Darwin-Term: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. September 2021, 14:22 Uhr

Der Darwin-Term $H_{\mathrm {Darwin} }$ (nach Charles Galton Darwin) ist ein relativistischer Korrekturterm im Hamiltonoperator $$ H $$ , um die Feinstruktur im Wasserstoffspektrum theoretisch zu erklären. Er ergibt sich aus der Dirac-Theorie.

Er beschreibt, dass in nicht-relativistischer Näherung die elektrostatische Wechselwirkung des Elektrons mit dem elektrischen Feld des Kerns aufgrund der Zitterbewegung nicht mehr lokal ist, sondern auch von einem kleinen Bereich des elektrischen Feldes um das Elektron herum abhängt:

H_{\mathrm {Darwin} }={\frac {\hbar ^{2}}{8m_{\mathrm {e} }^{2}c^{2}}}\left(\Delta V\right).

Da das Potential $V(r)=-\alpha \hbar cZ/r$ ein Coulomb-Potential ist, kann der Darwin-Term auch geschrieben werden als

H_{\mathrm {Darwin} }=Z\alpha {\frac {\hbar ^{3}}{8m_{\mathrm {e} }^{2}c}}\cdot 4\pi \delta ^{(3)}({\vec {r}}).

Dabei ist

$\alpha$ die Feinstrukturkonstante
$\hbar$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum
$m_{\mathrm {e} }$ die Elektronenmasse
$$ c $$ die Lichtgeschwindigkeit
$\Delta$ der Laplace-Operator
$$ Z $$ die Kernladungszahl
$\delta ^{(3)}({\vec {r}})\,\!$ die Delta-Distribution in drei Dimensionen.

Der Darwin-Term spielt nur bei Elektronen mit Drehimpulsquantenzahl $$ l=0 $$ eine Rolle, weil nur deren Wellenfunktionen am Kernort ( ${\vec {r}}=0$ ) nicht verschwinden.^[1]

Heuristische Herleitung

Der Darwin-Term kann im relativistischen Wasserstoffproblem formal stringent hergeleitet werden, indem die relativistische Korrektur und die Spin-Bahn-Kopplung vom Gesamtergebnis subtrahiert werden. Eine heuristische Herleitung nimmt an, dass das Elektron nicht exakt lokalisiert ist, sondern seine Position um $\delta r={\frac {\hbar }{m_{\mathrm {e} }c}}={\frac {\lambda _{\mathrm {C} }}{2\pi }}$ , die reduzierte Compton-Wellenlänge des Elektrons, schwankt. Eine solche Herleitung führt nicht exakt auf den korrekten Darwin-Term, sondern nur auf die richtige Größenordnung

H_{\text{Darwin}}^{\text{heuristisch}}={\frac {\hbar ^{2}}{6m_{\mathrm {e} }^{2}c^{2}}}\Delta V

.

Literatur

Armin Wachter: Relativistische Quantenmechanik. Springer, Berlin/ Heidelberg 2005, ISBN 3-540-22922-1, S. 167.

Einzelnachweise

↑ Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 221.

en:Fine structure #Darwin term

[1] Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 221.

[1]

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-Der '''Darwin-Term''' <math>H_\mathrm{Darwin}</math> (nach [[Charles Galton Darwin]]) ist ein [[Relativitätstheorie|relativistischer]] Korrektur[[term]] im [[Hamiltonoperator]] <math>\hat H</math>, um die [[Feinstruktur (Physik)|Feinstruktur]] im [[Wasserstoffspektrum]] theoretisch zu erklären. Er ergibt sich aus der [[Dirac-Theorie]].
+Der '''Darwin-Term''' <math>H_\mathrm{Darwin}</math> (nach [[Charles Galton Darwin]]) ist ein [[Relativitätstheorie|relativistischer]] Korrektur[[term]] im [[Hamiltonoperator]] <math>H</math>, um die [[Feinstruktur (Physik)|Feinstruktur]] im [[Wasserstoffspektrum]] theoretisch zu erklären. Er ergibt sich aus der [[Dirac-Theorie]].
 Er beschreibt, dass in nicht-relativistischer [[Näherung]] die [[elektrostatisch]]e Wechselwirkung des [[Elektron]]s mit dem [[Elektrostatik|elektrischen Feld]] des [[Atomkern|Kerns]] aufgrund der [[Zitterbewegung]] nicht mehr ''lokal'' ist, sondern auch von einem kleinen Bereich des elektrischen Feldes um das Elektron herum abhängt:
-:<math>H_\mathrm{Darwin} = \frac{\hbar^2}{8m_e^2c^2} \left(\Delta V\right).</math>
+:<math>H_\mathrm{Darwin} = \frac{\hbar^2}{8m_\mathrm e^2c^2} \left(\Delta V\right).</math>
-Wenn das Potential&nbsp;V ein [[Coulombsches Gesetz #Coulomb-Potential|Coulomb-Potential]] <math>V(r)=-Ze^2/r</math> ist, kann der Darwin-Term auch geschrieben werden als
+Da das [[Potential (Physik)|Potential]] <math>V(r)=- \alpha \hbar c Z/r</math> ein [[Coulombsches Gesetz #Coulomb-Potential|Coulomb-Potential]] ist, kann der Darwin-Term auch geschrieben werden als
-:<math>H_\mathrm{Darwin} = \frac{\pi \hbar^2 Z e^2}{2m_e^2c^2} \cdot \delta^{(3)}(\mathbf{x}).</math>
+:<math>H_\mathrm{Darwin} = Z \alpha \frac{\hbar^3 }{8m_\mathrm e^2c} \cdot 4\pi \delta^{(3)}(\vec r).</math>
 Dabei ist
-* <math>\hbar \,\!</math> das [[Plancksches Wirkungsquantum #Werte|reduzierte Plancksche Wirkungsquantum]]
+* <math>\alpha</math> die [[Feinstrukturkonstante]]
-* <math>m_e \,\!</math> die Elektronenmasse
+* <math>\hbar</math> das [[Reduziertes plancksches Wirkungsquantum|reduzierte Plancksche Wirkungsquantum]]
-* <math>c \,\!</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]]
+* <math>m_\mathrm e</math> die Elektronenmasse
-* <math>\Delta \,\!</math>: [[Laplace-Operator]]
+* <math>c</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]]
-* <math>V \,\!</math>: das [[Potential (Physik)|Potential]]
+* <math>\Delta</math>der [[Laplace-Operator]]
-* <math>e \,\!</math>: die [[Elementarladung]]
+* <math>Z</math> die [[Kernladungszahl]]
-* <math>Z \,\!</math> die [[Kernladungszahl]]
+* <math>\delta^{(3)}(\vec r) \,\!</math> die [[Delta-Distribution]] in drei Dimensionen.
-* <math>\delta^{(3)}(\mathbf{x}) \,\!</math> die [[Delta-Distribution]] in drei Dimensionen.
-Das Elektron ist also nicht exakt [[Lokalisierung (Physik)|lokalisiert]], seine Position schwankt um <math>\delta r = \frac{\hbar}{m_e c} = \frac{\lambda_\mathrm{C}}{2\pi}</math>, die [[Compton-Wellenlänge]] des Elektrons (dividiert durch <math>2\pi</math>). Der Darwin-Term spielt nur bei Elektronen mit Drehimpuls[[quantenzahl]] <math>l=0</math> eine Rolle, weil nur deren [[Wellenfunktion]]en am Kernort (<math>\vec{r}=0</math>) nicht verschwinden.<ref>{{Literatur |Autor=Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz |Titel=Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-30613-9 |Seiten=221}}</ref>
+Der Darwin-Term spielt nur bei Elektronen mit Drehimpuls[[quantenzahl]] <math>l=0</math> eine Rolle, weil nur deren [[Wellenfunktion]]en am Kernort (<math>\vec{r}=0</math>) nicht verschwinden.<ref>{{Literatur |Autor=Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz |Titel=Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-30613-9 |Seiten=221}}</ref>
+== Heuristische Herleitung ==
+Der Darwin-Term kann im [[Relativistisches Wasserstoffproblem|relativistischen Wasserstoffproblem]] formal stringent hergeleitet werden, indem die relativistische Korrektur und die Spin-Bahn-Kopplung vom Gesamtergebnis subtrahiert werden. Eine [[Heuristik|heuristische]] Herleitung nimmt an, dass das Elektron nicht exakt [[Lokalisierung (Physik)|lokalisiert]] ist, sondern seine Position um <math>\delta r = \frac{\hbar}{m_\mathrm e c} = \frac{\lambda_\mathrm{C}}{2\pi}</math>, die [[Compton-Wellenlänge|reduzierte Compton-Wellenlänge]] des Elektrons, schwankt. Eine solche Herleitung führt nicht exakt auf den korrekten Darwin-Term, sondern nur auf die richtige Größenordnung
+:<math>H_\text{Darwin}^\text{heuristisch}= \frac{\hbar^2}{6 m_\mathrm e^2 c^2}\Delta V</math>.
 == Literatur ==