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Ein '''Einheitstensor''' ist in der [[Kontinuumsmechanik]] die lineare Abbildung jedes [[Vektor]]s auf sich selbst. Der Einheitstensor ist ein [[Dimensionslose Größe|dimensionsloser]] Ein-Feld-Tensor, weil er die Vektoren aus einem [[Prähilbertraum|euklidischen Vektorraum]] in denselben Vektorraum abbildet. Des Weiteren ist der Einheitstensor [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]], [[Orthogonaler Tensor|orthogonal]] und [[Spezielle lineare Gruppe|unimodular]]. Die Koeffizienten des Einheitstensors zweiter Stufe werden Metrikkoeffizienten genannt. | Ein '''Einheitstensor''' ist in der [[Kontinuumsmechanik]] die lineare Abbildung jedes [[Vektor]]s auf sich selbst. Der Einheitstensor ist ein [[Dimensionslose Größe|dimensionsloser]] Ein-Feld-[[Tensor]], weil er die Vektoren aus einem [[Prähilbertraum|euklidischen Vektorraum]] in denselben Vektorraum abbildet. Des Weiteren ist der Einheitstensor [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]], [[Orthogonaler Tensor|orthogonal]] und [[Spezielle lineare Gruppe|unimodular]]. Die Koeffizienten des Einheitstensors zweiter Stufe werden Metrikkoeffizienten genannt. | ||
Einheitstensoren treten in der [[Kontinuumsmechanik]] häufig auf. Der Einheitstensor zweiter Stufe kommt in den [[Verzerrungstensor]]en vor und der Einheitstensor vierter Stufe in vielen [[Materialmodell]]en (z. B. im [[Hookesches Gesetz|Hookeschen Gesetz]]). Wegen seiner Wichtigkeit befasst sich dieser Artikel deshalb mit dem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum und dem Einheitstensor zweiter Stufe. Nur im gleichnamigen Kapitel ist vom Einheitstensor vierter Stufe die Rede. Eine Verallgemeinerung auf Räume beliebiger endlicher Dimension ist in einfacher Weise möglich. | Einheitstensoren treten in der [[Kontinuumsmechanik]] häufig auf. Der Einheitstensor zweiter Stufe kommt in den [[Verzerrungstensor]]en vor und der Einheitstensor vierter Stufe in vielen [[Materialmodell]]en (z. B. im [[Hookesches Gesetz|Hookeschen Gesetz]]). Wegen seiner Wichtigkeit befasst sich dieser Artikel deshalb mit dem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum und dem Einheitstensor zweiter Stufe. Nur im gleichnamigen Kapitel ist vom Einheitstensor vierter Stufe die Rede. Eine Verallgemeinerung auf Räume beliebiger endlicher Dimension ist in einfacher Weise möglich. | ||
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\mathbf{1\cdot A}=\mathbf{A\cdot1}=\mathbf{A}</math>. | \mathbf{1\cdot A}=\mathbf{A\cdot1}=\mathbf{A}</math>. | ||
Das [[Frobenius-Skalarprodukt]] zweier Tensoren '''A''' und '''B''' wird mittels der [[Spur (Mathematik)|Spur]] '''A''' : '''B''' := Sp('''A'''<sup>T</sup> · '''B''') gebildet. Das Skalarprodukt des Einheitstensors mit einem anderen Tensor zweiter Stufe liefert somit dessen Spur: | Das [[Frobenius-Skalarprodukt]] zweier Tensoren '''A''' und '''B''' wird mittels der [[Spur (Mathematik)|Spur]] '''A''' : '''B''' := Sp('''A'''<sup>T</sup> · '''B''') gebildet. Das Skalarprodukt des Einheitstensors mit einem anderen Tensor zweiter Stufe liefert somit dessen Spur: | ||
:<math>\mathbf{A}\in\mathcal{L}(\mathbb{V}^3,\mathbb{V}^3) | :<math>\mathbf{A}\in\mathcal{L}(\mathbb{V}^3,\mathbb{V}^3) | ||
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\mathbf{ | \mathbf1:\mathbf{A}=\operatorname{Sp}(\mathbf{A})</math>. | ||
== Eigensystem == | == Eigensystem == | ||
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Ist <math>\vec{a}_{1,2,3}</math> eine weitere beliebige Basis des Vektorraums und <math>\vec{a}^{1,2,3}</math> die dazu duale Basis, dann gilt die allgemeine Darstellung: | Ist <math>\vec{a}_{1,2,3}</math> eine weitere beliebige Basis des Vektorraums und <math>\vec{a}^{1,2,3}</math> die dazu duale Basis, dann gilt die allgemeine Darstellung: | ||
:<math>\begin{ | :<math>\begin{align} | ||
\mathbf{1} | \mathbf{1} | ||
=& | |||
\sum_{i,j=1}^3(\vec{a}_i\cdot\vec{g}_j)\vec{a}^{i}\otimes\vec{g}^{j} | \sum_{i,j=1}^3(\vec{a}_i\cdot\vec{g}_j)\vec{a}^{i}\otimes\vec{g}^{j} | ||
=\sum_{i,j=1}^3(\vec{a}^{i}\cdot\vec{g} | =\sum_{i,j=1}^3(\vec{a}^{i}\cdot\vec{g}^{j})\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j | ||
\\ | \\=& | ||
\sum_{i,j=1}^3(\vec{a}^{i}\cdot\vec{g}_j)\vec{a}_i\otimes\vec{g}^{j} | |||
\sum_{i,j=1}^3(\vec{a}^{i}\cdot\vec{g} | |||
=\sum_{i,j=1}^3(\vec{a}_i\cdot\vec{g}^{j})\vec{a}^{i}\otimes\vec{g}_j | =\sum_{i,j=1}^3(\vec{a}_i\cdot\vec{g}^{j})\vec{a}^{i}\otimes\vec{g}_j | ||
\end{ | \end{align}</math>. | ||
== Invarianten == | == Invarianten == | ||
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mit Koordinaten <math>u^{i}</math> und <math>v^{i}</math> bezüglich eines beliebigen [[Schiefwinklige Koordinaten|schiefwinkligen Basissystems]] <math>\vec{g}_{1,2,3}</math> berechnet sich mit der [[Skalarproduktnorm]] zu | mit Koordinaten <math>u^{i}</math> und <math>v^{i}</math> bezüglich eines beliebigen [[Schiefwinklige Koordinaten|schiefwinkligen Basissystems]] <math>\vec{g}_{1,2,3}</math> berechnet sich mit der [[Skalarproduktnorm]] zu | ||
:<math>|\vec{u}-\vec{v}|:=\sqrt{(\vec{u}-\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})} | :<math>\begin{align}|\vec{u}-\vec{v}| | ||
:=&\sqrt{(\vec{u}-\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})} | |||
=\sqrt{\sum_{i,j=1}^3(u^{i}-v^{i})\vec{g}_i\cdot (u^{j}-v^{j})\vec{g}_j} | =\sqrt{\sum_{i,j=1}^3(u^{i}-v^{i})\vec{g}_i\cdot (u^{j}-v^{j})\vec{g}_j} | ||
=\sqrt{\sum_{i,j=1}^3 | \\=&\sqrt{\sum_{i,j=1}^3 | ||
(\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j)(u^{i}-v^{i})(u^{j}-v^{j})}</math>. | (\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j)(u^{i}-v^{i})(u^{j}-v^{j})} | ||
\end{align}</math>. | |||
Das heißt, dass die Produkte der Koeffizienten <math>u^{i}-v^{i}</math> des [[Koordinatenvektor]]s des Abstandsvektors <math>\vec{u}-\vec{v}</math> im Skalarprodukt mit den Koeffizienten <math>\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j</math> gewichtet werden. In der Darstellung | Das heißt, dass die Produkte der Koeffizienten <math>u^{i}-v^{i}</math> des [[Koordinatenvektor]]s des Abstandsvektors <math>\vec{u}-\vec{v}</math> im Skalarprodukt mit den Koeffizienten <math>\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j</math> gewichtet werden. In der Darstellung | ||
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(\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j)\vec{g}^{i}\otimes\vec{g}^{j}</math> | (\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j)\vec{g}^{i}\otimes\vec{g}^{j}</math> | ||
werden die Koeffizienten <math>\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j</math> deshalb Metrikkoeffizienten genannt, weil mit der Skalarproduktnorm die [[Metrik (Mathematik)|Metrik]] des Vektorraums vorgegeben ist. Sind die Basisvektoren <math>\vec{g}_{1,2,3}</math> kovariant (Tangentenvektoren an das | werden die Koeffizienten <math>\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j</math> deshalb Metrikkoeffizienten genannt, weil mit der Skalarproduktnorm die [[Metrik (Mathematik)|Metrik]] des Vektorraums vorgegeben ist. Sind die Basisvektoren <math>\vec{g}_{1,2,3}</math> kovariant (Tangentenvektoren an das [[krummlinige Koordinaten]]­system) dann sind die Skalarprodukte <math>\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j</math> die kovarianten Metrikkoeffizienten. Entsprechend sind dann die Koeffizienten <math>\vec{g}^{i}\cdot\vec{g}^{j}</math> die kontravarianten Metrikkoeffizienten. | ||
== Einheitstensor vierter Stufe == | == Einheitstensor vierter Stufe == | ||
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geschrieben werden. Ist <math>\lbrace\mathbf{G}_{m}\rbrace_{m={1,9}}</math> eine beliebige Basis des Raums <math>\mathcal{L}(\mathbb{V}^3,\mathbb{V}^3)</math> und <math>\lbrace\mathbf{G}^{n}\rbrace_{n={1,9}}</math> die dazu duale Basis, dann gilt | geschrieben werden. Ist <math>\lbrace\mathbf{G}_{m}\rbrace_{m={1,9}}</math> eine beliebige Basis des Raums <math>\mathcal{L}(\mathbb{V}^3,\mathbb{V}^3)</math> und <math>\lbrace\mathbf{G}^{n}\rbrace_{n={1,9}}</math> die dazu duale Basis, dann gilt | ||
:<math>\stackrel{4}{\mathbf{1}} | :<math>\begin{align}\stackrel{4}{\mathbf{1}} | ||
=\sum_{m=1}^{9}\mathbf{G}_{m}\otimes\mathbf{G}^{m} | =&\sum_{m=1}^{9}\mathbf{G}_{m}\otimes\mathbf{G}^{m} | ||
=\sum_{m=1}^{9}\mathbf{G}^{m}\otimes\mathbf{G}_{m} | =\sum_{m=1}^{9}\mathbf{G}^{m}\otimes\mathbf{G}_{m} | ||
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(\mathbf{G}^{m}\cdot\mathbf{G}^{n})\mathbf{G}_{m}\otimes\mathbf{G}_{n} | (\mathbf{G}^{m}\cdot\mathbf{G}^{n})\mathbf{G}_{m}\otimes\mathbf{G}_{n} | ||
=\sum_{m,n=1}^{9} | =\sum_{m,n=1}^{9} | ||
(\mathbf{G}_{m}\cdot\mathbf{G}_{n})\mathbf{G}^{m}\otimes\mathbf{G}^{n} | (\mathbf{G}_{m}\cdot\mathbf{G}_{n})\mathbf{G}^{m}\otimes\mathbf{G}^{n} | ||
</math> | \end{align}</math> | ||
oder mit | oder mit | ||
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&=&\displaystyle | &=&\displaystyle | ||
\sum_{i=1}^3\vec{a}_i\otimes\vec{a}^{i} | \sum_{i=1}^3\vec{a}_i\otimes\vec{a}^{i} | ||
=\begin{pmatrix} 2\\3\\1\end{pmatrix} | \\ | ||
&=&\begin{pmatrix} 2\\3\\1\end{pmatrix} | |||
\otimes | \otimes | ||
\begin{pmatrix} 2\\0\\-3\end{pmatrix} | \begin{pmatrix} 2\\0\\-3\end{pmatrix} | ||
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-14& 2& 22 | -14& 2& 22 | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
= | \\ | ||
&=& | |||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
1& 0& 0\\ | 1& 0& 0\\ | ||
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0& 0& 1 | 0& 0& 1 | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
== Siehe auch == | == Siehe auch == | ||
* [[Einheitsmatrix]] | * [[Einheitsmatrix]] |
Ein Einheitstensor ist in der Kontinuumsmechanik die lineare Abbildung jedes Vektors auf sich selbst. Der Einheitstensor ist ein dimensionsloser Ein-Feld-Tensor, weil er die Vektoren aus einem euklidischen Vektorraum in denselben Vektorraum abbildet. Des Weiteren ist der Einheitstensor symmetrisch, orthogonal und unimodular. Die Koeffizienten des Einheitstensors zweiter Stufe werden Metrikkoeffizienten genannt.
Einheitstensoren treten in der Kontinuumsmechanik häufig auf. Der Einheitstensor zweiter Stufe kommt in den Verzerrungstensoren vor und der Einheitstensor vierter Stufe in vielen Materialmodellen (z. B. im Hookeschen Gesetz). Wegen seiner Wichtigkeit befasst sich dieser Artikel deshalb mit dem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum und dem Einheitstensor zweiter Stufe. Nur im gleichnamigen Kapitel ist vom Einheitstensor vierter Stufe die Rede. Eine Verallgemeinerung auf Räume beliebiger endlicher Dimension ist in einfacher Weise möglich.
Gegeben sei ein euklidischer Vektorraum $ \mathbb {V} ^{3} $ und die Menge der linearen Abbildungen $ {\mathcal {L}}(\mathbb {V} ^{3},\mathbb {V} ^{3}) $ von $ \mathbb {V} ^{3} $ nach $ \mathbb {V} ^{3} $. Dann ist der Einheitstensor $ \mathbf {1} $ definiert als
Für den Einheitstensor werden die Schriftzeichen „1“, „I“ oder „E“ benutzt. Als Schriftauszeichnung wird der Buchstabe mit Doppelstrich ($ \mathbb {I} $), Fettdruck ($ \mathbf {1} $), Unter- ($ {\underline {\underline {1}}} $) oder Überstreichung ($ {\overline {\overline {1}}} $) benutzt. In Indexschreibweise stimmt dieser Einheitstensor mit dem Kronecker-Delta $ \delta _{ij} $ überein.
Tensoren vierter Stufe können mit der aufgesetzten vier gekennzeichnet werden, beispielsweise: $ {\stackrel {4}{\mathbf {1} }} $.
In diesem Artikel wird $ \mathbf {1} $ für den Einheitstensor zweiter Stufe und $ {\stackrel {4}{\mathbf {1} }} $ für den Einheitstensor vierter Stufe verwendet.
Weil die Identität von Tensoren über die Bilinearform nachgewiesen werden kann, ist jeder Tensor $ \mathbf {T} $ für den gilt
identisch zum Einheitstensor. Wegen
ist der Einheitstensor gleich seiner Inversen und wegen
ist der Einheitstensor zudem symmetrisch. Aus den letzten beiden Eigenschaften ergibt sich, dass der Einheitstensor auch orthogonal ist. Weil der Einheitstensor keinen Vektor spiegelt (in den negativen Vektor überführt) ist der Einheitstensor eigentlich orthogonal, weswegen er die „Drehung“ um 0° repräsentiert. Seine Determinante ist also gleich eins
weswegen der Einheitstensor unimodular ist. Der Einheitstensor ist im Tensorprodukt "·" das Neutrale Element:
Das Frobenius-Skalarprodukt zweier Tensoren A und B wird mittels der Spur A : B := Sp(AT · B) gebildet. Das Skalarprodukt des Einheitstensors mit einem anderen Tensor zweiter Stufe liefert somit dessen Spur:
Aus den Eigenschaften des Einheitstensors leitet sich sofort ab, dass jeder Vektor Eigenvektor des Einheitstensors mit dem zugehörigen Eigenwert eins ist. Weil auch jeder Basisvektor $ {\hat {v}}_{1,2,3} $ einer beliebigen Orthonormalbasis des zugrunde liegenden Vektorraums Eigenvektor des Einheitstensors ist, können auch die Darstellungen
benutzt werden. Darin bildet $ \otimes $ das dyadische Produkt.
Bezüglich der Standardbasis $ {\hat {e}}_{1,2,3} $ wird der Einheitstensor als
geschrieben, so dass er hier mit seiner Matrix-Notation übereinstimmt. Bei einer anderen Orthonormalbasis mit Basisvektoren $ {\hat {v}}_{1,2,3} $ kann er als
notiert werden. Ist $ {\vec {g}}_{1,2,3} $ eine beliebige Basis des Vektorraums und $ {\vec {g}}^{1,2,3} $ die dazu duale Basis, dann ist
Ist $ {\vec {a}}_{1,2,3} $ eine weitere beliebige Basis des Vektorraums und $ {\vec {a}}^{1,2,3} $ die dazu duale Basis, dann gilt die allgemeine Darstellung:
Die drei Hauptinvarianten des Einheitstensors sind
Wegen $ \mathbf {1} =\mathbf {1\cdot 1} $ sind dies auch die Hauptinvarianten der n-ten Potenzen des Einheitstensors. Die Spur des Einheitstensors ist gleich der Dimension des zugrunde gelegten Vektorraums.
Der Betrag des Einheitstensors ist die Wurzel aus der Dimension des Vektorraums:
Die Eigenwerte (hier alle gleich eins) sind ebenfalls invariant.
Der Abstand zweier Punkte mit den Ortsvektoren
mit Koordinaten $ u^{i} $ und $ v^{i} $ bezüglich eines beliebigen schiefwinkligen Basissystems $ {\vec {g}}_{1,2,3} $ berechnet sich mit der Skalarproduktnorm zu
Das heißt, dass die Produkte der Koeffizienten $ u^{i}-v^{i} $ des Koordinatenvektors des Abstandsvektors $ {\vec {u}}-{\vec {v}} $ im Skalarprodukt mit den Koeffizienten $ {\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j} $ gewichtet werden. In der Darstellung
werden die Koeffizienten $ {\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j} $ deshalb Metrikkoeffizienten genannt, weil mit der Skalarproduktnorm die Metrik des Vektorraums vorgegeben ist. Sind die Basisvektoren $ {\vec {g}}_{1,2,3} $ kovariant (Tangentenvektoren an das krummlinige Koordinatensystem) dann sind die Skalarprodukte $ {\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j} $ die kovarianten Metrikkoeffizienten. Entsprechend sind dann die Koeffizienten $ {\vec {g}}^{i}\cdot {\vec {g}}^{j} $ die kontravarianten Metrikkoeffizienten.
Der Einheitstensor vierter Stufe bildet Tensoren zweiter Stufe auf sich selbst ab. Sind die Tensoren zweiter Stufe $ \lbrace \mathbf {E} _{m}\rbrace _{m=1,9} $ die Standardbasis des Raums $ {\mathcal {L}}(\mathbb {V} ^{3},\mathbb {V} ^{3}) $ der Tensoren zweiter Stufe, dann ist
der Einheitstensor vierter Stufe. Wird
definiert, kann wie üblich auch
geschrieben werden. Ist $ \lbrace \mathbf {G} _{m}\rbrace _{m={1,9}} $ eine beliebige Basis des Raums $ {\mathcal {L}}(\mathbb {V} ^{3},\mathbb {V} ^{3}) $ und $ \lbrace \mathbf {G} ^{n}\rbrace _{n={1,9}} $ die dazu duale Basis, dann gilt
oder mit
in der üblichen Schreibweise:
Die Vektoren
bilden eine Basis im $ \mathbb {V} ^{3} $ und ihre duale Basis ist
Damit bekommt man