Boltzmann-Konstante

Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Zu der Konstante im Strahlungsgesetz schwarzer Körper siehe Stefan-Boltzmann-Konstante.

Die Boltzmann-Konstante (Formelzeichen $ k $ oder $ k_{\mathrm {B} } $) ist eine physikalische Konstante, die in der statistischen Mechanik eine zentrale Rolle spielt. Sie wurde von Max Planck eingeführt und nach dem österreichischen Physiker Ludwig Boltzmann benannt,^[1] einem der Begründer der statistischen Mechanik. Sie gilt als eine der fundamentalen Konstanten der Physik.^[2][3] Man kann sie aber auch als Skalenfaktor ansehen, der Energie- und Temperaturskala miteinander verknüpft.^[4]

Wert

Die Boltzmann-Konstante hat die Dimension Energie/Temperatur.

Ihr Wert beträgt:^[5]

$ k_{\mathrm {B} }=1{,}380\,649\cdot 10^{-23}\;\mathrm {J/K} $

Dieser Wert gilt exakt, weil die Maßeinheit „Kelvin“ seit 2019 dadurch definiert ist, dass der Boltzmann-Konstante dieser Wert zugewiesen wurde. Zuvor war das Kelvin anders definiert, und $ k_{\mathrm {B} } $ war eine experimentell zu bestimmende Größe.^[4]

Mit Elektronenvolt (eV) als Energieeinheit hat die Boltzmann-Konstante den – ebenfalls exakten – Wert^[6]

$ k_{\mathrm {B} }={\frac {1{,}380\,649\cdot 10^{-23}}{1{,}602\,176\,634\cdot 10^{-19}}}\,{\frac {\mathrm {eV} }{\mathrm {K} }}\approx 8{,}617\,333\,262\cdot 10^{-5}\,{\frac {\mathrm {eV} }{\mathrm {K} }}\, $.

Aus der Boltzmann-Konstante berechnet sich die universelle Gaskonstante mit Hilfe der Avogadro-Konstante $ N_{\mathrm {A} } $:

$ R_{\mathrm {m} }=N_{\mathrm {A} }\cdot k_{\mathrm {B} } $.

Definition und Zusammenhang mit der Entropie

Ludwig Boltzmann

Die Ideen von Ludwig Boltzmann präzisierend,^[7] lautet die von Max Planck gefundene^[8] fundamentale Beziehung:

$ S=k_{\mathrm {B} }\,\ln \Omega \,. $

Das heißt, die Entropie $ S $ eines Makrozustands eines abgeschlossenen Systems im thermischen Gleichgewicht ist proportional zum natürlichen Logarithmus der Anzahl $ \Omega $ (Ergebnisraum) der entsprechend möglichen Mikrozustände (bzw. anders ausgedrückt zum Maß der „Unordnung“ des Makrozustands). Das statistische Gewicht $ \Omega $ ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Makrozustandes.

Diese Gleichung verknüpft – über die Boltzmann-Konstante als Proportionalitätsfaktor – die Mikrozustände des abgeschlossenen Systems mit der makroskopischen Größe der Entropie und bildet die zentrale Grundlage der statistischen Physik. Sie ist in leicht abgewandelter Nomenklatur auf dem Grabstein von Ludwig Boltzmann am Wiener Zentralfriedhof eingraviert.

Die Entropieänderung ist in der klassischen Thermodynamik definiert als

$ \Delta S=\int {\frac {\mathrm {d} Q}{T}} $

mit der Wärmemenge $ Q $.

Eine Entropiezunahme $ \Delta S>0 $ entspricht einem Übergang in einen neuen Makrozustand mit einer größeren Zahl möglicher Mikrozustände. Dies ist in einem abgeschlossenen (isolierten) System stets der Fall (Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik).

In Bezug zur mikroskopischen Zustandssumme kann die Entropie auch als Größe der Dimension Zahl festgelegt werden:

$ {\begin{aligned}S^{\,\prime }&={\frac {S}{k_{\mathrm {B} }}}=\ln \Omega \\\Rightarrow \Delta S^{\,\prime }&=\int {\frac {\mathrm {d} Q}{k_{\mathrm {B} }T}}.\end{aligned}} $

In dieser „natürlichen“ Form korrespondiert die Entropie mit der Definition der Entropie in der Informationstheorie und bildet dort ein zentrales Maß. Der Term $ k_{\mathrm {B} }T $ stellt dabei jene Energie dar, um die Entropie $ S^{\,\prime } $ um ein Nit anzuheben.

Ideales Gasgesetz

Die Boltzmann-Konstante erlaubt die Berechnung der mittleren thermischen Energie eines einatomigen freien Teilchens aus der Temperatur gemäß

$ E_{\mathrm {therm} }={\frac {3}{2}}k_{\mathrm {B} }\,T, $

und tritt beispielsweise im Gasgesetz für ideale Gase als eine der möglichen Proportionalitätskonstanten auf:

$ pV=N\,k_{\mathrm {B} }\,T $.

Bedeutung der Formelzeichen:

• $ p $ – Druck
• $ V $ – Volumen
• $ N $ – Teilchenzahl
• $ T $ – Absolute Temperatur

Bezogen auf Normalbedingungen (Temperatur $ T_{0} $ und Druck $ p_{0} $) und mit der Loschmidt-Konstanten $ N_{\mathrm {L} }={\tfrac {N}{V_{0}}} $ kann die Gasgleichung umformuliert werden zu:

$ {\begin{aligned}\Leftrightarrow {\frac {N}{V}}&={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }}}{\frac {p}{T}}\\&=\left(N_{\mathrm {L} }{\frac {T_{0}}{p_{0}}}\right){\frac {p}{T}}\\&=N_{\mathrm {L} }{\frac {p}{p_{0}}}{\frac {T_{0}}{T}}.\end{aligned}} $

Zusammenhang mit der kinetischen Energie

Allgemein ergibt sich für die mittlere kinetische Energie eines klassischen punktförmigen Teilchens im thermischen Gleichgewicht mit $ f $ Freiheitsgraden, die quadratisch in die Hamiltonfunktion eingehen (Äquipartitionstheorem):

$ \langle E_{\mathrm {kin} }\rangle ={\frac {f}{2}}k_{\mathrm {B} }\,T. $

So hat beispielsweise ein punktförmiges Teilchen drei Translationsfreiheitsgrade:

$ \langle E_{\mathrm {kin} }\rangle ={\frac {3}{2}}k_{\mathrm {B} }\,T. $

Ein zweiatomiges Molekül hat

• ohne Symmetrie drei zusätzliche Rotationsfreiheitsgrade, also insgesamt sechs
• mit einer Symmetrieachse zwei zusätzliche Rotationsfreiheitsgrade für Rotation senkrecht zur Symmetrieachse, also insgesamt fünf. Durch Rotation um die Symmetrieachse kann im Bereich thermischer Energien keine Energie gespeichert werden, da das Trägheitsmoment hier vergleichsweise klein ist und der 1. angeregte Rotationszustand daher sehr hoch liegt.

Dazu kommen bei ausreichend hohen Temperaturen noch Schwingungen der Atome gegeneinander entlang der Bindungen. Bei einzelnen Stoffen trägt auch die Chemie zur Wärmekapazität bei: So hat Wasser eine extrem hohe Wärmekapazität, weil bei steigender Temperatur Wasserstoffbrückenbindungen unter Energieaufwand aufgebrochen bzw. bei sinkender Temperatur unter Energiefreisetzung neu gebildet werden.^[9]

Rolle in der statistischen Physik

Allgemeiner tritt die Boltzmann-Konstante in der thermischen Wahrscheinlichkeitsdichte $ \rho _{\mathrm {th} } $ beliebiger Systeme der statistischen Mechanik im thermischen Gleichgewicht auf. Diese lautet:

$ \rho _{\mathrm {th} }={\frac {e^{-{\frac {E}{k_{\mathrm {B} }T}}}}{Z}} $

mit

• dem Boltzmann-Faktor $ e^{-{\frac {E}{k_{\mathrm {B} }T}}} $
• der kanonischen Zustandssumme $ Z $ als Normierungskonstante.

Beispiel aus der Festkörperphysik

In Halbleitern besteht eine Abhängigkeit der Spannung über einen p-n-Übergang von der Temperatur, die mit Hilfe der Temperaturspannung $ \phi _{T} $ oder $ U_{T} $ beschrieben werden kann:

$ \phi _{T}=U_{T}={\frac {k_{\mathrm {B} }\cdot T}{e}} $

Dabei ist

• $ T $ die absolute Temperatur in Kelvin
• $ e $ die Elementarladung.

Bei Raumtemperatur (T = 293 K) beträgt der Wert der Temperaturspannung ungefähr 25 mV.

Siehe auch

• Kinetische Gastheorie

Anmerkungen und Einzelnachweise