Geschwindigkeit voraussagt. Bei gleicher [[Quantenzahl#Hauptquantenzahl|Hauptquantenzahl]]&nbsp;''n'' ist dieser Effekt umso stärker, je näher das Elektron im [[Perihel]] am Kern vorbeifliegt, je größer also die [[numerische Exzentrizität]] der Ellipse bzw. je kleiner der Bahndrehimpuls ist. Die unterschiedlichen Bahnen zu einer Hauptquantenzahl haben nicht mehr exakt das gleiche [[Energieniveau]], sondern die Energie wird auch vom Bahndrehimpuls abhängig.
+Der unmittelbare Fortschritt des sommerfeldschen Atommodells gegenüber dem bohrschen Atommodell bestand vor allem darin, dass es die [[Feinstruktur (Physik)|Feinstruktur]] des [[Wasserstoff]][[Spektroskopie|spektrums]], d.&nbsp;h. die kleinen Aufspaltungen der klassisch berechneten Energien, berechenbar machte ([[Feinstrukturkonstante]]), indem es die Bewegungsgleichung der [[spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] berücksichtigt. Die Feinstruktur wird mit der Erhöhung der trägen Masse begründet, welche die spezielle Relativitätstheorie für steigende Geschwindigkeit voraussagt. Bei gleicher [[Quantenzahl#Hauptquantenzahl|Hauptquantenzahl]]&nbsp;''n'' ist dieser Effekt umso stärker, je näher das Elektron im [[Perihel]] am Kern vorbeifliegt, je größer also die [[numerische Exzentrizität]] der Ellipse bzw. je kleiner der Bahndrehimpuls ist. Daher haben, anders als nach der klassischen Mechanik, die durch den Bahndrehimpuls unterschiedenen Bahnen zu derselben Hauptquantenzahl nicht mehr exakt das gleiche [[Energieniveau]].
-Ein weiterer Fortschritt des sommerfeldschen Atommodells ist, dass es den normalen [[Zeeman-Effekt]] und den [[Stark-Effekt]] erklären kann.
+Des Weiteren ergeben sich (bei vorgegebener z-Achse) aus dem sommerfeldschen Atommodell zu jeder Hauptquantenzahl&nbsp;''n'' nicht nur ''eine'' mögliche Bahn (wie im bohrschen Atommodell), sondern mehrere Bahnen in bestimmter Anzahl, die später als die Anzahl der zu &nbsp;''n''-ten [[Schalenmodell (Atomphysik)|Schale]] gehörenden [[Atomorbital]]e erkannt wurde, eine für die Erklärung des [[Periodensystem]]s der [[Chemisches Element|chemischen Elemente]] zentrale Größe. Aus der Richtungsquantelung ergibt sich weiter, dass magnetische und elektrische Felder bei den Bahnen mit gleicher Hauptquantenzahl und gleichem Drehimpulsbetrag eine zusätzliche Energieaufspaltung bewirken, wie sie als (normaler) [[Zeeman-Effekt]] und [[Stark-Effekt]] schon beobachtet worden waren.
-Das bohr-sommerfeldsche Atommodell hat wegen seiner Anschaulichkeit hohen Erklärungswert; statt der bisher im bohrschen Modell begründeten einzigen [[Quantenzahl]] der Elektronenzustände lieferte es richtig alle drei räumlichen Quantenzahlen und ermöglichte damit erstmals eine wenigstens qualitative physikalische Erklärung des [[Periodensystem]]s der [[Chemisches Element|chemischen Elemente]].
+Das bohr-sommerfeldsche Atommodell hat wegen seiner Anschaulichkeit hohen Erklärungswert; statt der bisher im bohrschen Modell begründeten einzigen [[Quantenzahl]] der Elektronenzustände lieferte es richtig alle drei räumlichen Quantenzahlen mit ihren jeweiligen Wertebereichen und ermöglichte damit erstmals eine wenigstens qualitative physikalische Erklärung des [[Periodensystem]]s.
-Das bohr-sommerfeldsche Modell versagt aber wie schon das bohrsche Modell bei allen Berechnungen von Atomen mit mehr als einem Elektron. Dass dieser Fehlschlag von der irrigen Annahme definierter, klassischer Teilchenbahnen herrührte, wurde ab 1925 deutlich, als die neue Quantenmechanik wesentlich mehr Beobachtungen erklären und Vorhersagen machen konnte, und diese sogar zumeist quantitativ richtig. In ihr gibt es keine definierten Bahnen mehr, wie man z.&nbsp;B. an der heisenbergschen [[Unschärferelation]] erkennen kann, sondern nur noch [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en.
+Das bohr-sommerfeldsche Modell versagt aber wie schon das bohrsche Modell bei allen Berechnungen der Elektronenbewegung, wenn das Atom mehr als ein Elektron besitzt. Dass dieser Fehlschlag von der grundlegenden, aber irrigen Annahme definierter, klassischer Teilchenbahnen herrührte, wurde ab 1925 deutlich, als die neue Quantenmechanik wesentlich mehr Beobachtungen erklären und Vorhersagen machen konnte, und diese sogar zumeist quantitativ richtig. In der Quantenmechanik kann es keine definierten Bahnen mehr geben, was man z.&nbsp;B. an der heisenbergschen [[Unschärferelation]] erkennen kann, sondern nur noch [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en.
 == Geometrie der Elektronenbahnen ==
-Während im Modell von [[Niels Bohr]] die möglichen Bahnen des Elektrons [[Kreis]]e um den [[Atomkern]] sind, führte Sommerfeld allgemeinere Ellipsen<nowiki/>bahnen ein, als deren Spezialfall der Kreis noch vorkommt. Der Kern befindet sich nach diesem Modell in einem der beiden [[Brennpunkt (Ellipse)|Brennpunkt]]e einer Bahnellipse, so dass sich eine geometrische Konfiguration wie bei den Planetenbahnen nach den [[Keplersche Gesetze|keplerschen Gesetzen]] ergibt. Auf diesen Bahnen soll sich – wie im bohrschen Modell – das Elektron ohne Emission [[elektromagnetische Strahlung|elektromagnetischer Strahlung]] bewegen, wie sie nach der klassischen [[Elektrodynamik]] auftreten müsste.
+Während im Modell von [[Niels Bohr]] die möglichen Bahnen des Elektrons [[Kreis]]e um den [[Atomkern]] sind, führte Sommerfeld als Erweiterung zu diesen Kreisbahnen allgemeinere Ellipsenbahnen ein. Der Kern befindet sich nach diesem Modell in einem der beiden [[Brennpunkt (Ellipse)|Brennpunkt]]e einer Bahnellipse, so dass sich eine geometrische Konfiguration wie bei den Planetenbahnen nach den [[Keplersche Gesetze|keplerschen Gesetzen]] ergibt. Auf diesen Bahnen soll sich – wie im bohrschen Modell – das Elektron stabil bewegen, ohne dass die von der klassischen [[elektromagnetische Strahlung|elektromagnetischen Theorie]] für diesen Fall geforderte Abstrahlung elektromagnetischer Wellen entsteht.
-Das bohr-sommerfeldsche Modell stellt also ein keplersches Planetensystem im Kleinen dar, während das bohrsche Modell der älteren [[Nicolaus Copernicus|kopernikanischen]] Vorstellung entspricht. Diese Analogie ist naheliegend, da die [[Kraftfeld (Physik)|Kraftfelder]] der [[Coulombkraft]] des Atomkerns und der [[Gravitation]] der [[Sonne]] die gleiche Form haben:
+Das bohr-sommerfeldsche Modell stellt also ein keplersches Planetensystem im Kleinen dar, während das bohrsche Modell der älteren [[Nicolaus Copernicus|kopernikanischen]] Vorstellung reiner Kreisbahnen entspricht. Diese Analogie ist naheliegend, da die [[Kraftfeld (Physik)|Kraftfelder]] der [[Coulombkraft]] des Atomkerns und der [[Gravitation]] der [[Sonne]] die gleiche Form haben:
-:<math> F \sim { 1 \over r^2 }. </math>
+:<math> F \sim \frac{1}{r^2}. </math>
-Die Berücksichtigung der speziellen Relativitätstheorie ergibt Bahnen näherungsweise in Form einer Ellipse, deren [[Bahnachse|Hauptachse]] sich langsam dreht ([[Periheldrehung]]).
+Bei Berücksichtigung der speziellen Relativitätstheorie ergeben sich Bahnen, die nicht exakt elliptisch sind, aber näherungsweise die Form einer Ellipse haben, deren [[Bahnachse|Hauptachse]] sich langsam dreht ([[Periheldrehung]]).
 == Bohr-Sommerfeld-Quantisierung ==
 Eine Ellipse kann nicht mehr wie ein Kreis durch einen einzigen Parameter (Radius) beschrieben werden, vielmehr benötigt man dazu zwei (z.&nbsp;B. große und kleine [[Halbachsen der Ellipse|Halbachse]]). Deshalb sind bei Ellipsenbahnen zwei Quantenzahlen notwendig, um die Form festzulegen. Eine dritte benötigt man für die Orientierung der [[Bahnebene]] im Raum. Eine Quantenzahl davon, aber auch nur eine, kann die bohrsche Quantisierung der Kreisbewegung beisteuern, denn im kugelsymmetrischen [[Potential (Physik)|Potential]] des Atomkerns besitzen alle Bahnen einen bestimmten [[Drehimpuls]]. Sommerfeld verallgemeinerte Bohrs Quantisierung dahingehend, dass jede Koordinate <math>q</math> eine eigene Quantenbedingung erfüllen muss:
-<math>\oint p\,dq = n h.</math>
+:<math>\oint p\,dq = n h.</math>
 Darin ist
-* <math>q</math> eine Koordinate
+* <math>\oint</math>ein [[Phasenintegral (Hamilton-Mechanik)|Phasenintegral]]
+* <math>q</math> eine Koordinate
 * <math>p</math> ihr [[kanonischer Impuls|kanonisch zugeordneter Impuls]]
-* <math>n = 1,\,2,\,\dots</math> die Quantenzahl
+* <math>n = 1,\,2,\,\dots</math> eine [[natürliche Zahl]], die Quantenzahl der Koordinate <math>q</math>
 * <math>h</math> das [[Plancksches Wirkungsquantum|plancksche Wirkungsquantum]].
-Das [[Kurvenintegral]] ist die Fläche innerhalb der betreffenden Bahn in der <math>pq</math>-Ebene. Es wird in der Mechanik als die [[Wirkung (Physik)|Wirkung]] bezeichnet, die dieser Bewegung zugeordnet ist.
+Das Phasenintegral ist ein [[Kurvenintegral]], das die Fläche innerhalb der betreffenden Bahn in der <math>pq</math>-Ebene angibt. Es wird in der Mechanik als die [[Wirkung (Physik)|Wirkung]] bezeichnet, die dieser Bewegung zugeordnet ist.
-Im 1-dimensionalen Fall kann <math>q</math> einfach die x-Koordinate und <math>p</math> der gewöhnliche [[Impuls]] sein. Dann ergibt sich aus der Quantenbedingung z.&nbsp;B. sofort die Quantisierung des [[harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]] mit Energiestufen <math>h f</math>. Durch [[kanonische Transformation]] kann man jedoch zu anderen Variablen kommen, die dann automatisch die gleiche Bedingung erfüllen.
+Im 1-dimensionalen Fall kann <math>q</math> einfach die <math>x</math>-Koordinate und <math>p</math> der gewöhnliche [[Impuls]] sein. Dann ergibt sich aus der Quantenbedingung z.&nbsp;B. sofort die Quantisierung des [[harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]] mit Energiestufen <math>h f</math>. Durch [[kanonische Transformation]] kann man jedoch zu anderen Variablen kommen, die dann automatisch die gleiche Bedingung erfüllen.
 Bei Bewegung in zwei oder drei Dimensionen kann man als Koordinate z.&nbsp;B. einen Drehwinkel <math>\alpha</math> wählen, wozu als kanonischer Impuls dann der Drehimpuls <math>\,l</math> gehört. Das Wirkungsintegral für einen vollen Umlauf ist dann
 :<math>\oint p \, dq = \int_{2\pi} l \, d \alpha = 2 \pi l,</math>
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 == Quantenzahlen ==
-Sommerfeld betrachtet das System in den drei [[Kugelkoordinaten]] (Abstand&nbsp;''r'' und zwei Winkel) und unterwirft jede der neuen Quantisierungsbedingung. So erhält er drei Quantenzahlen: die [[Quantenzahl #Radiale Quantenzahl|''radiale'']] <math>n_r</math>, die ''[[azimut]]hale'' <math>l</math> und die ''magnetische'' <math>m_l</math>.
+Sommerfeld betrachtet das System in den drei [[Kugelkoordinaten]] (Abstand&nbsp;''r'' und zwei Winkel) und unterwirft jede der neuen Quantisierungsbedingung. So erhält er drei Quantenzahlen: die [[Quantenzahl #Radiale Quantenzahl|''radiale'']] <math>n_r</math>, die ''[[azimut]]ale'' <math>l</math> und die ''magnetische'' <math>m_l</math>.
 === Hauptquantenzahl ===
 Die Quantenzahl ''n'', die wie im bohrschen Modell und in den [[Rydberg-Formel]]n auch hier die Energie bestimmt, wird nun Hauptquantenzahl genannt und erweist sich als
 :<math>n = n_r + l</math>
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 === Nebenquantenzahl ===
-Die azimuthale Quantenzahl <math>l</math>, nun Nebenquantenzahl genannt, gibt den (Bahn-)Drehimpuls <math>l \hbar</math> an (<math>\hbar</math> ist die [[plancksche Konstante]] <math>h</math> geteilt durch <math>2\pi</math>.) Bei gegebenem ''n'' kann die Nebenquantenzahl als Werte die [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] von 1 bis <math>n</math> annehmen:
+Die azimutale Quantenzahl <math>l</math>, nun Nebenquantenzahl genannt, gibt den (Bahn-)Drehimpuls <math>l \hbar</math> an (<math>\hbar</math> ist die [[plancksche Konstante]] <math>h</math> geteilt durch <math>2\pi</math>.) Bei gegebenem ''n'' kann die Nebenquantenzahl als Werte die [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] von 1 bis <math>n</math> annehmen:
 :<math>l = 1,2, \ldots, n,</math>
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 === Magnetische Quantenzahl ===
-Die magnetische Quantenzahl <math>m_l</math> gibt den Neigungswinkel <math>\alpha</math> des Drehimpulses <math>l</math> gegen die z-Achse an, bzw. genau genommen die Größe der [[Projektion (lineare Algebra)|Projektion]] des Drehimpulses <math>l</math> auf die z-Achse:
+Die magnetische Quantenzahl <math>m_l</math> bestimmt die Orientierung der Bahnebene gegenüber der z-Achse. Sie gibt den Neigungswinkel <math>\alpha</math> des Drehimpulses <math>l</math> gegen die z-Achse an, bzw. genau genommen die Größe der [[Projektion (lineare Algebra)|Projektion]] des Drehimpulses <math>l</math> auf die z-Achse:
 :<math>m_l = l \cdot \cos\alpha \Leftrightarrow \cos\alpha = \tfrac{m_l}{l}.</math>
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 :<math>m_l =\,-l,\, -(l-1),\, \ldots\, , (l-1),\, l,</math>
-insgesamt <math>2l+1</math> verschiedene Werte. Damit ist die [[Richtungsquantelung]] vorhergesagt, denn es gibt von genau parallel zu genau antiparallel nur diese endliche Anzahl von Einstellmöglichkeiten. (Die Quantenmechanik gibt dem Drehimpulsvektor statt <math>l</math> die Länge <math>\sqrt{l(l+1)},</math> wodurch die beiden extremen Einstellmöglichkeiten <math>\cos\alpha = \pm \tfrac{l}{\sqrt{l(l+1)}}</math> doch nicht ganz mit der z-Achse zusammenfallen.)
+insgesamt <math>2l+1</math> verschiedene Werte von genau parallel bis zu genau antiparallel zur z-Achse. Damit ist die [[Richtungsquantelung]] vorhergesagt, denn es gibt nur diese Einstellmöglichkeiten. (Die Quantenmechanik gibt dem Drehimpulsvektor die Länge <math>\sqrt{l(l+1)}</math> statt <math>l</math>, wodurch die beiden extremen Einstellmöglichkeiten <math>\cos\alpha = \pm \tfrac{l}{\sqrt{l(l+1)}}</math> doch nicht ganz mit der z-Achse zusammenfallen.)
 Das sich um den Atomkern bewegende Elektron bildet einen [[Magnetischer Dipol|magnetischen Dipol]] <math>\vec \mu</math>,
 dessen Richtung senkrecht auf der Bahnellipse steht, also parallel zum Vektor
-<math>\vec L</math> des Bahndrehimpulses. Bringt man das Atom in ein äußeres [[Magnetfeld]] <math>\vec B_{ext}</math> (das die z-Achse definiert), dann hängt seine Energie auch vom Einstellwinkel ab. Wegen der Richtungsquantelung spaltet die Energie je nach dem Wert der magnetischen Quantenzahl (daher ihr Name) in <math>2l+1</math> verschiedene Werte auf ([[Zeeman-Effekt]]).
+<math>\vec l</math> des Bahndrehimpulses. Bringt man das Atom in ein äußeres [[Magnetfeld]] <math>\vec B_\text{ext}</math> (das die z-Achse definiert), dann hängt die Energie des Dipols vom Einstellwinkel ab. Wegen der Richtungsquantelung spaltet die Energie je nach dem Wert der magnetischen Quantenzahl (daher ihr Name) in <math>2l+1</math> verschiedene Werte auf ([[Zeeman-Effekt]]).
 === Spinquantenzahl ===
-Neben diesen im bohr-sommerfeldschen Atommodell eingeführten ''räumlichen'' Quantenzahlen gibt es für jedes Elektron auch noch die Spinquantenzahl <math>m_s</math> für die stets genau zwei Einstellmöglichkeiten seines Eigendrehimpulses ([[Spin]]). Sie wird mit den Werten +½ oder −½ beziehungsweise den Symbolen ↑ oder ↓ angegeben. Diese Quantenzahl resultiert nicht aus Sommerfelds Quantisierungsbedingungen, sondern wurde später aufgrund sonst unerklärlicher experimenteller Befunde (z.&nbsp;B. geradzahlige Aufspaltung im [[Stern-Gerlach-Versuch]] und im anomalen [[Zeeman-Effekt]]) ins Modell eingefügt. Die Energie jeder der bisher genannten Bahnen kann dadurch in zwei Energien aufgespalten werden.
+Neben diesen im bohr-sommerfeldschen Atommodell eingeführten ''räumlichen'' Quantenzahlen gibt es für jedes Elektron auch noch die Spinquantenzahl <math>m_s</math>, die die stets genau zwei Einstellmöglichkeiten seines Eigendrehimpulses ([[Spin]]) angibt. Sie wird mit den Werten +½ oder −½ beziehungsweise den Symbolen ↑ oder ↓ angegeben. Diese Quantenzahl resultiert nicht aus Sommerfelds Quantisierungsbedingungen, sondern wurde später aufgrund sonst unerklärlicher experimenteller Befunde (z.&nbsp;B. geradzahlige Aufspaltung im [[Stern-Gerlach-Versuch]] und im anomalen [[Zeeman-Effekt]]) ins Modell eingefügt. Die Energie jeder der bisher genannten Bahnen kann dadurch in zwei Energien aufgespalten werden.
 === Pauli-Verbot ===
 {{Hauptartikel | Pauli-Prinzip}}
-Aufgrund der durch das sommerfeldsche Modell ermöglichten Ordnung im Verständnis des Atomaufbaus konnte [[Wolfgang Pauli]] 1925 das [[Pauli-Prinzip|Pauli-Verbot]] entdecken: Jede der durch die drei räumlichen Quantenzahlen bestimmten Bahn kann maximal zwei Elektronen aufnehmen, die dann entgegengesetzte Spinquantenzahl haben müssen.
+Aufgrund der durch das sommerfeldsche Modell ermöglichten Ordnung im Verständnis des Atomaufbaus konnte [[Wolfgang Pauli]] 1925 das [[Pauli-Prinzip|Pauli-Verbot]] entdecken: Jede Bahn, die durch die drei räumlichen Quantenzahlen bestimmt ist, kann maximal zwei Elektronen aufnehmen, die dann entgegengesetzte Spinquantenzahl haben müssen.
+== Weblinks ==
+* {{Literatur
+ | Autor=Stefan Keppeler
+ | Titel=Die "alte" Quantentheorie, Spinpräzession und geometrische Phasen
+ | Sammelwerk=Physik Journal
+ | Band=3
+ | Nummer=4
+ | Datum=2004
+ | Seiten=45-49
+ | Online=https://www.pro-physik.de/restricted-files/119636
+ | Format=PDF
+ | Abruf=2020-09-01
+}}
 == Quellen ==
-*{{cite journal | author=Arnold Sommerfeld | title=Zur Quantentheorie der Spectrallinien (I + II) | journal=Annalen der Physik | year=1916 | volume=51 | pages=1–94 | doi=10.1002/andp.19163561702}} (statt Bd. 51 gilt bei Wiley-online: Bd. 356)
+* {{cite journal | author=Arnold Sommerfeld | title=Zur Quantentheorie der Spectrallinien (I + II) | journal=Annalen der Physik | year=1916 | volume=51 | pages=1–94 | doi=10.1002/andp.19163561702}} (statt Bd. 51 gilt bei Wiley-online: Bd. 356)
 * Helmut Rechenberg ''Quanta and Quantum Mechanics'' in: Laurie M Brown et al. (Hrsg.) ''Twentieth Century Physics'' vol. I, IOP Publishing Ltd. AIP Press. Inc. 1995, ISBN 0750303530
-* Friedrich Hund: ''Geschichte der Quantentheorie'', BI Hochschultaschenbücher Bd. 200/200a, Bibliographisches Institut Mannheim 1967
+* [[Friedrich Hund]]: ''Geschichte der Quantentheorie'', BI Hochschultaschenbücher Bd. 200/200a, Bibliographisches Institut Mannheim 1967
-== Siehe auch ==
-* [[Elektronenkonfiguration]]
-* [[Elektronenhülle]]
 {{SORTIERUNG:Bohrsommerfeldsches Atommodell}}