imported>NikelsenH (linkfix) |
imported>Ernsts K (→Interpretation: Schreibw. ohne -) |
||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
Die '''Madelunggleichungen''' sind eine von [[Erwin Madelung]] (1881–1972) formulierte Alternative der [[Schrödingergleichung]]. | Die '''Madelunggleichungen''' sind eine von [[Erwin Madelung]] (1881–1972) formulierte Alternative der [[Schrödingergleichung]].<ref name="Madelung1926"/> | ||
Ersetzt man dort die [[komplexe Funktion]] <math>\psi</math> durch ihren [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>\rho</math> und ihre [[Phase (Schwingung)|Phase]] <math>S</math> gemäß <math>\psi= \sqrt{\rho} e^{\frac{i}{\hbar} S} </math>, so erhält man die Madelunggleichungen: | Ersetzt man dort die [[komplexe Funktion]] <math>\psi</math> durch ihren [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>\rho</math> und ihre [[Phase (Schwingung)|Phase]] <math>S</math> gemäß <math>\psi= \sqrt{\rho} e^{\frac{i}{\hbar} S} </math>, so erhält man die Madelunggleichungen:<ref name="Madelung1926"/> | ||
<math>\partial_t \rho +\frac{1}{m}\nabla(\rho\nabla S)= 0</math> | # <math>\partial_t \rho +\frac{1}{m}\nabla(\rho\nabla S)= 0</math><br /> | ||
# <math> | |||
\partial_t S +\frac{1}{2m}(\nabla S)^2 +V(x)- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\Delta \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}} = 0,</math> | |||
<math> | wobei <math>V</math> das [[Potential (Physik)|Potential]] aus der Schrödingergleichung ist. | ||
Die erste hat die Form einer [[Kontinuitätsgleichung]], | Die erste dieser beiden Gleichungen hat die Form einer [[Kontinuitätsgleichung]], | ||
die zweite ist eine [[Hamilton-Jacobi-Formalismus|Hamilton-Jacobi-Gleichung]] (siehe [[Kanonische Gleichungen]]). | die zweite ist eine [[Hamilton-Jacobi-Formalismus|Hamilton-Jacobi-Gleichung]] (siehe [[Kanonische Gleichungen]]). | ||
<math>S</math> wird als [[Wirkung (Physik)|Wirkung]] interpretiert, <math>\nabla S</math> als [[Impuls]]. | == Interpretation == | ||
<math>S</math> wird als [[Wirkung (Physik)|Wirkung]] interpretiert, <math>\nabla S</math> als [[Impuls]]. Die Madelunggleichungen lassen sich als Quanten-[[Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)]] deuten wie folgt:<ref name="Madelung1927" /><ref name="Bialynicki1992"/> | |||
# <math>\partial_t \rho_m + \nabla\cdot(\rho_m \vec v) = 0,</math> | |||
# <math> \frac{d \vec v}{dt} = \partial_t\vec v + \vec v \cdot \nabla\vec v = -\frac{1}{m} \mathbf{\nabla}(Q + V),</math> | |||
wobei | |||
* <math>\vec{v}(\vec{x}, t) = \mathbf{\nabla} S / m </math> ([[Strömungsgeschwindigkeit]]) bzw. <math>\nabla S = m \cdot \vec{v} </math> (Impuls)<small><br />​</small> | |||
* <math>\rho_m = m \rho = m |\psi|^2</math> ([[Massedichte]]) mit Normierungsbedingung <math>\int \rho (\vec x,t) d^3 x = 1</math> bzw. <math>\int \rho_m (\vec x,t) d^3 x = m</math> zu jeder Zeit <math>t</math> | |||
* <math>Q = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho_m}}{\sqrt{\rho_m}}</math> ([[De-Broglie-Bohm-Theorie#Das Quantenpotential|Bohmsches Quantenpotential]]). | |||
== Bedeutung == | |||
Aufgrund ihrer [[Nichtlinearität]] sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf [[lineare Gleichung]]en zurückführen lassen. | Aufgrund ihrer [[Nichtlinearität]] sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf [[lineare Gleichung]]en zurückführen lassen. | ||
== Siehe auch == | |||
* [[De-Broglie-Bohm-Theorie]] | |||
== Literatur == | |||
* {{cite journal |last=Tsekov |first=R. |arxiv=0903.3644 |title=Dissipative Time Dependent Density Functional Theory|date=2009 |doi=10.1007/s10773-009-0054-6 |volume=48 |journal=International Journal of Theoretical Physics |pages=2660​–2664<!-- ​ verhindert Anzeige als unsinnigen Telefonnummern-Link auf iPad/in Safari--> |bibcode=2009IJTP...48.2660T }} | |||
== Einzelnachweise == | |||
<references> | |||
<ref name="Bialynicki1992"> | |||
{{cite book |author=I. Bialynicki-Birula, M. Cieplak, J. Kaminski |title=Theory of Quanta |publisher=Oxford University Press |year=1992 |isbn= 0195071573}}. | |||
</ref> | |||
<ref name="Madelung1926">{{cite journal | doi=10.1007/BF01504657 | first=Erwin | last=Madelung | title=Eine anschauliche Deutung der Gleichung von Schrödinger <!--|lang=de--> | journal=Naturwissenschaften | year=1926 | volume=14 | issue=45 | pages=1004​–1004 |bibcode=1926NW.....14.1004M }}</ref> | |||
<ref name="Madelung1927">{{cite journal | doi=10.1007/BF01400372 | first=Erwin | last=Madelung | title=Quantentheorie in hydrodynamischer Form <!--|lang=de--> | journal=Z. Phys. | date=1927 | volume=40 | issue=3–4 | pages=322–326 |bibcode=1927ZPhy...40..322M }}</ref> | |||
</references> | |||
[[Kategorie:Quantenmechanik]] | [[Kategorie:Quantenmechanik]] | ||
Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881–1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.[1]
Ersetzt man dort die komplexe Funktion $ \psi $ durch ihren Betrag $ \rho $ und ihre Phase $ S $ gemäß $ \psi ={\sqrt {\rho }}e^{{\frac {i}{\hbar }}S} $, so erhält man die Madelunggleichungen:[1]
wobei $ V $ das Potential aus der Schrödingergleichung ist.
Die erste dieser beiden Gleichungen hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,
die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).
$ S $ wird als Wirkung interpretiert, $ \nabla S $ als Impuls. Die Madelunggleichungen lassen sich als Quanten-Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik) deuten wie folgt:[2][3]
wobei
Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.